《离散数学》第一章命题逻辑 讲稿.docx

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《离散数学》第一章命题逻辑讲稿

《离散数学》讲稿

一、课程介绍

课程编号：

课程中文名称：

离散数学

课程英文名称：

Discretemathematics

课程类型：

考查课

课程性质：

专业技术基础课

总学时：

54学时理论授课学时：

46学时实验（实践）学时：

8学时

学分：

3分

适用对象：

信息管理与信息系统、信息工程本科

先修课程：

高等数学线性代数

教材与教学参考书

教材：

耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第三版），清华大学出版社,2004.

教学参考书：

屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学题解（修订版），清华大学出版社，2004.

二、离散数学课程内容：

1、数理逻辑

2、集合论

3、代数结构

4、图论组合分析初步

1.1命题符号化及联结词

一、本节主要内容

命题与真值

原子命题

复合命题

命题常项

命题变项

联结词

二、教学内容

命题与真值

命题:

判断结果惟一的陈述句

命题的真值:

判断的结果

真值的取值:

真与假

真命题:

真值为真的命题

假命题:

真值为假的命题

注意:

1.感叹句、祈使句、疑问句都不是命题；

2.陈述句中的悖论不是命题；

3.判断结果不惟一确定的不是命题

例下列句子中那些是命题？

（1）是无理数.

（2）2+5＝8.

（3）x+5＞3.

（4）你有铅笔吗？

（5）这只兔子跑得真快呀！

（6）请不要讲话！

（7）我正在说谎话.

（8）明年10月1日是晴天.

（9）地球外的星球上也有人.

（10）11＋1＝100.

（3）~（7）都不是命题（8）、（9）的真值虽然现在还不知道，但它的真值是唯一的，因而是命题。

（10）在二进制中为真，在十进制中为假，需根据上下文才能确定其真值，因而不是命题。

命题的分类

1.简单命题（原子命题）

简单构成的命题（不能分解成更简单的陈述句）

简单命题的真值是确定的，又称为命题常项或命题常元

2.复合命题

由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题

3.命题变项（命题变元）

真值不确定的陈述句，如:

x+3>5

注意：

命题变元不是命题！

简单命题符号化

联结词与复合命题

1.否定式与否定联结词“”

定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称

为p的否定式，记作p，符号称作否定联结词

p为真当且仅当p为假

2.合取式与合取联结词“∧”

定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”（或“p与q”）称

为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词，并规

定p∧q为真当且仅当p与q同时为真

注意：

描述合取式的灵活性与多样性

分清简单命题与复合命题

例将下列命题符号化.

（1）王晓既用功又聪明.

（2）王晓不仅聪明，而且用功.

（3）王晓虽然聪明，但不用功.

（4）张辉与王丽都是三好生.

（5）张辉与王丽是同学.

解令p：

王晓用功，q：

王晓聪明，则

（1）p∧q

（2）p∧q

（3）q∧p.

例（续）

令r:

张辉是三好学生，s:

王丽是三好学生

（4）r∧s.

（5）令t:

张辉与王丽是同学，t是简单命题.

联结词与复合命题（续）

定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q

的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规

定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.

例（6）选小王或小李中的一人当班长.

解令t:

小王当班长，u:

小李当班长

则（6）符号化为（t∧u）∨（t∧u）.

例（7）小王现在在宿舍或图书馆里.

令v:

小王在宿舍,w:

小王在图书馆

则（7）符号化为v∨w

联结词与复合命题（续）

定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q”称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件.称作蕴涵联结词，并规定，pq为假当且仅当p为真q为假.

注意：

1.p与q不一定有内在联系

2.前件p为假时，pq为真

联结词与复合命题（续）

pq的逻辑关系：

p为q的充分条件，q为p的必要条件

“如果p，则q”的不同表述法很多：

若p，就q

只要p，就q

p仅当q

只有q才p

除非q,才p或除非q,否则非p，

常出现的错误：

不分充分与必要条件

例设p:

天冷，q:

小王穿羽绒服，

将下列命题符号化

（1）只要天冷，小王就穿羽绒服.

（2）因为天冷，所以小王穿羽绒服.

（3）若小王不穿羽绒服，则天不冷.

（4）只有天冷，小王才穿羽绒服.

（5）除非天冷，小王才穿羽绒服.

（6）除非小王穿羽绒服，否则天不冷.

（7）如果天不冷，则小王不穿羽绒服.

（8）小王穿羽绒服仅当天冷的时候.

联结词与复合命题（续）

定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词.并pq规为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.

说明:

（1）pq的逻辑关系:

p与q互为充分必要条件

（2）pq为真当且仅当p与q同真或同假

（3）pq与（pq）（qp）等值

例求下列复合命题的真值

（1）2+2＝4当且仅当3+3＝6.

（2）2+2＝4当且仅当3是偶数.

（3）2+2＝4当且仅当太阳从东方升起.

（4）2+2＝4当且仅当美国位于非洲.

（5）2+2≠4当且仅当3不是奇数.

（6）两圆面积相等当且仅当它们的半径相等.

它们的真值分别为1，0，1，0，1,1

联结词与复合命题（续）

以上给出了5个联结词：

,,,，组成

一个联结词集合{,,,,}，

联结词的优先顺序为：

,,,;如果出

现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右

的顺序运算;若遇有括号时，应该先进行括号

中的运算.

注意:

本书中使用的括号全为园括号.

1.2命题公式及分类

一、本节主要内容

命题变项与合式公式

公式的赋值

真值表

命题公式的分类

重言式

矛盾式

可满足式

命题变项与合式公式

命题常项：

简单命题,真值确定的陈述句

命题变项：

真值不确定的陈述句

二、教学内容

定义合式公式（命题公式,公式）递归定义如下：

（1）单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1

是合式公式

（2）若A是合式公式，则（A）也是合式公式

（3）若A,B是合式公式，则（AB）,（AB）,（AB）,（AB）也是合式公式

（4）只有有限次地应用

（1）~（3）形成的符号串才是合式公式

合式公式的层次

定义

（1）若公式A是单个的命题变项或命题常项（包括0，1）,则称A为0层公式.

（2）称A是n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一：

（a）A=B,B是n层公式；

（b）A=BC,其中B,C分别为i层和j层公式，且

n=max（i,j）；

（c）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）；

（d）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）；

（e）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）.

合式公式的层次（续）

例如公式

p0层

p1层

pq2层

（pq）r3层

（（pq）r）（rs）4层

公式的赋值

定义给公式A中的命题变项p1,p2,…,pn，给p1,p2,…,pn各指定一个真值（0或1），称为对A的一个赋值或解释

成真赋值:

使公式为真的赋值

成假赋值:

使公式为假的赋值

说明：

赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.

A中仅出现p1,p2,…,pn，给A赋值12…n是

指p1=1,p2=2,…,pn=n

A中仅出现p,q,r,…,给A赋值123…是指

p=1,q=2,r=3…

含n个变项的公式有2n个赋值.

真值表

真值表:

公式A在所有赋值下的取值情况列成的表

（1）列出所有命题变项，列出所有可能赋值

（2）按从低到高的顺序写出各层次；

（3）对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到命题公式的值

例给出公式的真值表

A=（qp）qp的真值表

pq

qp

（qp）q

（qp）qp

00

01

10

11

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

例B=（pq）q的真值表

pq

p

pq

（pq）

（pq）q

00

01

10

11

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

例C=（pq）r的真值表

pqr

pq

r

（pq）r

000

001

010

011

100

101

110

111

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

公式的类型

定义设A为一个命题公式

（1）若A无成假赋值，则称A为重言式（也称永真式）

（2）若A无成真赋值，则称A为矛盾式（也称永假式）

（3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式

注意：

重言式是可满足式，但反之不真.

上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式

A=（qp）qp，B=（pq）q，C=（pq）r

真值表－－判断命题公式类型的一种方法

1.3命题逻辑等值演算

教学内容

p,q是命题变项，pq与pq在4个赋值00、01、10、11下均有相同的真值，即（pq）（pq）的取值都为1（重言式，永真式）。

给定n个命题变项，按合式公式的规则可以形成无数个命题公式。

n个命题变项共2n个赋值，每个赋值时命题公式的值为0或1，因此n个命题变项共生成22n个真值不同的命题公式。

如n=2，共16个真值不同的命题公式。

如何判断那些命题公式具有相同的真值？

等值式

定义若等价式AB是重言式，则称A与B等值，

记作AB，并称AB是等值式

说明：

定义中，A,B,均为元语言符号,A或B中

可能有哑元出现.

例如，在（pq）（（pq）（rr））中，r为左边

公式的哑元.

用真值表可验证两个公式是否等值

请验证：

p（qr）（pq）r

p（qr）（pq）r

基本等值式

双重否定律:

AA

等幂律：

AAA,AAA

交换律:

ABBA,ABBA

结合律:

（AB）CA（BC）

（AB）CA（BC）

分配律:

A（BC）（AB）（AC）

A（BC）（AB）（AC）

注意：

A,B,C代表任意的命题公式

基本等值式（续）

德·摩根律:

（AB）AB

（AB）AB

吸收律:

A（AB）A,A（AB）A

零律:

A11,A00

同一律:

A0A,A1A

排中律:

AA1

矛盾律:

AA0

基本等值式（续）

蕴涵等值式:

ABAB

等价等值式:

AB（AB）（BA）

假言易位:

ABBA

等价否定等值式:

ABAB

归谬论:

（AB）（AB）A

注意:

A,B,C代表任意的命题公式

牢记这些等值式是继续学习的基础

等值演算与置换规则

等值演算:

由已知的等值式推演出新的等值式的过程

置换规则：

若AB,则（B）（A）

等值演算的基础：

（1）等值关系的性质：

自反、对称、传递

（2）基本的等值式

（3）置换规则

应用举例——证明两个公式等值

例1证明p（qr）（pq）r

证p（qr）

p（qr）（蕴涵等值式，置换规则）

（pq）r（结合律，置换规则）

（pq）r（德摩根律，置换规则）

（pq）r（蕴涵等值式，置换规则）

说明:

也可以从右边开始演算（请做一遍）

因为每一步都用置换规则，故可不写出

熟练后，基本等值式也可以不写出

应用举例——证明两个公式不等值

例2证明:

p（qr）（pq）r

用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两

个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成

真,另一个成假.

方法一真值表法（自己证）

方法二观察赋值法.容易看出000,010等是左边的

成真赋值，是右边的成假赋值.

方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.

应用举例——判断公式类型

例3用等值演算法判断下列公式的类型

（1）q（pq）

解q（pq）

q（pq）（蕴涵等值式）

q（pq）（德摩根律）

p（qq）（交换律，结合律）

p0（矛盾律）

0（零律）

由最后一步可知，该式为矛盾式.

例3（续）

（2）（pq）（qp）

解（pq）（qp）

（pq）（qp）（蕴涵等值式）

（pq）（pq）（交换律）

1

由最后一步可知，该式为重言式.

问：

最后一步为什么等值于1？

例3（续）

（3）（（pq）（pq））r）

解（（pq）（pq））r）

（p（qq））r（分配律）

p1r（排中律）

pr（同一律）

这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可

满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.

总结：

A为矛盾式当且仅当A0

A为重言式当且仅当A1

说明：

演算步骤不惟一,应尽量使演算短些

1.4联结词全功能集

一、本节主要内容

复合联结词

排斥或

与非式

或非式

真值函数

联结词全功能集

二、教学内容

复合联结词

排斥或（异或）:

“p、q之中恰好有一个成立”

pq（pq）（pq）

与非式:

“p与q的否定”pq（pq）

或非式:

“p或q的否定”pq（pq）

问题：

多少个联结词最合适？

真值函数

问题：

含n个命题变项的所有公式共产生多少个互

不相同的真值表？

答案为个，为什么？

定义称定义域为{00…0,00…1,…,11…1}，值域

为{0,1}的函数是n元真值函数，定义域中的元素是

长为n的0,1串.常用F:

{0,1}n{0,1}表示F是n元真值

函数.

共有个n元真值函数.

例如F:

{0,1}2{0,1}，且F（00）=F（01）=F（11）=0，

F（10）=1，则F为一个确定的2元真值函数.

命题公式与真值函数

对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都存在

惟一的一个n元真值函数F为A的真值表.

等值的公式对应的真值函数相同.

下表给出所有2元真值函数对应的真值表,每一个含

2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到.

例对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都存在

惟一的一个n元真值函数F为A的真值表.

等值的公式对应的真值函数相同.

下表给出所有2元真值函数对应的真值表,每一个含

2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到.

例如：

pq,pq,（pq）（（pq）q）等都对应

表中的

如：

pq,pq,（pq）（（pq）q）等都对应

表中的

2元真值函数对应的真值表

pq

00

01

10

11

00000000

00001111

00110011

01010101

pq

00

01

10

11

11111111

00001111

00110011

01010101

联结词的全功能集

定义在一个联结词的集合中，如果一个联结词可

由集合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余

的联结词，否则称为独立的联结词.

例如,在联结词集{,,,,}中，由于

pqpq,

所以，为冗余的联结词;类似地，也是冗余的

联结词.

又在{,,}中，由于pq（pq）

所以，是冗余的联结词，但{,}无冗余的联结词.

类似地，也是冗余的联结词，但{,}无冗余的联结词.

联结词的全功能集

定义设S是一个联结词集合，如果任何n（n1）元

真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表

示，则称S是联结词全功能集.如果联结词全功能集

不含冗余的联结词，则称为极小功能集.

说明：

若S是联结词全功能集，则任何命题公式都可用S

中的联结词表示.

若S1,S2是两个联结词集合，且S1S2.若S1是全

功能集，则S2也是全功能集.

联结词的全功能集实例

（1）S1={,,,}

（2）S2={,,,,}

（3）S3={,}

（4）S4={,}

（5）S5={,}

（6）S6={}

（7）S7={}

而{},{}等则不是联结词全功能集.

例如已知{,}是全功能集，证明{,}也是全功能集

证：

因为{,}是全功能集，任意一个真值函数可以用

{,}联结词的命题公式表示。

对于任意的命题公式，ABAB,因此任意一个真值函数可以用{,}联结词的命题公式表示。

例p（pp）pp

p（pp）pp

p（p）（pp）（pp）（pp）

p（p）（pp）（pp）（pp）

1.5对偶与范式

一、本节主要内容

对偶式与对偶原理

析取范式与合取范式

主析取范式与主合取范式

二、教学内容

对偶式和对偶原理

定义在仅含有联结词,∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧,∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.

从定义不难看出，（A*）*还原成A

例（p∧q）与（p∨q）

0与1

（p∨q）∨0与（p∧q）∧1

定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,pn是出现在A和

A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，

则

（1）A（p1,p2,…,pn）A*（p1,p2,…,pn）

（2）A（p1,p2,…,pn）A*（p1,p2,…,pn）

例A（p,q,r）p∧（q∨r）

A*（p,q,r）p∨（q∧r）

（1）A（p,q,r）（p∧（q∨r））p∨（q∧r）

A*（p,q,r）p∨（q∧r）

（2）A（p,q,r）p∧（q∨r）

A*（p,q,r）（p∨（q∧r））p∧（q∨r）

定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，

若AB，则A*B*.

例

1.A1（重言式），则A*0（矛盾式）

2.A0（矛盾式），则A*1（重言式）

3.p∨（p∨（q∧q））1

则p∧（p∧（q∨q））0

析取范式与合取范式

简单析取式:

有限个命题变项及其否定构成的析取式

如p,q,pq,pqr,…

简单合取式:

有限个命题变项及其否定构成的合取式

如p,q,pq,pqr,…

析取范式:

由有限个简单合取式组成的析取式

A1A2Ar,其中A1,A2,,Ar是简单合取式

合取范式:

由有限个简单析取式组成的合取式

A1A2Ar,其中A1,A2,,Ar是简单析取式

析取范式与合取范式（续）

范式:

析取范式与合取范式的总称 

公式A的析取范式:

与A等值的析取范式

公式A的合取范式:

与A等值的合取范式

说明：

1.单个命题变项及其否定既是简单析取式，又是简单合取式

2.形如pqr,pqr的公式既是析取范式，

又是合取范式（为什么?

）

3.析取范式的对偶式为合取范式，合取范式的对偶式为析取范式

4.一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

5.一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

命题公式的范式

定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式

与合取范式.

求公式A的范式的步骤：

（1）消去A中的,（若存在）

（2）否定联结词的内移或消去

（3）使用分配律

对分配（析取范式）

对分配（合取范式）

注意：

公式的范式存在，但不惟一

求公式的范式举例

例求下列公式的析取范式与合取范式

（1）A=（pq）r

解（pq）r

（pq）r（消去）

pqr（结合律）

这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析

取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式

组成的合取式）

求公式的范式举例（续）

（2）B=（pq）r

解（pq）r

（pq）r（消去第一个）

（pq）r（消去第二个）

（pq）r（否定号内移——德摩根律）

这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）

继续：

（pq）r

（pr）（qr）（对分配律）

这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）

极小项与极大项

定义在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，

若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一

次，而且第i（1in）个文字出现在左起第i位上，称这样

的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.

说明：

n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项

2n个极小项（极大项）均互不等值

用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示.用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示,mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称.

mi与Mi的关系:

miMi,Mimi

极小项与极大项（续）

由p,q两个命题变项形成的极小项与极大项

极小项

极大项

公式

成真赋值

名称

公式

成假赋值

名称

pq

pq

pq

pq

00

01

10

11

m0

m1

m2

m3

pq

pq

pq

pq

00

01

10

11

M0

M1

M2

M3

由p,q,r三个命题变项形成的极小项与极大项