《高等数学》 详细上册答案一七要点.docx

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《高等数学》详细上册答案一七要点

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划

《高等数学》上册（一----七）

第一单元、函数极限连续

使用教材：

同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；

同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；

核心掌握知识点：

1.函数的概念及表示方法；

2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；

3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；

4.基本初等函数的性质及其图形；

5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；

6.极限的性质及四则运算法则；

7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；

8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；

9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；

10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

2h

第1章第1节

映射与函数

函数的概念

函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

复合函数、反函数、分段函数和隐函数

初等函数具体概念和形式，函数关系的建立

习题

1－1

4（3）（6）（8）,5（3）★,9

（2）,15（4）★,17★

4（4）（7）,5

（1）,7

（2）,15

（1）

本节有两部分内容考研不要求，不必学习：

1.“二、映射”；

2.本节最后——双曲函数和反双曲函数

第二天

3h

第1章第2节

数列的极限

数列极限的定义

数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）

习题

1－2

1

（2）（5）（8）★

3

（1）

1.大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；

2.对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节

函数的极限

函数极限的概念

函数的左极限、右极限与极限的存在性

函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）

习题

1－3

2,4★

3,

1.大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；

2.对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

第三天

3h

第1章第4节

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大的定义

无穷小与无穷大之间的关系

习题

1－4

4,6★

1,5

大家要搞清楚无穷大与无界的关系

第1章第5节

极限运算法则

极限的运算法则（6个定理以及一些推论）

习题

1－5

1（5）★（11）（13）★,3,5

1（9）（10）（14）,2

（1）,4

有理分式函数当

的极限要记住结论，以后直接使用。

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

3h

第1章第6节

极限存在准则两个重要极限

函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）

两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）

利用函数极限求数列极限

习题

1－6

1

（2）（6）★,2

（1）（4）★,4

（1）（3）★

4（5）

1.利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看；

2.“柯西极限存在准则”考研不要求.

第1章第7节

无穷小的比较

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用

一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法

习题

1－7

1,2★,3

（1）,4（3）★（4）★

3

（2）

例1和例2中出现的所有等价无穷小都要求熟记.

第二天

3h

第1章第8节

函数的连续性与间断点

函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）

判断函数的连续性和间断点的类型

习题

1－8

3（4）,4★,5

1

熟记：

1.连续性的定义；

2.间断的定义与间断点的分类

第1章第9节

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的、和、差、积、商的连续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

习题

1－9

3（4）（6）（7）★,4（4）★（6）★,6★

1,3（5）,4（3）,5

——

第三天

3h

第1章第10节

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）

习题

1－10

1,3★

5

考研不要求的内容：

1.“三、一致连续性”

第1章

总复习题

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题一

3

（2）,9

（2）（4）（6）,10,13

1,2

——

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

第二单、元函数微分学

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；

2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；

3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；

4.会求以下函数的导数：

分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；

5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；

6.会用洛必达法则求未定式的极限；

7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；

8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；

9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

3h

第2章第1节

导数概念

导数的定义、几何意义、物理意义

单侧与双侧可导的关系

可导与连续之间的关系

函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质

按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限

会求平面曲线的切线方程和法线方程

习题

2－1

2,6,7,8,13★,16

（2）★,17

9

（2）（5）,11,14

——

第二天

3h

第2章第2节

函数的求导法则

导数的四则运算公式（和、差、积、商）

反函数的求导公式

复合函数的求导法则

基本初等函数的导数公式

分段函数的求导

习题

2－2

2（9）★,3

（2）,4,7（8）★,8（5）,11（6）（9）

2（6）（7）,6（4）（8）,7（4）,9,10

（2）,11（4）

考研不要求的内容：

1.“例17双曲函数与反双曲函数的导数”

第三天

3h

第2章第3节

高阶导数

高阶导数

n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）

习题

2－3

1（3）,3

（2）,4

（1）,8★,10

（2）★,

1（9）（10）,7,9,11（3）

例3例4例5的结论要求记住，以后可直接利用。

第2章第4节

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

隐函数的求导方法，对数求导法

由参数方程确定的函数的求导方法

习题

2－4

1

（1）,2,3（4）★,4

（1）,5

（2）,10

1（4）,8（3）

考研不要求的内容：

1.“三、相关变化率”

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

2h

第2章第5节

函数的微分

函数微分的定义，几何意义

基本初等函数的微分公式

微分运算法则，微分形式不变性

一元函数微分在函数近似计算中的应用

习题

2－5

2★,6

1,3（3）（6）,4（4）（6）（7）

考研不要求的内容：

1.“四、微分在近似计算中的应用”

第二天

2h

第2章

总复习题二

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题二

1,3★,6

（1）,7,11,13,14★

9

（1）,

——

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

天数

时间

学习任务

第一天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册2-1、2-2、21-3内容，吃透习题。

第二天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册2-4、2-5内容，吃透习题。

第三天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题二内容，吃透课后习题。

第3章、微分中值定理与导数运用

使用教材：

同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；

核心掌握知识点：

1.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；

2.会用洛必达法则求未定式的极限；

3.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；

4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线.

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题

（选做）

备注

第一天

3h

第3章第1节

微分中值定理

费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义

构造辅助函数

习题

3－1

6,8★,11

（1）★,12,15★

4,5,10

——

第二天

2h

第3章第2节

洛必达法则

洛必达法则及其应用

习题

3－2

1（10）（13）（15）★,4★

1（3）（6）（16）

——

第三天

2h

第3章第3节

泰勒公式

泰勒中值定理

麦克劳林展开式

习题

3－3

5,7,10

（2）★（3）

3,4

不用仔细看的内容：

1.泰勒中值定理的证明

第四天

3h

第3章第4节

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调区间，极值点

函数的凹凸区间，拐点

习题

3－4

3（6）★,5（4）,6,9（5）★,10（3）,12

1,3

（2）,5（3）,9

（1）,13

1.总结求单调区间的步骤；

2.总结求拐点的步骤。

第五天

2-3h

第3章第5节

函数的极值与最大值最小值

函数极值的存在性：

一个必要条件，两个充分条件

最大值最小值问题

函数类的最值问题和应用类的最值问题

习题

3—5

1（8）★,

4（3）,10,11

1

（2）（4）（10）,4

（1）,6

1.总结求极值与最值的步骤；

2.例5例6不用看；

3.例7需重点搞懂。

第六天

2h

第3章第6节

函数图形的描述

利用导数作函数图形（一般出选择题）：

函数

的间断点、

和

的零点和不存在的点，渐近线

由各个区间内

和

的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点

习题

3－6

1,4★

——

——

第七天

2h

第3章第7节

曲率

弧微分

曲率的定义，曲率的计算公式

曲率圆、曲率半径

习题

3－7

5

1,4

1.记住“弧微分公式”和“曲率计算公式”；

2.考研不要求的内容：

“四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线”。

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题选做

备注

第七天

3h

第3章

总复习题三

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题三

1,2

（2）,6,7,9,10（4）,11（3）,12,17

4,10

（2）,18

——

第七天

2h

调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答

——

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

第四章、不定积分

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.原函数、不定积分的概念；

2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

2h

第4章第1节

不定积分的概念与性质

原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）

基本的积分公式

原函数的存在性、几何意义和力学意义

习题

4－1

1

（1）,2

（1）（6）（8）（13）（17）★（19）★（21）★（25）,5★

2（3）（11）（14）（16）（20）（26）

熟记“基本积分表”，公式1—13

第二天

3h

第4章第2节

换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）

第二类换元积分法

习题

4－2

2

（1）（3）（6）（9）（13）（15）（16）★（17）★（19）★（21）★（30）★（32）（34）★（36）（37）

2（4）（10）（14）（18）（20）（22）（23）（38）（39）

1.注意：

204页小字部分不用看；

2.熟记P205公式16—24.

第三天

3h

第4章第3节分部积分法

分部积分法

习题

4－3

2,5,6★,9★,14,17,18★,19,22,24★

3,10,15,20,23

——

第四天

3h

第4章第4节

有理函数积分

有理函数积分法，可化为有理函数的积分

习题

4－4

2,4★,8,20★,23

12

注意：

仅“例4”不在考研范围之内。

第五天

2h

第4章

总复习题四

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题四

1,2,5,9,10★,12,14★,16,21,23★,33★,35,38

8,15,19,25,30

——

学习计划调整任务

天数

时间

学习任务

第一天

2h

调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

第五章、定积分

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；

2.定积分的换元积分法与分部积分法；

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

3h

第5章第1节

定积分的概念与性质

定积分的定义与性质（7个性质）

函数可积的两个充分条件

习题

5—1

2

（1）★,3

（2）★（3）,11★,12

（2）,13（5）

3（4）,4（4）,13（4）

考研不要求的内容：

1.“三、定积分的近似计算”。

第5章第2节

微积分的基本公式

积分上限函数及其导数

牛顿－莱布尼兹公式

习题

5—2

5

（2）,6（5）（8）（11）★（12）★，

9

（2）,10★,12★,13★

5（3）,6（6）（10）,9

（1）,11

可以不看的内容：

1.“一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系”；

2.“例5”.

第二天

3h

第5章第3节

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分部积分法

习题

5—3

1

（2）（4）（6）★（10）（12）（19）（21）★（24）（26）★,5,6,7（11）★

1（3）（7）（13）（20）（22）,7（10）

以后可以直接使用的结论：

例5，例6，例7，例12.

第5章第4节

反常积分

无穷限的反常积分

无界函数的反常积分

习题

5—4

1（4）（8）（10）,2★

1（6）（9）

——

第三天

2h

第5章

总复习题五

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题五

1

（1）

（2）（4）★,3

（2）,4

（2）★,10（7）★（9）（10）,11,12,13,14★

3

（1）,4

（1）,7,10（4）（6）

——

学习计划调整任务

天数

时间

学习任务

第一天

2h

调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

天数

学习时间

学习章节

第一天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册5-1、5-2内容，吃透习题。

第二天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册5-3、5-4内容，吃透习题。

第三天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题五内容，吃透课后习题。

第六章、定积分的运用

计划对应教材：

高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.积分上限的函数的概念和它的导数，牛顿-莱布尼茨公式；

2.反常积分的概念与计算；

3.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

3h

第6章第1节

定积分的元素法

元素法

——

——

——

——

第6章第2节

定积分在几何学上的应用

求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）

旋转体的体积及侧面积

平行截面面积为已知的立体的体积

平面曲线的弧长

习题

6—2

1

（1）（4）,2

（1）,4,5

（1）,9,12★,15

（1）（3）★,16★,19,21

1（3）,2（4）,3,5（3）,15

（2）

1.能够自己推导各个计算公式.

第二天

3h

第6章第3节

定积分在物理学上的应用

用定积分求功、水压力、引力

习题

6—3

5,11

——

——

第6章

总复习题

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题六

2,3,5

——

——

学习计划调整任务

天数

时间

学习任务

第一天

2h

调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答

学习任务巩固练习阶段：

（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）

天数

学习时间

学习章节

第一天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册6-1、6-2内容，吃透习题。

第二天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册6-3、6-4内容，吃透习题。

第三天

2h

回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题六内容，吃透课后习题。

第四天

2h

考研真题对应章节练习----高数第四、五、六章对应真题

第七章、常微分方程

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；

2.变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；

3.齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程的解法；

4.可降阶微分方程：

的解法；

5.线性微分方程解的性质及解的结构；

6.二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

8.会解欧拉方程．

天数

学习时间

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第一天

3h

第7章第1节

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念：

微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解

习题

7—1

1

（1）（4）,2

（2）（4）,4

（2）,5

（2）

1（5）（6）,2（3）,4（3）,5

（1）

——

第7章第2节

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程的概念及其解法

习题

7—2

1

（1）（3）（4）（7）★,2（3）★,4,6★

1（5）（10）,2（4）

可以不用看的内容：

例2例3例4

第7章第3节

齐次方程

一阶齐次微分方程的形式及其解法

可化为齐次的方程

习题

7—3

1

（1）★（4）,2

（1）★,3★

1（5）,2

（2）

考研不要求的内容：

“二、可化为齐次的方程”

第二天

3h

第7章第4节

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的形式和解法

伯努利方程的形式和解法

习题

7—4

1

（2）（3）（7）（10）★,2

（1）★（4）,3,4,7（3）,8（5）

1（4）（8）（9）,2（3）（5）,7

（1）

1.可以不用看的内容：

例2；

2.考研不要求的内容：

“二、伯努利方程”.

第7章第5节

可降阶的高阶微分方程

用降阶法解下列微分方程：

，

和

习题

7—5

1

（1）（4）（7）,2

（2）,3

1（5）（10）,2（4）

可以不用看的内容：

例2例4例6.

第三天

3h

第7章第6节

高阶线性微分方程

n阶线性微分方程的形式

线性微分方程的解的结构：

齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质

习题

7—6

1

（1）（3）（6）,4

（2）,

1

（2）（8）（9）,4（4）

可以不用看的内容：

1.“一、二阶线性微分方程举例”；

2.“三、常数变易法”.

第7章第7节

常系数齐次线性微分方程

特征方程

特征方程的根与微分方程通解中的对应项

微分方程的通解

习题

7—7

1

（1）★（4）★（5）,2

（2）★（3）,

1（6）（9）（10）,2

（1）（6）

可以不用看的内容：

例4例5.

第7章第8节

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：

多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积

习题

7—8

1

（1）（3）（7）★（9）★,2

（2）★,6★

1

（2）（4）（6）,2

（1）（4）

可以不用看的内容：

例6.

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