RLC元件的功率和能量汇编.docx
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RLC元件的功率和能量汇编
1.电阻元件的功率
设正弦稳态电路中,在关联参考方向下,瞬时功率为pR(t)=u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为IR(t)=ImsinωtA
其电阻两端电压为uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV
则瞬时功率为pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt =URIR(1-cos2ωt)W
由于cos2ωt≤1,故此pR(t)=URIR(1-cos2ωt)≥0
其瞬时功率的波形图如图所示
由图可见,电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的,而且pR(t)≥0,说明电阻元件是耗能元件。
电阻的平均功率
可见对于电阻元件,平均功率的计算公式与直流电路相似。
2.电感元件的功率
在关联参考方向下,设流过电感元件的电流为iL(t)=√2ILsinωtA
则电感电压为:
其瞬时功率为:
上式表明,电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的;且pL(t)的值可正可负。
其波形图如图所示。
从图上看出,当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正,说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来;反之,当pL(t)为负时,电感元件向外释放能量。
pL(t)的值正负交替,说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为:
电感消耗的平均功率为零,说明电感元件不消耗功率,只是与外界交换能量。
3.电容元件的功率
在电压、电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为:
ic(t)=√2IcsinωtA
则电容电压为:
其瞬时功率为:
uc(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图所示。
从图上看出,pc(t)、与pL(t)波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。
电容的平均功率也为零,即:
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。
二端电路的功率
1.有功功率(也叫平均功率)和功率因素
式中
称为二端电路的功率因素,功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差
,
也叫功率因素角。
2.无功功率、视在功率和复功率
无功功率用Q表示,定义
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用S表示,即S=UI
P、Q、S之间存在如下关系:
工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,无功功率作为虚部,组成复数,称为复功率,用
表示复功率,即
=P+jQ
3.正弦稳态电路的最大功率传输
如图所示,交流电源的电压为
,其内阻抗为Zs=Rs+jxs,负载阻抗ZL=RL+jXL ,电路中电流为:
电流有效值为:
负载吸收的功率为:
要求出PL的最大值为此需求出PL对RL的导数,并使之为零,即:
由上式得到:
(RS+RL)2-2RL(RS+RL)=0解得:
RL=RS
负载获取最大功率的条件为:
上式表明,当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时,负载能获得最大功率,称为最大功率匹配或共轭匹配。
此时最大功率为:
三相电路
1三相电路的基本概念
三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合,且单相交流电源的频率相等,幅值(最大值)相等,相位彼此相差120°。
设第一相初相为0°,第二相为-120°,第三相为120°,所以瞬时电动势为:
e1=Emsinωt e2=Emsin(ωt-120°) e3=Emsin(ωt+120°)这样的电动势叫对称三相电动势。
其相量图和波形图见下图。
对称三相电动势相量和为零,即:
=0由波形图可知,三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零,即:
e1+e2+e3=0
2.三相电源的连接
将三相电源按一定方式连接之后,再向负载供电,通常采用星形连接方式,如图所示。
低压配电系统中,采用三根相线和一根中线输电,称为三相四线制;高压输电工程中,由三根相线组成输电,称为三相三线制。
每相绕组始端与末端之间的电压,也就是相线和中线之间的电压,叫相电压,其瞬时值用u1、u2、u3表示,通用up表示。
任意两相线与相线之间的电压,叫线电压,瞬时值用u12、u23、u31表示,通用ul表示。
由于u12=u1-u2 ,u23=u2-u3 ,u31=u3-u1作出线电压和相电压的相量图,
如图所示。
由于
构成等腰三角形,
所以
同理
一般写为
作星形连接时,三个相电压和三个线电压均为三相对称电压,各线电压的有效值为相电压有效值的
倍,且线电压相位比对应的相电压超前30°。
3三相负载的星形连接
三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
负载的星形连接
如图所示是三相负载作星形莲接时的电路图。
显然,在负载星形连接时,线电流等于相电流,即
相负载对称,即Z1=Z2=Z3=Zp,因各相电压对称,所以各相电流相等,即:
I1=I2=I3=IYP=
同时,三个相电流的相位差互为120°,满足
由基尔霍夫电流定律知iN=i1+i2+i3略去电线上的电压降,则各相负载的相电压就等于电源的相电压,这样,电源的线电压为负载相电压的
倍,即:
UYP为星形联接负载相电压。
三相电路中,流过每根相线的电流叫线电流,即I1、I2、I3,用表示,方向规定为由电源流向负载;而流过负载的电流叫相电流,用IYP表示,其方向与相电压方向一致;流过中线的电流叫中线电流,用IN表示,其方向规定由负载中点N/流向电源中点N。
这样,对称的三相负载作星形联接时,中线电流为零。
这时,可以省略中线而成为三相三线制,并不影响电路工作。
如果三相负载不对称,各相电流大小就不相等,相位差也不一定是120°,中线电流不为零,此时就不能省去中线。
否则会影响电路正常工作,甚至造成事故。
所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外,中线上不准安装熔丝和开关。
负载的三角形连接
如图所示,将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间,称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否,各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。
对于对称三相负载,相电压等于线电压,即
相电流
同时,各相电压与各相电流的相位差也相同。
即三相电流的相位差也互为120°。
各相电流的方向与该相的电压方向一致。
由KCL知i1=i12-i31i2=i23-i12i3=i31-i23 作出线电流和相电流的相量,如图所示。
从图中看出:
各线电流在相位上比各相电流滞后30°。
由于相电流对称,所以线电流也对称,各线电流之间相差120°。
可以看出Il=2I12cos30=
所以
这些说明:
对称三相负载呈三角形连接时,线电流的有效值为相电流有效值的
倍,线电流在相位上滞后于相电流30°。
三相电路的功率
三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和:
P=P1+P2+P3
Q=Q1+Q2+Q3
S=S1+S2+S3
当三相负载对称时,各相功率相等,总功率为一相功率的三倍。
即
通常,相电压和相电流不易测量,计算三相电路的功率时,是通过线电压和线电流来计算。
不论负载作星形连接还是三角形连接,总的有功功率、无功功率和视在功率,计算三相负载总功率的公式是相同的,即:
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