多维随机变量及其分布答案.docx

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多维随机变量及其分布答案

多维随机变量及其分布答案

【篇一：

第3章多维随机变量及其分布习题答案】

ass=txt>3.1二维离散型随机变量习题答案1.解：

?

1?

在有放回抽样情形下

?

x,y?

的可能取值为?

0,0?

?

0,1?

?

1,0?

?

1,1?

，则?

x,y?

的联合分布律为

111144

p?

x?

0,y?

0?

?

?

?

，p?

x?

0,y?

1?

?

?

?

552555254144416

p?

x?

1,y?

0?

?

?

?

，p?

x?

1,y?

1?

?

?

?

55255525

即?

x,y?

的联合分布律为：

?

2?

在不放回抽样的情形下

?

x,y?

的可能取值为?

0,1?

?

1,0?

?

1,1?

，则?

x,y?

的联合分布律为

141411，p?

x?

1,y?

0?

?

?

?

545545433p?

x?

1,y?

1?

545

p?

x?

0,y?

1?

即?

x,y?

的联合分布律为：

2.解：

?

1?

由?

x,y?

的联合分布律的性质：

?

?

p

i?

1j?

1

?

?

?

?

ij

?

1可知

0.07?

0.18?

0.15?

0.08?

a?

0.20?

1，得a?

0.32

（2）p?

x?

y?

?

p?

x?

0,y?

?

1?

?

p?

x?

1,y?

?

1?

?

p?

x?

1,y?

0?

?

0.07?

0.08?

0.32?

0.47

?

3?

x的可能取值为0，1，则?

x,y?

关于x的边缘分布律为

p0?

?

0.07?

0.18?

0.15?

0.40，p1?

?

0.08?

0.32?

0.20?

0.60即

y的可能取值为?

1，0，1，则?

x,y?

关于y的边缘分布律为

p?

?

1?

0.07?

0.08?

0.15p?

1?

0.15?

0.20?

0.35即

，

p?

0?

0.18?

0.32?

0.50

，

?

4?

x与y不独立.因为

p?

x?

0,y?

?

1?

?

0.07?

p?

x?

0?

p?

y?

?

1?

?

0.40?

0.15?

0.06，由定理3.1可知x与y不独立.

3.解：

由题意知，x?

b?

2,0.2?

，y?

b?

2,0.5?

，则由x与y独立可知p?

x?

iy?

?

j?

?

px?

?

iy?

p?

?

i

2?

i

j

j

2?

j

i

?

c2?

0.2?

?

0.8?

c2j?

0.5?

?

0.5?

i,j?

0,1,2.，

即?

x,y?

的联合分布律为

4.解：

关于x的边缘分布律为

关于y的边缘分布律为

由和相互独立，得

?

11?

1?

?

px?

1,y?

2?

px?

1py?

2?

?

?

a?

?

?

?

?

?

?

?

?

93?

9?

?

?

?

1?

p?

x?

1,y?

3?

?

p?

x?

1?

p?

y?

3?

?

1?

?

1?

b?

?

?

?

3?

18?

?

18

21

所以a?

，b?

.

99

3.2二维连续型随机变量习题答案

1.解：

?

1?

由二维联合分布函数的性质得：

?

?

?

?

fx,?

?

?

ab?

arctanxc?

?

?

?

?

?

?

?

0?

2?

?

1?

?

a?

2?

?

?

?

?

?

?

.?

f?

?

?

y?

?

a?

b?

?

?

c?

arctany?

?

0解三个方程得?

2?

?

?

?

b?

c?

?

?

?

?

2?

?

?

?

?

?

f?

?

?

?

?

ab?

c?

?

1?

?

?

?

?

?

?

2?

?

2?

?

?

?

2?

由二维联合密度函数的性质得：

当?

?

?

x,y?

?

?

时,

?

2f?

x,y?

1?

1?

?

1?

.?

a?

f?

x,y?

?

?

2?

?

2?

222

1?

x1?

y?

x?

y?

?

?

?

?

1?

x1?

y?

3?

关于x的边缘分布函数为fx

?

x?

?

f?

x?

?

fx,?

?

y?

?

lim?

y?

?

?

1?

?

?

?

?

?

?

arctaxn?

2?

?

?

2?

?

22

?

?

?

?

1?

?

?

?

arctanx?

，?

?

?

x?

?

?

?

?

2?

?

关于y的边缘分布函数为

fy?

y?

?

f?

?

?

y?

?

limf?

x,y?

?

x?

?

?

1?

?

?

?

?

?

?

?

?

arctany?

?

?

?

2?

?

22?

?

2?

?

1?

?

?

?

arctany?

，?

?

?

y?

?

?

?

?

2?

?

2.解：

?

1?

由联合密度函数的规范性得：

1?

k

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

f?

x,y?

dxdy?

?

?

?

0

?

?

?

?

?

ke?

?

3x?

2y?

dxdy，即

k

?

1，即k?

66

?

?

?

e?

3xdx?

e?

2ydy?

1，由定积分的知识得：

?

2?

p?

x?

y?

?

x?

y

?

?

f?

x,y?

dxdy?

?

dx?

6e

x

?

?

?

?

?

?

3x?

2y?

dy3.5

?

6?

e?

3xdx?

e?

2ydy?

3?

e?

5xdx?

x

?

?

?

?

?

?

?

3?

x与y相互独立.

关于x的边缘密度函数为

?

?

?

?

3x?

2y?

?

dy,x?

0?

3e?

3x,x?

0?

?

06e

?

?

f?

x,y?

dy?

?

0,其他?

?

0,其他?

fx?

x?

?

?

?

?

?

?

关于y的边缘密度函数为

fy?

y?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3x?

2y?

?

dx,y?

0?

2e?

2y,y?

0?

?

06e

f?

x,y?

dx?

?

?

?

0,其他?

?

0,其他?

因为f?

x,y?

?

fx?

x?

fy?

y?

对一切实数成立，所以x与y相互独立.3.解：

?

1?

由联合密度函数的规范性得：

1?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

f?

x,y?

dxdy

?

?

1

00

?

2

1?

21?

1?

?

a?

x2?

x?

dxdy?

a?

?

x2?

x?

dx?

dy?

a,即a?

1.

03?

03?

?

?

?

2?

关于x的边缘密度函数为fx?

x?

?

?

?

?

?

?

yf?

x?

yd

?

2?

21?

?

?

21?

x?

xdy,0?

x?

1?

?

0?

?

2?

x?

x?

0?

x?

1?

?

?

?

?

?

?

3?

3?

?

0,其他?

0,其他?

?

（3）p?

x?

y?

2?

?

x?

y?

2

?

?

f?

x,y?

dxdy

2?

x1?

52?

23?

21?

?

?

?

x?

x?

dx?

dy?

?

?

?

x3?

x2?

x?

dx?

003?

033?

36?

?

1

（4）fy?

y?

?

?

?

?

?

?

?

1?

21?

?

1x?

xdx,0?

y?

2?

0?

y?

2?

?

f?

x,y?

dx?

?

?

0?

?

3?

?

?

2

?

?

0,其他?

0,其他?

因为f?

x,y?

?

fx?

x?

fy?

y?

对一切实数成立，所以x与y相互独立.

4.解：

由题意知x与y的密度函数分别为

?

1?

2e?

2y,y?

0?

0?

x?

2

fx?

x?

?

?

2，fy?

y?

?

?

0,其他?

?

?

0,其他

?

1?

由于x与y相互独立，则

【篇二：

第3章多维随机变量及其分布试题答案】

ass=txt>一、选择（每小题2分）

1、设二维随机变量（x,y）的分布律为

则p{x?

y?

0}=（c）

（a）0.2（b）0.5（c）0.6（d）0.72、设二维随机变量（x，y）的概率密度为f（x,y）?

?

?

c,?

1?

x?

1,?

1?

y?

1

，则常数

?

0,other

c=（a）

11

（a）（b）（c）2

（d）4

42

3、设二维随机变量（x,y）的分布律为

设pij?

p{x?

i,y?

j},i,j?

0,1，则下列各式中错误的是（d）（a）p00?

p01（b）p10?

p11（c）p00?

p11（d）p10?

p014、设二维随机变量（x,y）的分布律为

则p{x?

y}=（a）

（a）0.3（b）0.5（c）0.7（d）0.8

?

ae?

xe?

2y,x?

0,y?

0

5、设二维随机变量（x，y）的概率密度为f（x,y）?

?

，则常数a=

other?

0,

（d）

（a）

13

（b）1（c）（d）222

6、设二维随机变量（x,y）的分布律为

则p{xy?

0}=（c）（a）

153（b）（c）（d）14124

7、设二维随机变量（x,y）的分布律为

f（x,y）为其联合分布函数，则f（,）=（d）

33

111

（a）0（b）（c）（d）

1264

?

e?

xe?

y,x?

0,y?

0

8、设二维随机变量（x，y）的概率密度为f（x,y）?

?

，则p{x?

y}=

other?

0,

（a）

（b）

1123

（b）（c）（d）4234

13

，则p{xy?

?

1}=44

9、设随机变量x与y独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别（d）（a）

1313

（b）（c）（d）161648

10、设二维随机变量（x，y）的分布函数为f（x,y），则f（x,?

?

）=（b）（a）0（b）fx（x）（c）fy（y）（d）1

11、设随机变量x和y相互独立，且x~n（3,4），y~n（2,9），则z?

3x?

y~（d）

45）（a）n（7,21）（b）n（7,27）（c）n（7,45）（d）n（11

12、设二维随机变量（x,y）的联合分布函数为f（x,y），其联合概率分布为

则f（0,1）=（b）

（a）0.2（b）0.5（c）0.7（d）0.813、设二维随机变量（x,y）的联合概率分布为f（x,y）?

?

则k=（b）（a）

?

k（x?

y）,0?

x?

2,0?

y?

1

，

other?

0,

111

2

（b）（c）（d）4323

14、设二维随机变量（x,y）的分布律为

则p{xy?

2}=（c）

（a）0.2（b）0.3（c）0.5（d）0.6

?

4xy,0?

x?

1,0?

y?

1

15、设二维随机变量（x,y）的概率密度为f（x,y）?

?

，则当

0,other?

0?

y?

1时，（x,y）关于y的边缘概率密度为fy（y）=（d）

（a）

11

（b）2x（c）（d）2y2x2y

16

则有（b）（a）?

?

12211221,?

?

（b）?

?

?

?

（c）?

?

?

?

（d）?

?

?

?

99993333

17、设二维随机变量（x,y）的分布律为

则p{xy?

0}=（d）（a）

1112（b）（c）（d）12633

18、设二维随机变量（x,y）的分布律为

且x与y相互独立，则下列结论正确的是（c）（a）a?

0.2,b?

0.6（b）a?

0.1,b?

0.9（c）a?

0.4,b?

0.4（d）a?

0.6,b?

0.219、设二维随机变量（x,y）的概率密度为

?

1

?

0?

x?

2,0?

y?

2

f（x,y）?

?

4，

?

other?

0,

则p{0?

x?

1,0?

y?

1}=

（a）（a）

113

（b）（c）（d）1424

20、设（x，y）的概率分布如下表所示，当x与y相互独立时，（p,q）=（c）

（a）?

?

11?

?

11?

?

12?

?

21?

?

（b）?

?

（c）?

?

（d）?

?

?

515?

?

155?

?

1015?

?

1510?

21、设二维随机变量（x,y）的概率密度为f（x,y）?

?

?

k（x?

y）,0?

x?

2,0?

y?

1

，则

0,other?

k=（a）

11

（a）（b）（c）1（d）3

32

22、设随机变量x和y相互独立，其概率分布为

?

1p{x?

m}

2

m

1m?

1p{y?

m}

221

2

1

（d）p{x?

y}?

12

则下列式子正确的是（c）

（a）x=y（b）p{x?

y}?

0（c）p{x?

y}?

23、设随机变量

x1pi?

101x2

.，

0.250.50.25pi

?

101

.，且满足

0.250.50.25

p{x1x2?

0}?

1，则p{x1?

x2}=（a）

（a）0（b）

11

（c）（d）142

24、设两个相互独立随机变量x和y分别服从正态分布n（0,1）和n（1,1），则（b）

1

（b）p{x?

y?

1}?

21

（c）p{x?

y?

0}?

（d）p{x?

y?

1}?

2

（a）p{x?

y?

0}?

1212

1。

2

1，2

解：

由z?

x?

y~n（1,2），其分布密度关于1对称，故p{x?

y?

1}?

25、设两个随机变量x和y相互独立且同分布：

p{x?

?

1}?

p{y?

?

1}?

p{x?

1}?

p{y?

1}?

（a）p{x?

y}?

1

，则下列各式中成立的是（a）2

1

（b）p{x?

y}?

1211

（c）p{x?

y?

0}?

（d）p{xy?

1}?

44

【篇三：

第三章_多维随机变量及其分布_习题）】

/p>344

1.设x与y两随机变量,且p（x?

0，y?

0）=，p（x?

0）?

p（y?

0）?

则

777

p（max（x，y）?

0）?

2.设二维随机变量（x,y）的联合概率分布为

则关于x的边缘分布律为.

（x，y）3．若?

?

应满足条件是?

?

?

?

.若x与y相互独立则?

?

=3

4.设x与y独立同分布,且x的分布律为p（x?

0）?

0.5,p（x?

1）?

0.5,则随机变量z?

max{x,y}的分布律为

5.设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为f?

x,y?

?

?

?

10?

x?

1,0?

y?

1

其他?

0

则概率p?

x?

0.5,y?

0.6?

=____0.3____。

?

ae?

（2x?

3y）,x,y?

0

6.设（x,y）联合概率密度为f（x,y）?

?

则系数a=6；

其他?

0,

?

cx2y,x2

?

y?

1,

7.设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为f?

x,y?

?

?

，则c=

其它.?

0,

8.设二维随机变量（x，y）的概率密度为

?

4.8y（2?

x）0?

x?

1,0?

y?

x

f（x,y）?

?

其它?

0

x

?

?

?

4.8y（2?

x）dy?

2.4x2（2?

x）0?

x?

1

则关于x的边缘概率密度是fx（x）?

?

0?

其它?

0

9.设随机变量x和y相互独立，且x在区间?

0,2?

上服从均匀分布，y服从参数为1的指数分布，则p?

x?

y?

1?

?

1?

1.2e

10.设随机变量x与y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

p?

max{x,y}?

1?

11.若x~n（?

1,?

1）,y~n（?

2,?

2）,相互独立,k1x?

k2y服从分布为

22

n（k1?

1?

k2?

2,k12?

12?

k2?

2）.

2

2

12．已知x1,x2,?

xn独立且服从于相同的分布函数f（x），若令

?

?

max（x1,x2,?

xn），则?

的分布函数f?

（x）=fn（x）.

二、选择题

1.设随机变量（x,y）的分布函数为f（x,y），其边缘分布函数fx（x）是（b）

f（x,y）;?

b?

limf（x,y）;?

c?

f（x,0）;?

d?

f（0,x）.?

a?

ylim

?

?

?

y?

?

?

2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以x,y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,

则（a）

11

i,j?

1,2,?

6.（b）p{x?

y}?

.

3636

11

（c）p{x?

y}?

.（d）p{x?

y}?

.

22

（a）p{x?

i,y?

j}?

（a）x=y.（b）p{x=y}=0.（c）p{x=y}=1/2.（d）p{x=y}=1.

?

6x2y,0?

x?

1,0?

y?

1

4.设（x，y）的联合概率密度函数为f（x,y）?

?

则下列结

其他?

0，

论中错误的是（b）.

（a）p{（x,y）?

g}?

（c）p{x?

y}?

?

?

f（x,y）dxdy.（b）p{（x,y）?

g}?

?

?

6x

g

g

2

ydxdy.

?

10

xdx?

06x2ydy.

（d）p{（x?

y）}?

x?

y

?

?

f（x,y）dxdy.

?

1/?

x2?

y2?

1

5.设二维随机变量?

x,y?

的联合概率密度为f?

x,y?

?

?

，则x,y

其它?

0,

满足（c）

（a）独立同分布.（b）独立不同分布.（c）不独立同分布.（d）不独立也不同分布.

6.设随机变量x与y相互独立，且分别服从n?

0,1?

和n?

1,1?

，则（b）

11.（b）p（x?

y?

1）?

.2211

（c）p（x?

y?

0）?

.（d）p（x?

y?

1）?

.

22

（a）p（x?

y?

0）?

7.设x与y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为fx?

x?

fy?

y?

，则

z?

min（x,y的分布函数为（）d）

（a）fz?

z?

?

fx?

x?

.（b）fz?

z?

?

fy?

y?

.

（c）fz?

z?

?

minfx?

x?

fy?

y?

.（d）fz?

z?

?

1?

?

?

1?

fx?

x?

?

?

?

?

1?

fy?

y?

?

?

.8.若x~n（?

1,?

1）,y~n（?

2,?

2）,且x与y相互独立,则（c）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?

?

则z~（a）

（a）n（0,5）.（b）n（0,12）.（c）n（0,54）.（d）n（?

1,2）.10.设x1,x2,?

xn相独立且都服从n（?

?

）,则下式成立的是（b）

2

1?

2

）.（a）x1?

x2?

?

?

xn.（b）（x1?

x2?

?

?

xn）~n（?

nn

（c）2x1?

3~n（2?

?

3,4?

?

3）.（d）x1?

x2~n（0,?

1?

?

2）.

2

2

2

三、计算下列各题

1.一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以x和y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出x和y的联合概率分布律。

1111

c10c9c2c4510

解.p（x?

0,y?

0）?

11?

p（x?

1,y?

0）?

110?

.1

66c12c1166c12c11

1111

c10c2c2c101

p（x?

0,y?

1）?

11?

p（x?

1,y?

1）?

111?

c12c1166c12c1166

2.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一

球，以x，y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求

（1）二维随机变量

?

x,y?

的联合概率分布律;

（2）x，y的边缘分布律。

解：

（1）x，y的取值范围为0,1,2，故

11

c3c111

p?

x?

0,y?

0?

?

13?

px?

1,y?

0?

px?

2,y?

0?

?

?

?

?

1

c6c64636

11

p?

x?

0,y?

1?

?

p?

x?

1,y?

1?

?

p?

x?

2,y?

1?

?

0,

391

p?

x?

0,y?

2?

?

p?

x?

1,y?

2?

?

0,p?

x?

2,y?

2?

?

0,

9

（2）

3.设随机变量x在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量y在1~x中等可能取一个整数值，求

（1）（x,y）的联合分布律；

（2）x，y的边缘分布律。

解：

由题意?

x?

i,y?

j?

其中i?

1,2,3,4,j?

i,j为整数，则由概率的乘法公式有

111

p?

x?

i,y?

j?

?

p?

x?

i?

p?

y?

jx?

i?

?

?

i?

1,2,3,4,j?

i.

4i4i

因此

4.

且p（xy?

0）?

1.

（1）求x,y的联合分布，

（2）问x,y是否独立？

为什么？

.解因为p（xy?

0）?

1,所以,有p（x?

?

1,y?

1）?

p（x?

1,y?

1）?

0,

（1）设x,y的联合分布为

则p11?

0.25,p31?

0.25,p22?

0.5,由于p21?

p22?

0.5,故p21?

0.5?

0.5?

0因此,（x,y）的联合分布律为

（2）由于p21?

0?

0.5?

0.5,故x与y不相互独立.

5.

假设随机变量x和y相互独立，都服从同一分布：

求概率p{x?

y}．

解注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及x和y相互独立，可见

p{x?

y}?

p{x?

0,y?

0}?

p{x?

1,y?

1}?

p{x?

2,y?

2}

?

p{x?

0}p{y?

0}?

p{x?

1}p{y?

1}?

p{x?

2}p{y?

2}9?

1?

?

1?

?

1?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

．

?

2?

?

4?

?

2?

16

6.设随机变量（x,y）的联合密度为

2

2

2