高中数学新设计同步 必修3 人教B版 第二章 统 计 221二.docx

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高中数学新设计同步必修3人教B版第二章统计221二

2.2.1　用样本的频率分布估计总体的分布

（二）

学习目标

　1.了解频率分布折线图和总体密度曲线的定义.2.理解茎叶图的概念，会画茎叶图.3.了解频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图的各自特征，学会选择不同的方法分析样本的分布，从而作出总体估计．

知识点一　频率分布折线图和总体密度曲线

1．频率分布折线图

用线段连接频率分布直方图中各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图．

2．总体密度曲线

在样本频率分布直方图中，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布直方图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线，它精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．

知识点二　茎叶图

思考　茎叶图是表示样本数据分布情况的一种方法，那么“茎”、“叶”分别指的是哪些数？

答案　茎叶图中，“叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”．

梳理　茎叶图

（1）将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）．

（2）茎叶图的优点与不足

①优点：

一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．

②不足：

当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便．

1．频率分布折线图就是总体密度曲线．（　×　）

2．对于两位数的茎叶图，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．（　√　）

3．对于三位数的茎叶图，中间的数字表示百位数，旁边的数字表示十位和个位数．（　×　）

类型一　茎叶图及应用

例1　某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产量数据（单位：

千克）如下：

品种A：

357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.

品种B：

363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.

（1）画出茎叶图；

（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？

（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，得出统计结论．

解　

（1）茎叶图如图．

（2）样本容量不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息丢失，而且还可以随时记录新的数据．

（3）通过观察茎叶图可以看出：

①品种A亩产量的平均数比品种B亩产量的平均数大；

②品种A的亩产量波动比品种B的亩产量波动大，故品种A的亩产量稳定性较差．

反思与感悟　由于茎叶图较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布．在利用茎叶图分析数据特点时，要注意区别茎与叶．

跟踪训练1　某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：

甲运动员得分：

13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；

乙运动员得分：

49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

试制作茎叶图来对比描述这些数据．

解　以十位数字为茎，个位数字为叶，制作茎叶图如图：

例2　某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：

62　73　81　92　95　85　74　64　53　76

  78　86　95　66　97　78　88　82　76　89

B地区：

73　83　62　51　91　46　53　73　64　82

  93　48　65　81　74　56　54　76　65　79

根据两组数据作出两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．

解　两地区用户满意度评分的茎叶图如图：

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．

反思与感悟　茎叶图可保留原始数据，还可以通过叶的疏密情形，得到样本数据的分布离散情形．

跟踪训练2　一家连锁超市拥有多个分店，为分析各个分店的销售状况，管理部门收集了A，B两个规模相近的分店50天的销售额数据（单位：

万元）：

A分店：

44　57　59　60　61　61　62　63　63　65

66　66　67　69　70　70　71　72　73　73

73　74　74　74　75　75　75　75　75　76

76　77　77　77　78　78　79　80　80　82

85　85　86　86　90　92　92　92　93　96

B分店：

35　39　40　44　44　48　51　52　52　54

55　56　56　57　57　57　58　59　60　61

61　62　63　64　66　68　68　70　70　71

71　73　74　74　79　81　82　83　83　84

85　90　91　91　94　95　96　100　100　100

（1）将两个分店的销售额制成茎叶图；

（2）比较两个分店销售额分布的特点．

解　

（1）茎叶图如图所示：

（2）由茎叶图可以看出A分店销售额的分布比较均匀，平均销售额是74.38万元，B分店的销售额分布不太均匀，其平均销售额是68.48万元，因此A分店的销售情况比B分店的好．

类型二　茎叶图与频率分布直方图的综合应用

例3　从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取16台，记录了上午8∶00～11∶00之间各自的销售情况（单位：

元）：

甲：

18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；

乙：

22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.

试用纵坐标为频数的频数分布直方图与茎叶图的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．

解　用频数分布直方图表示如图：

茎叶图如图，两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数，两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．

从图中可以看出频数分布直方图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；而用茎叶图表示有关数据，对数据的记录和表示都带来方便．

反思与感悟　茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录，但样本容量较大，或者需要比较三组以上的数据时，使用茎叶图就不合适；而频率分布表和频率分布直方图可以处理样本容量很大的数据，但损失了样本的原始数据，而且必须在完成抽样后才能制作．

跟踪训练3　某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分组作出了频率分布直方图，并作出了分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60），[90,100]的数据），如图．

则样本容量n和频率分布直方图中x，y的值分别为（　　）

A．50,0.030,0.004B．30,0.040,0.003

C．30,0.030,0.040D．50,0.300,0.400

答案　A

解析　由题意可知，样本容量n＝

＝50，y＝

＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.

1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是（　　）

A．条形图B．折线图

C．扇形图D．其他图形

答案　B

解析　能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图．

2．在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．总体容量越大，估计越精确

B．总体容量越小，估计越精确

C．样本容量越大，估计越精确

D．样本容量越小，估计越精确

答案　C

3.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（　　）

A．组距越大，频率分布折线图越接近于它

B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它

C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比

D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比

答案　C

4．对一个未知总体，下列方法：

①频率分布直方图；②频率分布表；③频率分布折线图；④茎叶图；⑤总体密度曲线．

其中可以用来表示样本数据的频率分布的有（　　）

A．2种B．3种

C．4种D．5种

答案　C

5．从甲、乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示（单位：

cm）．根据数据估计（　　）

A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐

B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐

C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐

D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐

答案　D

解析　由题中的茎叶图可知，甲种玉米的株高集中在20cm段，乙种玉米的株高集中在30cm和40cm段，则甲种玉米的平均株高小于乙种玉米的平均株高，但乙种玉米的株高较分散，故选D.

6．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为

，则第三组的频数为（　　）

A．16B．20C．24D．36

答案　C

解析　因为频率＝

，所以第二、四组的频数都为72×

＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.

1．估计总体的分布分两种情况：

当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．

2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．

一、选择题

1．当样本数据增加时，下列说法正确的是（　　）

A．频率分布表不会变化

B．茎叶图不会变化

C．频率折线图不会变化

D．频率分布直方图变化不太大

答案　D

2.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：

台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的频率为（　　）

A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6

答案　B

解析　依据茎叶图，在区间[22,30）内频数为4，样本容量为10，故对应的频率为

＝

＝0.4，故选B.

3．甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高

B．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低

C．乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高

D．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低

答案　C

解析　由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．

4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5），[5,10），…，[30,35），[35,40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

答案　A

解析　由于频率分布直方图的组距为5，去掉C，D，又[0,5），[5,10）两组各一人，去掉B，应选A.

5．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（　　）

A．甲运动员的成绩好于乙运动员

B．乙运动员的成绩好于甲运动员

C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

D．甲运动员的最低得分为0分

答案　A

解析　从茎叶图上看，由于甲运动员的成绩多数集中在31以上，而乙运动员的成绩集中在12到29之间，所以甲运动员成绩较好．

6．关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（　　）

A．频率分布折线图与总体密度曲线无关

B．频率分布折线图就是总体密度曲线

C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线

D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线

答案　D

解析　总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的．如果样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是总体密度曲线．

7．给出如图所示的三幅统计图及四个命题：

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；

②2050年非洲人口将达到大约15亿；

③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；

④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．

其中命题正确的有（　　）

A．①②B．①③

C．①④D．②④

答案　B

解析　①从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；②从条形统计图中可得：

2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错误；③从扇形统计图中能够明显地得到结论：

2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③.故选B.

二、填空题

8．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两班的最高成绩分别是______，______.从图中看，________班的平均成绩较高．

答案　96　92　乙

解析　由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在（60,80）内，乙班的成绩集中在（70,90）内，故乙班的平均成绩较高．

9．为了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：

cm），所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.

答案　24

解析　由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是（0.025＋0.015）×10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60＝24.

10．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：

cm），获得身高数据的茎叶图如图．

根据茎叶图判断________班的平均身高较高．

答案　乙

解析　由茎叶图可知：

甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．

11．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图（如图）表示，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25）内的人数为________．

答案　60

解析　由茎叶图，知抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25）内的人数为6，频率为

，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25）内的人数为

×200＝60.

三、解答题

12．某市对2016年11月5日—2016年12月4日的空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，

95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.

（1）完成频率分布表；

（2）作出频率分布直方图；

（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．

解　

（1）频率分布表．

分组

频数

频率

[41,51）

2

[51,61）

1

[61,71）

4

[71,81）

6

[81,91）

10

[91,101）

5

[101,111]

2

（2）频率分布直方图如图所示．

（3）答对下述两条中的一条即可：

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的

；有26天处于良的水平，占当月天数的

；处于优或良的天数为28，占当月天数的

.说明该市空气质量基本良好．

②轻微污染有2天，占当月天数的

；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的

，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．

13．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：

[－20，－15），7；[－15，－10），11；[－10，－5），15；[－5,0），40；[0,5），49；[5,10），41；[10,15），20；[15,20]，17.

（1）列出样本的频率分布表；

（2）画出频率分布直方图和折线图；

（3）求样本数据不足0的频率．

解　

（1）频率分布表如下：

分组

频数

频率

[－20，－15）

7

0.035

[－15，－10）

11

0.055

[－10，－5）

15

0.075

[－5,0）

40

0.2

[0,5）

49

0.245

[5,10）

41

0.205

[10,15）

20

0.1

[15,20]

17

0.085

合计

200

1

（2）频率分布直方图和折线图如图所示．

（3）样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.