最新立体几何专题一表面积体积计算.docx
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最新立体几何专题一表面积体积计算
立体几何专题复习一:
空间几何体的表面积与体积
【高考会这样考】
考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图
及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.
【复习指导】
本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简单的问题.
基础梳理
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧=2eh
V=Sh=<2h
圆锥
S侧=招
、,1〜12.1
V=?
Sh=; 333 A/l2-r2 圆台 S侧=兀Hi+r2)1 1一r—1 V=~(S±+S下+寸S上序)h=吊 33 d+r2+r1「2)h 直棱柱 S侧=Ch V=Sh 正棱锥 -1, S侧=§Ch 1V=-Sh 3 正棱台 S侧=2(C+C)h' V=1(S上+S下+4S上Sr)h 球 -,一2 S球面=4tiR 43 V=三求3 3 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等丁侧面积与底面面积之和. ^=助喜感炸 两种方法 .… (1)限m环gw白更! ■仓作叫理凶力: 汰,…二皂1内切,一一二也1处按: …限题1■坚认………一.殳分折图形2…明速切乂如按丈怛仗茸? 一…一仰正句天无一困网的燹苹关一系一,一一…一为作也会道..的成也贸? 一…如球内以工正方性? 一一…切一点&正方佐各仝皿的一中心一2一…一一正方北也棱长笠J_.球也互彳至;…一球外接亍正力性一,…一正方体的顶点为在球皿上2…一一正方体的体对角一线长笠一.壬球此直径: …一球,旋招体珂组合一,一…一迥宣作它一们顶,剑截回进行解魁一,……球m多皿体的.组一合一,…通过多画体的二条侧拔*口球心或一一…一一: : 切点一”…、…―: 接点: 一一作用戒回图: …一 02 (2)笠俎法;…笠积法包括笠回积法也笠伐想法二…笠班项勺项提是几何罔形(或几位体)的也积一(或体枳)通过目如条件可以得ilk一…利用笠枳法可以一用咪逑链几何罔形的…一.肓或几何体的一宣,一…特划是任丞三角应敢有和三校锥的匝: ……这二方法回遮了具体;1一.过作阁很到二角形…(或三棱锥一面也…而厘过口接让篡径到何一的数值: ……一 KAOXlANGTANJIUDAOXI 泳考向探究导析 考向一几何体的表面积 【例1】? (2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 ()• A.48 B.32+^17 D.80 C.48+8而 [审题视点]由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面 积. 解析换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为V17,所以该几何体的表面积为48+8面. 答案C 方诱总蜻》以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进 行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素问的位置关系及数量关系. 【训练1】若 )• B.2 D.6 个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等丁 A.3 C.2\[3 解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三 棱柱,则此三棱柱的侧面积为2X1X3=6. 答案D 考向二几何体的体积 【例2】? (2011广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,贝U该几何体的体积为(). B. 123C.93 [审题视点]根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公 式求解. 解析该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边 长为3的正方形,高为寸3,故V=3x3X寸3=W3. 答案C 方喘总蜻力以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原 几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素问的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 【训练2】(2012东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等 丁()• 28 A—攵3 解析由三视图可知,该几何体是底面半径为2,高为2的圆柱和半径为1的球 的组合体,则该几何体的体积为兀x22x2+4U28兀. 33 答案A 考向三几何体的展开与折叠 【例3】? (2012广州模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ZADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,将AADC沿AC折起,使平■面ADCL平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示. ⑴求证: BCL平面ACD; (2)求几何体DABC的体积. [审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明BC垂直丁平■面ACD内的两条相 交线即可; (2)利用体积公式及等体积法证明. (1)证明在图中,可得AC=BC=2艘, 从而AC2+BC2=AB2,故AC±BC,取AC的中点O,连接DO, WJDO±AC,乂平面ADCL平面ABC,平面ADCA平面ABC=AC,DO? 平面 ADC,从而DOL平面ABC,..DO±BC, 乂AC±BC,ACADO=O,..BCL平面ACD. ⑵解由⑴可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2也,、△ACD=2,•,-Vbacd= 1-1c…4,2 -S^AACDBC=^X2X2寸2=^-, 333 由等体积性可知,几何体DABC的体积为432 (1)有关折叠问题,一定要分活折叠前后两图形(折前的平■面图形和折叠 后的空间图形)各元素问的位置和数量关系,哪些变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化 为平■面上两点间的最短距离问题. 【训练3】已知 在直三棱柱ABCAiBiCi中,底面为直角三角形,ZACB=90°,AC=6,BC=CCi=曲,P是BCi上一动点,如图所示,MCP+PAi的最小值为. 解析RAi在平■面AiBCi内,PC在平■面BCCi内,将其铺平后转化为平■面上的问 题解决.计算AiB=ABi=寸40,BCi=2,乂AiCi=6,故AAiBCi是ZAiCiB=90° 的直角三角形.铺平■平■面AiBCi、平面BCCi,如图所示. CP+FAi>AiC. 在MCiC中,由余弦定理得 AiC=/62+(V2f—26也cosi35=何=5枳,故(CP+FAi)min=^2. 答案5.2 考向四转换法——等体积法 能很容易的求出其高和底面△AMN的面积,从而代入公式求解. 解: 1111112313 VaJMNP=Vp上MN=—$△A1MNh=,X—AMANA\P—3—a~a=切a- 3323223424 评注: 转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法,也是以后学习求点到平■面距离的一个理论依据. 考向五分割法 分割法也是体积计算中的一种常用方法,在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比时经常要用到分割法. 例5如图2,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比. 分析: 截面EB1C1F将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台 AEF-AB1C1;另一部分是一个不规则几何体,其体积可以利用棱 柱的体积减去棱台的体积求得. 解: 设棱柱的底面积为S,高为h,其体积V=Sh. 则三角形AEF的面积为-S. 4 …1S八S7八 由于Vaef^bc=一,h,.—+S+—=—Sh, -7一5一 =Sh-一Sh=—Sh, 1212 AEFFG34212 则剩余不规则几何体的体积为V,=V-VAEFABCi AEF-^A|B1C1 所以两部分的体积之比为Vaefybq: V'=7: 5. 评注: 在求一个几何体被分成的两部分体积之比时,若有一部分为不规则几何体,则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积,再进行计算. H*KAOTlZHUAIMXdAM^rLJPD・・■・—・・ 03冷考题专项突破 难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先要 熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如 把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键. 【示例1】? (2010安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为 ()• IIm—6——I.6— 正(主]推图测(左)视图 偏视周 A.280B.292C.360D.372 ♦想象该几何体的形状及构成 •该几何体是由两个长方体组合成的 表面积S=(10X8+8X2+1□乂幻X2+: ^(6X8+2X8)X,2=3龄・选C 「末惠葛复携D;源画是拒亟香彼南蔑赢而葩丽“I积也算进去了 【示例2]? (2011全国新课标)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的金,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为. 乂h=2无=2\j~iS,•-S圆柱侧=(^flS)2=4S. 答案A 2.(2012东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(). A.3探B.6探C.12: a2D.24探 解析由丁长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为 t(2af+a2+a2=J6a.乂长方体外接球的直径2R等丁长方体的体对角线,二2R=寸6a...S球=4R=6着. 答案B 3.(2011北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ()• A.8B.62 C.10D.82 解析由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为6,6/2,8,10,所以面积最大的是10,故选择C. 答案C 4. (2011湖南)设 99 A.2Tt+12B.^^+18 C.9计42D.36计18 解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体 的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为2X32+3兀¥)=2^+18.答案B 5.若一个球的体积为4®,则它的表面积为. 解析V=£R=4寸3兀,..R=寸3,S=4R=4兀日12兀.3 答案12兀
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