最新人教版高中数学必修5第三章《本章复习》示范教案1.docx
- 文档编号:25018247
- 上传时间:2023-06-03
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:109.60KB
最新人教版高中数学必修5第三章《本章复习》示范教案1.docx
《最新人教版高中数学必修5第三章《本章复习》示范教案1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新人教版高中数学必修5第三章《本章复习》示范教案1.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新人教版高中数学必修5第三章《本章复习》示范教案1
本章复习
(二)
从容说课
通过投影仪展示实际情景,复习简单线性规划问题的一些基本概念.在直角坐标系内,用二元一次不等式(组)的解集表示直角坐标平面上区域问题.用一个具体的二元一次不等式(组),回忆一元二次不等式表示的区域及确定的方法,作出其平面区域,并通过直线方程的知识得出最值.让学生更深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念,有利于二元一次不等式(组)与平面区域的知识的进一步巩固.再通过具体例题的分析和求解,得出简单线性规划问题的解法,再辅以新的例题巩固了简单线性规划问题的解法,以及简单线性规划问题的解法与一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式(组)与平面区域的联系.得出简单线性规划问题的解法的步骤和过程,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生的学习兴趣.本节课的内容与实际问题联系紧密,有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.同时,本节课内容渗透了多种数学思想,是向学生进行数学思想方法的教学的好教材,也是培养学生观察、作图等能力的好教材.通过本节课的复习,让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源,取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.这部分内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习,可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.
教学重点1.通过复习,深化线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;
2.正确作出二元一次不等式(组)表示平面的区域和用图解法解决简单的线性规划问题;
3.培养学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的能力.
教学难点1.把实际问题转化为线性规划问题,准确求得线性规划问题的最优解;
2.引导学生用化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.
教具准备实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺
三维目标
一、知识与技能
1.通过复习,深化线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;
2.运用线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.
二、过程与方法
1.采用探究法,按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用.提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新.
三、情感态度与价值观
1.本节课教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;
2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、积极的学习品质,从而提高学习质量;
3.结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.
教学过程
导入新课
师前一节课我们已经复习了解不等式及简单不等式的证明.本节课我们将复习简单线性规划问题的解法与一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式(组)与平面区域的联系.进而巩固简单线性规划问题的解法的步骤和过程,并展开一些应用.
(此时,老师用投影仪给出下面的结论和方法,和同学们一起回忆)
推进新课
1.结论:
二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线;若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
2.判断方法:
由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入ax+by+c,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以a0x+b0y+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当c≠0时,常把原点作为此特殊点.
(此时,老师用投影仪给出下面的图形归纳)
用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形:
平面区域
二元一次
不等式
Ax+By+C≥0
(A>0,B>0)
Ax+By+C≤0
(A>0,B>0)
Ax+By+C≥0
(A>0,B<0)
Ax+By+C≤0
(A>0,B<0)
说明
对于二元一次不等式不带等号时,其表示的平面区域,应把边界直线画成虚线
[课堂练习]
师请同学们画出不等式组
表示的平面区域.
(请学生上黑板板演,教师作点评)
解:
不等式x+y-6≥0表示在直线x+y-6=0上及右上方的点的集合,x-y≥0表示在直线x-y=0上及右下方的点的集合,y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合,x<5表示直线x=5左方的点的集合,所以不等式组
表示的平面区域如图所示.
师这位同学完成得很好.同学们要注意不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实.规范的作图,是我们解好线性规划实际应用问题的基础.
(结合课本上实例,让同学们复习有关概念)
[合作交流]
师诸如上述问题中,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数.另外注意:
线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解.
师请同学们再回忆解简单线性规划实际应用题问题的步骤.
生简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:
(1)阅读题意,寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t=0,画出直线l0,观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解);
(4)由实际问题的实际意义作答.
师这位同学回答得很好.步骤中的注意点说得较到位.
(此时,老师用投影仪给出下列例题)
[合作探究]
【例1】设实数x、y满足不等式组
或
(1)求点(x,y)所在的平面区域;
(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最大值和最小值.
((1)让同学上黑板板演,教师作点评)
师这位同学画得很好.关键是确定区域的边界线.点(x,y)所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).其中AB:
y=2x-5;BC:
x+y=4;CD:
y=-2x+1;DA:
x+y=1.第二小问如何求解?
生由于直线l的斜率为参数a,所以在求截距k的最值时,要对参数a进行讨论,方法是让直线l动起来.
师这位同学回答得非常好,看出了此问题的本质.
生(2)f(x,y)表示直线l:
y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求区域有公共点.∵a>-1,∴当直线l过顶点C时,f(x,y)最大.∵C点的坐标为(-3,7),∴f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1<a≤2,那么当直线l过顶点A(2,-1)时,f(x,y)最小,最小值为-1-2a.如果a>2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,f(x,y)最小,最小值为1-3a.
师很好,请同学们继续解决下面这个问题.
【例2】某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示:
级别
加工能力(个/人天)
成品合格率(%)
工资(元/天)
Ⅰ
240
97
5.6
Ⅱ
160
95.5
3.6
工厂要求每天至少加工配件2400个,车工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少.
[例题剖析]
师这个问题又如何求解呢?
(学生对求解简单线性规划实际应用题问题的步骤已经是很熟悉,让学生独立解决问题,有助于学生解题能力的锻炼与培养.留五分钟时间,然后提问)
生据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x、y人.
线性约束条件:
化简即为
师那么,线性目标函数如何表达?
生目标函数为z=[(1-97%)·240x+(1-95.5%)·160y]×2+5.6x+3.6y,
化简z=20x+18y.根据题意知即求目标函数Z的最小值.
(画线性约束条件的平面区域,让同学上黑板板演,教师作点评)
师这位同学画得很好,既直观又形象.请同学们继续完成求目标函数z的最小值的过程.
生据图知,点A(6,6.3)应为既满足题意,又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点最近距离,可知(6,7)为满足题意的整数解.
此时zmin=20×6+18×7=246(元),即每天安排Ⅰ级车工6人,Ⅱ级车工7人时,工厂每天支出费用最少.
师这位同学完成得很准确.通过例2的求解我们可以看出,处理简单的线性规划的实际问题,关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件,实际上就是建立数学模型.这样解题时,将所有的约束条件罗列出来,弄清目标函数与约束条件的区别,得到目标函数的最优解.它很有实际意义,即它是在以理论指导实际生产需要.实际上,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.常见类型有:
(1)物资调运问题.例如已知A1、A2两煤矿每年的产量,煤需经B1、B2两个车站运往外地,B1、B2两车站的运输能力是有限的,且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?
(2)产品安排问题.例如某工厂生产甲、乙两产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的,这个厂每月应如何安排产品的生产,才能每月获得的总利润最大?
(3)材料问题.同学们在课外的研究中将会陆续碰到这些问题.
课堂小结
师本节课我们复习了哪些知识、方法?
同学们用这些知识、方法解决了什么问题?
通过本节课的复习,同学们又有什么收获呢?
生我们通过本节课的复习,深化了对线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解的理解.并且能把实际问题转化为线性规划问题,准确求得线性规划问题的最优解,掌握了解决实际应用题的一般程序,即审题,建模,研究模,再回到实际问题验证作答.
师同学们总结得很好.通过本节课的复习,我们应当体会到化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化的作用.我们进一步感受到,数学这门学科,它是来源于生活,又作用于生活.也是一门基础科学,同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用,应当正视数学的地位和作用,并且能够认真地去学习数学,研究数学.
布置作业
复习参考题P115A组5,B组5
板书设计
本章复习
(二)
复习引入题组
约束条件、目标函数、可行解、可
行域、最优解.例方法归纳
方法引导小结
实例剖析(知识方法应用)
示范解题
备课资料
备用习题
1.在直角坐标平面上,求满足不等式组
的整点的个数.
分析:
数字较大,不易逐一清点,关键是引导学生找出规律,分别令y=0,1,2,…,找出这些线上的整点数,然后把它们相加即可,如图.
解:
两条坐标轴及直线x+y=100所围成区域(含边界)上的整点共有
1+2+3+…+101=
=5151(个).而直线
x,x+y=100及x轴所围区域(边界不包括直线
)上的整点共有(1+1+1+1)+(2+2+2+2)+…+(25+25+25+25)=4(1+2+…+25)=1300(个),由对称性知直线y=3x,x+y=100及y轴所围区域(边界不包括直线y=3x)上的整点也有1300个.故满足题条件的整点共有5151-2×1300=2551(个).
2.私人办学是教育发展的方向,某人准备投资1200万元兴办一所完全中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班级为单位):
市场调查表
班级学生数
配备教师数
硬件建设(万元)
教师年薪(万元)
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜,教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年,请你合理地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?
解:
设初中编制为x个班,高中编制为y个班,则
记年利润为S,那么S=3x+6y-2.4x-4y,即
S=0.6x+2y.③
如右图所示,作出①②表示的平面区域,问题转化为在图中阴影部分求直线0.6x+2y-S=0截距的最大值,过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出S的最大值.
联立
A的坐标为(18,12).
将x=18,y=12代入③,得Smax=34.8.
设经过n年可收回投资,则
11.6+23.2+34.8(n-2)=1200,
所以n=33.5.
本章复习(三)
从容说课
通过投影仪展示实际情景,回忆基本不等式:
的推导与证明过程,以及应用的条件:
一正、二定、三等.复习对基本不等式展开的一些简单应用,通过数与形的结合,让学生进一步领悟到基本不等式成立的条件是a>0、b>0.在应用的过程中,让学生对基本不等式
的结构特征达到充分认识,并能够灵活把握,为本节课基本不等式的实际应用,打下坚实的基础.在本节课的教学过程中,仍强调不等式的现实背景和实际应用,真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决,让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值,同时,也让学生去感受数学的应用价值.本节课设置的具体例题会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理,重点是解决实际问题.对具体例题的分析和求解过程中,设置思考项,让学生探究,层层铺设,从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在本节课的研究过程中,要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题,进而构建他们更完善的知识网络,培养与锻炼他们的数学建模能力.
根据本节课的教学内容,应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究,对基本不等式展开实际应用,进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.
依据学生平时的学习兴趣、习惯、方法、能力等,通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱是本节课的重点之一,构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.
教学重点1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题;
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;
3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.
教学难点1.学生探究用基本不等式解决实际问题;
2.基本不等式应用时等号成立条件的考察;
3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.
教具准备实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺
三维目标
一、知识与技能
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题;
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;
3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.
二、过程与方法
1.采用探究法,按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;
2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用;
3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观
1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象,使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;
2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、积极的学习品质,从而提高学习质量;
3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘,数学的简洁美,数学推理的严谨美,从而激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师前两节课我们已经复习了解不等式及简单不等式的证明.复习了简单线性规划问题的解法与一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式(组)与平面区域的联系.进而巩固简单线性规划问题的解法的步骤和过程,并展开一些应用.本节课我们将复习构建基本不等式解决函数的值域、最值问题及继续探究用基本不等式解决实际问题.请同学们回忆下,用基本不等式时的注意点是什么?
生(齐声)应用时要注意条件:
一正、二定、三等.
很好.看出同学们对基本不等式掌握的非常好,下面我们就来研究基本不等式的应用.
(此时,老师用投影仪陆续给出问题)
推进新课
【例1】当0<x<2时,求函数y=x(2-x)的最大值.
师函数y=x(2-x)是积的形式,求最大值实质是要做什么样的转化?
生可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式.
师平均值定理是对正数而言的,由于x,2-x都是正数,所以
y=x(2-x)≤(
)2在什么条件下“≤”取“=”?
生当且仅当x=2-x,即x=1时,取等号.此时,y的最大值为1.
师把积的形式化为和的形式,这个和应该为定值才行.通过这个例题,请同学们回忆下如何用基本不等式求最值?
(教师板演)
生运用平均值定理求函数的最值时,必须要有和的定值或积的定值出现,即
当a,b∈R+,a+b=k(定值)时,ab≤(
)2=
(定值).①
当且仅当a=b时,取“=”.不等式①可以在求函数的最大值时使用.
当a,b∈R+,ab=m(定值)时,a+b≥2ab=2m(定值).②
当且仅当a=b时,取“=”.不等式②可以在求函数的最小值时使用.
师这位同学讲得非常好,讲得很全面.请继续思考下面的问题.
[合作交流]
【例2】若正数x,y满足6x+5y=36,求xy的最大值.
(教师可以先让学生进行讨论,然后再请一位同学上黑板板演)
师已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值,该如何转化用基本不等式呢?
生已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值,可以由
得到
即可解出xy的最大值.
(板演)解:
因为x,y为正数,则6x,5y也是正数,所以
.
当且仅当6x=5y时,取“=”.
因为6x+5y=36,则
,即
.所以xy的最大值为
.
(教师结合学生的板演,作及时点拨)
师函数式中含有根式,不容易看出定积是否存在,用什么方法解决这个问题?
生可以先用换元法把根式去掉,再把函数式进行转化.
师很好.大家不妨用换元法来尝试下.
设
则2x=u2-3,所以
y=u2+
-3=u2+
+
-3≥3
-3=9.
当且仅当
,即u=2时,取“=”.当u=2时,
.所以当
时,y有最小值9.
师换元法是常用的数学思想方法,能帮助我们把复杂问题简单化.
(教师结合学生的板书有漏洞或错误,可以边纠正,边点拨,边总结应用平均值定理求函数最值的步骤.这样能真正突出学生学习的主体地位)
师应用平均值定理求函数的最值,要注意的问题有:
(1)函数式中诸元素是否为正数;(2)诸元素的和或积是否为定值;(3)判断“=”是否成立.
师请同学们继续思考下面的问题.
[例题剖析]
【例3】为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为200m2的长方体二级净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米400元,中间一条隔墙建造单价为每平方米100元,池底建造单价为每平方米60元.一般情形下,净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最底?
师为了求出此例中的最值我们可以先建目标函数,再求解.
生设净水池长为xm,则宽为
m,高为hm,则总造价f(x)=400(2x+2·
)·h+100·
·h+60×200
=800h(x+
)+12000(x>0).
当且仅当
(x>0),即x=15时上述不等式取到等号.故当净水池的长设计为15m时总造价最低.
师这位同学解得非常好.对应用问题的处理,关键是把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求最值的基本保证.用基本不等式创设不等量关系也是经常采用的方式方法,请同学们以后在解决有关最值问题是要注意这条解题思路的灵活应用.
课堂小结
师本节课我们复习了哪些知识、方法?
同学们用这些知识、方法解决了什么问题?
通过本节课的复习,同学们又有什么收获呢?
生我们以基本不等式为基础,由具体问题,构建基本不等式来解决有关函数的值域、最值问题.探究用基本不等式解决实际问题.掌握了解决实际应用题的一般程序,即审题、建模、研究模,再回到实际问题验证作答.
师同学们总结得很好.通过本节课的复习,我们进一步感受到,数学这门学科,它是来源于生活,又作用于生活,也是一门基础科学,同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用,应当正视数学的地位和作用,并且能够认真地去学习数学.
布置作业
复习参考题P115,B组1、2.
板书设计
本章复习(三)
复习引入题组
基本不等式例方法归纳
方法引导小结
实例剖析(知识方法应用)
示范解题
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 本章复习 新人 高中数学 必修 第三 本章 复习 示范 教案