第八章:Black-Scholes期权定.ppt
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第八章:Black-Scholes期权定.ppt
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第八章:
Black-Scholes期权定价公式的应用主要内容n支付红利的股票的期权n股指期权和货币期权n期货期权n期权头寸的套期保值支付红利股票的期权n现实的股票经常是有红利支付的n考虑期权时关心的是期权有效期内的红利n红利经常是可以被预测的(有效期内)n对红利支付的两种假设n已知红利数额n已知红利率nB-S公式不能直接用支付已知红利数额nS=PV(Dividend)+PV(ST)n(欧式)期权的实际标的是PV(ST)n令:
D=PV(Dividend)支付已知红利数额(cont.)n期权定价(应用B-S公式):
例:
支付已知红利数额股票的期权价格n假设n某股票现价30元,价格波动率30%,1个月和7个月以后分别有2元的股利发放,考虑以该股票为标的,执行价为30元,有效期还有9个月的欧式看涨和看跌期权的价格。
n设此时无风险利率为6%。
n解:
n首先我们来计算期权有效期内红利的现值:
例:
支付已知红利数额股票的期权价格(cont.)例:
支付已知红利数额股票的期权价格(cont.)n查表得:
nN(d1)=0.4067nN(d2)=0.3100nN(-d2)=1-N(d2)=0.6900nN(-d1)=1-N(d1)=0.5933n最后,得到期权价格为:
支付已知红利率n对股票红利支付的另一假设n连续红利率n红利随时间连续支付,但红利率(单位时间内红利/股价)为一已知常数,记为an与连续复利的概念相似,a为名义年红利率支付已知红利率(cont.)n与支付已知红利数额相似nS=PV(Dividend)+PV(ST)n(欧式)期权的实际标的是PV(ST)n若将所得股利全部重新投资于股票,则期初的1股到期末可得expa(T-t)股,而期初的exp-a(T-t)股到期末可得1股,因此:
nPV(ST)=exp-a(T-t)Sn用exp-a(T-t)S代替B-S公式中的S即可对支付已知红利率股票的欧式期权定价支付已知红利率(cont.)n基于以连续红利率支付股利的股票的欧式期权的B-S定价公式:
股指期权n期权标的股票指数n现金结算n定价方法n把指数看作股票组合的价值n组合中股票支付的红利近似的连续红利率n套用支付已知红利率股票的B-S公式n需估计指数波动率和红利率货币期权n货币期权也称为外汇期权n期权持有者拥有以一定的汇率购买或出售某种外汇的权利n或者说,货币期权的持有者拥有按事先商定的汇率将某种货币兑换为另一种货币的权利n货币期权的定价n货币期权的标的是一种外国货币n外国货币实际上就相当于一种支付已知红利率股票,其红利率就是外币的无风险利率n套用支付已知红利率股票的B-S公式即可货币期权的定价公式用远期汇率表示看涨与看跌的货币期权n看涨期权n有权以约定的汇率(以本币)购买外汇n看跌期权n有权以约定的汇率出售外汇(换取本币)n考虑以下两个期权n以B货币为本币的购买A货币的看涨期权n以A货币为本币的出售B货币的看跌期权n它们的价值应相等(期权规模要相等)例:
看涨与看跌的货币期权n期权合约An期权持有者可以以1英镑对1.6美元的汇率用美元购买62.5万英镑n看涨期权,其价格用B-S公式中的看涨期权定价公式计算n期权合约Bn期权持有者可以以1美元对0.625英镑的汇率出售100万美元n看跌期权,其价格用B-S公式中的看跌期权定价公式计算n两个期权比较n上述两个期权都规定期权持有者有权将100万美元换成62.5万英镑,如果两个期权的到期日相等的话,它们的价格也应该是相等的例:
看涨与看跌的货币期权(cont.)例:
看涨与看跌的货币期权(cont.)期货期权n期货期权合约的标的期货合约n期货期权的执行n期权持有者将获得一个期货头寸和数额相当于期货当前价与期权执行价之间差额的现金。
n期权出售者得到对应的一个期货头寸,并付出一笔现金。
n因为期货是每日结算的,期权执行时能得到的期货合约的协议价一定是当时的期货价,而期权合约规定的是得到一份事先确定的协议价的期货合约,因此,协议价和当时的期货价之间的差额就用现金支付。
例:
期货期权n在CBOE交易的S&P500指数期货期权n期权的标的物是一份S&P500指数期货合约,该指数期货合约的规模是$250乘以指数。
n考虑一执行价为1100点的S&P500指数期货看涨期权合约。
n如果在到期日,S&P500指数期货价为1160点的话,则该期权将被执行,期权持有者将得到一个S&P500指数期货的多头头寸和现金:
(1160-1100)x$250=$15,000n而如果在到期日,S&P500指数期货价低于1100点的话,则该期权不会被执行。
例:
期货期权(cont.)n再考虑一执行价为1100点的S&P500指数期货看跌期权合约。
n如果在到期日,S&P500指数期货价为1060点的话,则该期权将被执行,期权持有者将得到一个S&P500指数期货的空头头寸和现金:
(1100-1060)x$250=$10,000n而如果在到期日,S&P500指数期货价高于1100点的话,则该期权不会被执行。
n期权持有者在执行期权后,如果不想继续保持其期货头寸,可以立即无费用地平仓期货期权的特点n期货期权的到期日n一般来说,期货期权合约的到期日通常比标的期货合约的最早交割日早几天或同时n期货期权与直接期权的比较n对欧式期权,到期日相同时,两者相同n对美式期权可能略有不同n期货期权的优点n期货期权更易于交割n期货的价格更具权威性期货期权的定价n风险中性世界中期货价格的增长率n期货价格的期望增长率为零n与支付连续红利率股票的比较n红利率a使股价增长率降低到r-an期货价格的变化等同于红利率为r的股票价格的变化n套用支付已知红利率股票的B-S公式n红利率等于无风险利率r期货期权定价公式例:
期权的风险n设:
n某股票当前价25元n以该股票为标的,三个月后到期,执行价为25的欧式看涨期权价格为2元n假如到期时股价的可能范围为20到35元n若投资股票n投资收益率的可能范围在-20%到+40%之间n若投资期权的话n投资收益率在-100%到+400%之间期权的购买者n期权的收益波动性很大(见上例)n以投机为目的购买期权n风险大n以保值为目的购买期权n风险对冲n相当于购买保险期权的出售者n风险很大n收入有限n(或有)支出可能无限n期权的出售者n一般是银行或金融机构n它们对客户提供保险n在场外交易(OTC)中,金融机构出售非标准化的期权,其空头头寸往往面临巨大的风险,这种空头头寸无法通过在期权交易所购买相应的期权合约来对冲n金融机构必须采取措施对它面临的风险进行管理,或者说对持有的期权头寸进行套期保值抵补期权头寸n考虑一个金融机构出售了上面例子中的期权n设期权标的为10万股股票n获得期权费20万元n如果股价上升到35元,将支出100万元n希望采取措施来套期保值n抵补期权头寸策略(CoveredPosition)n为了抵消股票价格上升带来的损失,在卖出期权的同时买入(10万股)股票,作为保险n抵补期权头寸策略的问题止损策略(Stop-lossStrategy)n理想:
n若到期时股票价格高于执行价,则手中持有股票可交割,若低于执行价,则手中没有股票,也不必交割n基本思路n出售了一个看涨期权以后,当股票价格高于执行价时就持有股票,当股票价格低于执行价时就不持有股票止损策略示意图止损策略的问题n止损策略的表面结果n履约成本小于期权价(有时为零)n原因:
止损策略的成本n买卖价差n必须等股价略微超出执行价,即S=K+时才能买入股票,同样,出售股票的决策也要等到股价略微低于执行价,即S=K-时才能作出n一进一出,在每一股股票上就损失n的取值是否越小越好呢?
n实际操作n每隔一段时间观测一次n若发现股价已超出执行价,则买入股票n若股价已低于执行价,则卖出股票n间隔时间短近似相当于的取值比较小,间隔时间长近似相当于的取值比较大例:
止损策略示例n设:
金融机构出售了1份看涨期权n获得期权费20万元n期权标的为10万股股票n股票当前价为25元n期权执行价为25元n金融机构采用止损策略n不考虑交易费用和贴现n可能结果如下:
例:
止损策略示例I例:
止损策略示例IIDelta套期保值n一种衍生证券的Delta定义为该衍生证券的价格变化对其标的资产价格变化的比率。
n对于一个以股票为标的的衍生证券,若其价格用f表示,则其Delta表示为:
n或当股价变化很小时:
Delta套期保值(cont.)n按照Delta的定义,它实际上是衍生证券(组合)价格对标的资产价格的敏感度,如果Delta等于零,则衍生证券(组合)的价格不随标的资产价格而变nDelta套期保值n构造一个组合,使它的Delta等于零n例如n以某股票为标的资产的一种衍生证券,其Delta记为,对一份该衍生证券的空头头寸,购入份标的股票,则整个头寸的Delta为零。
整个头寸的价值将不随标的股票的价格而变。
Delta套期保值(cont.)n欧式看涨期权和看跌期权的Delta:
nnDelta套期保值的操作n连续调整n与二叉树模型中的比较nDelta套期保值的实际效果n实验表明,Delta套期保值的效果比止损策略有很大的改进,按照delta值的变化调整组合的比例的次数越多,则套期保值效果的稳定性就越高。
例:
Delta套期保值I例:
Delta套期保值IIDelta套期保值与止损策略的比较n考虑一欧式看涨期权,设:
nS=50,K=50,r=3%,=20%,T-t=100天n分别使用止损策略和Delta套期保值策略n模拟股价变化行为1000次得到保值成本结果如下:
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- 第八 Black Scholes 期权
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