专题复习教案——数列(学生用).doc
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专题复习教案――数列
1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式,并能解决简单的实际问题.
3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
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纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点.
从解题思想方法的规律着眼,主要有:
①方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、等比数列中的“知三求二”问题;②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③待定系数法、分类讨论等方法的应用.
第1课时数列的概念
基础过关
1.数列的概念:
数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第项.
2.数列的通项公式
一个数列{an}的与之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:
4.求数列的通项公式的其它方法
⑴公式法:
等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.
⑵观察归纳法:
先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.
⑶递推关系法:
先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
典型例题
例1.根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式.
⑴-,,-,…;
⑵1,2,6,13,23,36,…;
⑶1,1,2,2,3,3,
变式训练
1.某数列{an}的前四项为0,,0,,则以下各式:
①an=[1+(-1)n]
②an=
③an=
其中可作为{an}的通项公式的是 ()
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
例2.已知数列{an}的前n项和Sn,求通项.
⑴Sn=3n-2
⑵Sn=n2+3n+1
变式训练
2:
已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.
例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式.
⑴a1=1,an=2an-1+1(n≥2)
⑵a1=1,an=(n≥2)
⑶a1=1,an=(n≥2)
变式训练
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求该数列的通项公式.
方法二:
求出前5项,归纳猜想出an=,然后用数学归纳证明.
例4.已知函数=2x-2-x,数列{an}满足=-2n,求数列{an}通项公式.
变式训练
4.知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处导数f1
(1).
归纳小结
1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.
2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一.
3.由递推公式求通项公式的常见形式有:
an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).
第2课时等差数列
基础过关
1.等差数列的定义:
-=d(d为常数).
2.等差数列的通项公式:
⑴an=a1+×d
⑵an=am+×d
3.等差数列的前n项和公式:
Sn==.
4.等差中项:
如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b=.
5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是:
⑴数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p,q∈R)
⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn
(a,b∈R)
6.等差数列{an}的两个重要性质:
⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.
⑵数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成数列.
典型例题
例1.在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
变式训练1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10=.
例2.已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-(n≥2).其中a是不为0的常数,令bn=.
⑴求证:
数列{bn}是等差数列.
⑵求数列{an}的通项公式.
变式训练
2.已知公比为3的等比数列与数列满足,且,
(1)判断是何种数列,并给出证明;
(2)若,求数列的前n项和
例3.已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}前n项和。
求Tn.
变式训练
3.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是()
A.B.C.D.
例4.美国某公司给员工加工资有两个方案:
一是每年年末加1000美元;二是每半年结束时加300美元.问:
⑴从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多?
⑵如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元?
⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.
问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
归纳小结
1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:
an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).
2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.
3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d的等差数列进行求和.
4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.
基础过关
第3课时等比数列
1.等比数列的定义:
=q(q为不等于零的常数).
2.等比数列的通项公式:
⑴an=a1qn-1⑵an=amqn-m
3.等比数列的前n项和公式:
Sn=
4.等比中项:
如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2=(或b=).
5.等比数列{an}的几个重要性质:
⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.
⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成数列.
⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q=.
典型例题
例1.已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.
变式训练1.已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,则a11=.
例2.设等比数列{an}的公比为q(q>0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.
变式训练
2.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式.
例3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
变式训练
3.设是等差数列的前项和,,则等于()
A.15B.16C.17D.18
例4.已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有:
,求数列{cn}前n项和Sn.
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;
⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+…+c2007的值.
归纳小结
1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn=,且要注意n表示项数;当q=1时,适用公式Sn=na1;若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.
2.在等比数列中,若公比q>0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.
3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d,再依题意列出方程求x、d即可.
4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.
第4课时等差数列和等比数列的综合应用
基础过关
1.等差数列的常用性质:
⑴m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有.
⑵{an}是等差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)是数列.
⑶Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成数列.
2.在等差数列中,求Sn的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值.
⑴a1>0,d<0时,解不等式组可解得S
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