正截面承载力计算.docx

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正截面承载力计算

　3.2正截面承载力计算

钢筋混凝土受弯构件通常承受弯矩和剪力共同作用，其破坏有两种可能：

一种是由弯矩引起的，破坏截面与构件的纵轴线垂直，称为沿正截面破坏；另一种是由弯矩和剪力共同作用引起的，破坏截面是倾斜的，称为沿斜截面破坏。

所以，设计受弯构件时，需进行正截面承载力和斜截面承载力计算。

一、单筋矩形截面

1.单筋截面受弯构件沿正截面的破坏特征

钢筋混凝土受弯构件正截面的破坏形式与钢筋和混凝土的强度以及纵向受拉钢筋配筋率ρ有关。

ρ用纵向受拉钢筋的截面面积与正截面的有效面积的比值来表示，即ρ＝As/（bh0），其中As为受拉钢筋截面面积；b为梁的截面宽度；h0为梁的截面有效高度。

根据梁纵向钢筋配筋率的不同，钢筋混凝土梁可分为适筋梁、超筋梁和少筋梁三种类型，不同类型梁的具有不同破坏特征。

1适筋梁

配置适量纵向受力钢筋的梁称为适筋梁。

适筋梁从开始加载到完全破坏，其应力变化经历了三个阶段，如图3.2.1。

第I阶段（弹性工作阶段）：

荷载很小时，混凝土的压应力及拉应力都很小，应

力和应变几乎成直线关系，如图3.2.1a。

当弯矩增大时，受拉区混凝土表现出明显的塑性特征，应力和应变不再呈直线关

系，应力分布呈曲线。

当受拉边缘纤维的应变达到混凝土的极限拉应变εtu时，截面处于将裂未裂的极限状态，即第Ⅰ阶段末，用Ⅰa表示，此时截面所能承担的弯矩称抗裂弯矩Mcr，如图3.2.1b。

Ⅰa阶段的应力状态是抗裂验算的依据。

第Ⅱ阶段（带裂缝工作阶段）：

当弯矩继续增加时，受拉区混凝土的拉应变超过

其极限拉应变εtu，受拉区出现裂缝，截面即进入第Ⅱ阶段。

裂缝出现后，在裂缝截面处，受拉区混凝土大部分退出工作，拉力几乎全部由受拉钢筋承担。

随着弯矩的不断增加，裂缝逐渐向上扩展，中和轴逐渐上移，受压区混凝土呈现出一定的塑性特征，应力图形呈曲线形，如图3.2.1c。

第Ⅱ阶段的应力状态是裂缝宽度和变形验算的依据。

当弯矩继续增加，钢筋应力达到屈服强度fy，这时截面所能承担的弯矩称为屈服

弯矩My。

它标志截面进入第Ⅱ阶段末，以Ⅱa表示，如图3.2.1d。

图3.2.1适筋梁工作的三个阶段

第Ⅲ阶段（破坏阶段）：

弯矩继续增加，受拉钢筋的应力保持屈服强度不变，钢

筋的应变迅速增大，促使受拉区混凝土的裂缝迅速向上扩展，受压区混凝土的塑性特征表现得更加充分，压应力呈显著曲线分布（图3.2.1e）。

到本阶段末（即Ⅲa阶段），受压边缘混凝土压应变达到极限压应变，受压区混凝土产生近乎水平的裂缝，混凝土被压碎，甚至崩脱（图3.2.2b），截面宣告破坏，此时截面所承担的弯矩即为破坏弯矩Mu。

Ⅲa阶段的应力状态作为构件承载力计算的依据（图3.2.1f）。

由上述可知，适筋梁的破坏始于受拉钢筋屈服。

从受拉钢筋屈服到受压区混凝土被压碎（即弯矩由My增大到Mu），需要经历较长过程。

由于钢筋屈服后产生很大塑性变形，使裂缝急剧开展和挠度急剧增大，给人以明显的破坏预兆，这种破坏称为延性破坏。

适筋梁的材料强度能得到充分发挥。

②超筋梁

纵向受力钢筋配筋率大于最大配筋率的梁称为超筋梁。

这种梁由于纵向钢筋配置过多，受压区混凝土在钢筋屈服前即达到极限压应变被压碎而破坏。

破坏时钢筋的应力还未达到屈服强度，因而裂缝宽度均较小，且形不成一根开展宽度较大的主裂缝（图3.2.2c），梁的挠度也较小。

这种单纯因混凝土被压碎而引起的破坏，发生得非常突然，没有明显的预兆，属于脆性破坏。

实际工程中不应采用超筋梁。

图3.2.2梁的正截面破坏

（a）少筋梁；（b）适筋梁；（c）超筋梁

③少筋梁

配筋率小于最小配筋率的梁称为少筋梁。

这种梁破坏时，裂缝往往集中出现一条，不但开展宽度大，而且沿梁高延伸较高。

一旦出现裂缝，钢筋的应力就会迅速增大并超过屈服强度而进入强化阶段，甚至被拉断。

在此过程中，裂缝迅速开展，构件严重向下挠曲，最后因裂缝过宽，变形过大而丧失承载力，甚至被折断（图3.2.2a）。

这种破坏也是突然的，没有明显预兆，属于脆性破坏。

实际工程中不应采用少筋梁。

2.单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算

（1）计算原则

1）基本假定　

如前所述，钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算以适筋梁Ⅲ

阶段的应力状态为依据。

为便于建立基本公式，现作如下假定：

①构件正截面弯曲变形后仍保持一平面，即在三个阶段中，截面上的应变沿截面高度为线性分布。

这一假定称为平截面假定。

由实测结果可知，混凝土受压区的应变基本呈线性分布，受拉区的平均应变大体也符合平截面假定。

②钢筋的应力

等于钢筋应变

与其弹性模量

的乘积，但不得大于其强度设计值

，即

。

③不考虑截面受拉区混凝土的抗拉强度。

④受压混凝土采用理想化的应力－应变关系（图3.2.3），当混凝土强度等级为C50及以下时，混凝土极限压应变

。

2）等效矩形应力图

根据前述假定，适筋梁Ⅲa阶段的应力图形可简化为图3.2.4b的曲线应力图，其中xn为实际混凝土受压区高度。

为进一步简化计算，按照受压区混凝土的合力大小不变、受压区混凝土的合力作用点不变的原则，将其简化为图3.2.4c所示的等效矩形应力图形。

等效矩形应力图形的混凝土受压区高度

，等效矩形应力图形的应力值为

，其中

为混凝土轴心抗压强度设计值，

为等效矩形应力图受压区高度与中和轴高度的比值，

为受压区混凝土等效矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比值，

的值见表3.2.1。

图3.2.4第Ⅲa阶段梁截面应力分布图

（a）截面示意；（b）曲线应力图；（c）等效矩形应力图形

表3.2.1

值

混凝土强度等级

≤C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

0.8

0.79

0.78

0.77

0.76

0.75

0.74

1.0

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

3）适筋梁与超筋梁的界限——界限相对受压区高度

比较适筋梁和超筋梁的破坏，前者始于受拉钢筋屈服，后者始于受压区混凝土被压碎。

理论上，二者间存在一种界限状态，即所谓界限破坏。

这种状态下，受拉钢筋达到屈服强度和受压区混凝土边缘达到极限压应变是同时发生的。

我们将受弯构件等效矩形应力图形的混凝土受压区高度

与截面有效高度

之比称为相对受压区高度，用

表示，

，适筋梁界限破坏时等效受压区高度与截面有效高度之比称为界限相对受压区高度，用

表示。

值是用来衡量构件破坏时钢筋强度能否充分利用的一个特征值。

若

，构件破坏时受拉钢筋不能屈服，表明构件的破坏为超筋破坏；若

，构件破坏时受拉钢筋已经达到屈服强度，表明发生的破坏为适筋破坏或少筋破坏。

各种钢筋的

值见表3.2.2。

表3.2.2相对界限受压区高度

值

钢筋级别

≤C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

HPB235

0.614

—

—

—

—

—

—

HRB335

0.550

0.541

0.531

0.522

0.512

0.503

0.493

HRB400

RRB400

0.518

0.508

0.499

0.490

0.481

0.472

0.463

注：

表中空格表示高强度混凝土不宜配置低强度钢筋。

4）适筋梁与少筋梁的界限——截面最小配筋率ρmin

少筋破坏的特点是“一裂即坏”。

为了避免出现少筋情况，必须控制截面配筋率，使之不小于某一界限值，即最小配筋率ρmin。

理论上讲，最小配筋率的确定原则是：

配筋率为ρmin的钢筋混凝土受弯构件，按Ⅲa阶段计算的正截面受弯承载力应等于同截面素混凝土梁所能承受的弯矩Mcr（Mcr为按Ia阶段计算的开裂弯矩）。

当构件按适筋梁计算所得的配筋率小于ρmin时，理论上讲，梁可以不配受力钢筋，作用在梁上的弯矩仅素混凝土梁就足以承受，但考虑到混凝土强度的离散性，加之少筋破坏属于脆性破坏，以及收缩等因素，《混凝土规范》规定梁的配筋率不得小于ρmin。

实用上的ρmin往往是根据经验得出的。

梁的截面最小配筋率按表3.2.3查取，即对于受弯构件，ρmin按下式计算：

　　　　ρmin=max（0.45

，0.2%）　　　　　　　　　　　　　　（3.2.1）

表3.2.3钢筋混凝土结构构件中纵向受力钢筋的最小配筋率（％）

受力类型

最小配筋百分率

受压构件

全部纵向钢筋

0.6

一侧纵向钢筋

0.2

受弯构件、偏心受拉、轴心受拉一侧的受拉钢筋

45

，且不小于0.2

注：

①受压构件全部纵向钢筋最小配筋百分率，当采用HRB400级、RRB400级钢筋时，应按表中规定减小0.1%；当混凝土强度等级为C60及以上时，应按表中规定增大0.1%；

②受压构件全部纵向钢筋和一侧纵向钢筋的配筋率应按构件的全截面面积计算；

③当钢筋沿构件截面周边布置时，“一侧纵向钢筋”系指沿受力方向两对边中的一边布置的纵向钢筋。

（2）基本公式及其适用条件

由图3.2.4c所示等效矩形应力图形，根据静力平衡条件，可得出单筋矩形截面

梁正截面承载力计算的基本公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.2）

　　　　　　　　　　　　　　（3.2.3）

或　　　　

　　　　　　　　　　　　　　（3.2.4）

式中　M—弯矩设计值；

　　　fc—混凝土轴心抗压强度设计值，按表2.2.2采用；

　　　fy—钢筋抗拉强度设计值，按表2.1.1采用；

　　　x—混凝土受压区高度；

　其余符号意义同前。

式（3.2.2）~（3.2.4）应满足下列两个适用条件：

1）为防止发生超筋破坏，需满足ξ≤ξb或x≤ξbh0，其中ξ、ξb分别称为相对受压区高度和界限相对受压区高度；

2）防止发生少筋破坏，应满足ρ≥ρmin或As≥Asmin，Asmin=ρminbh，其中ρmin为截面最小配筋率。

在式（3.2.3）中，取x=ξbhb，即得到单筋矩形截面所能承受的最大弯矩的表达式：

　　　　　　　　　　　　（3.2.5）

（3）计算方法

单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算，可以分为有两类问题：

一是截面设计，二是复核己知截面的承载力。

1）截面设计

己知：

弯矩设计值M，混凝土强度等级，钢筋级别，构件截面尺寸b、h

求：

所需受拉钢筋截面面积As

计算步骤如下：

①确定截面有效高度h0

　　　　　　　　　　　　　h0=h-as　　　　　　　　　　　　（3.2.6）

式中h—梁的截面高度；

as—受拉钢筋合力点到截面受拉边缘的距离。

承载力计算时，室内正常环境下的梁、板，as可近似按表3.2.4取用。

表3.2.4室内正常环境下的梁、板as的近似值（㎜）

构件种类

纵向受力钢筋层数

混凝土强度等级

≤C20

≥C25

梁

一层

40

35

二层

65

60

板

一层

25

20

②计算混凝土受压区高度x，并判断是否属超筋梁

　　　　　　　　　　　　（3.2.7）

若x≤ξbh0，则不属超筋梁。

否则为超筋梁，应加大截面尺寸，或提高混凝土强度等级，或改用双筋截面。

③计算钢筋截面面积As，并判断是否属少筋梁

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.8）

若As≥ρminbh，则不属少筋梁。

否则为少筋梁，应取As=ρminbh。

④选配钢筋

2）复核己知截面的承载力

己知：

构件截面尺寸b、h，钢筋截面面积As，混凝土强度等级，钢筋级别，弯

矩设计值M

　　求：

复核截面是否安全

计算步骤如下：

①确定截面有效高度h0

②判断梁的类型

　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.9）

若

，且

，为适筋梁；

若x＞

，为超筋梁；

若As＜ρminbh，为少筋梁。

③计算截面受弯承载力Mu

适筋梁　

　　　　　　　　　　　　　（3.2.10）

超筋梁　Mu=

　　　　　　　　（3.2.11）

对少筋梁，应将其受弯承载力降低使用（已建成工程）或修改设计。

④判断截面是否安全。

若M≤Mu，则截面安全。

【例3.2.1】某钢筋混凝土矩形截面简支梁，跨中弯矩设计值M=80kN·m，梁的

截面尺寸b×h=200×450mm，采用C25级混凝土，HRB400级钢筋。

试确定跨中截面纵向受力钢筋的数量。

【解】查表得fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2，fy=360N/mm2，α1=1.0，ξb=0.518

1.确定截面有效高度h0

假设纵向受力钢筋为单层，则h0=h-35=450-35=415mm

2.计算x，并判断是否为超筋梁

不属超筋梁。

3.计算As，并判断是否为少筋梁

=1.0×11.9×200×91.0/360=601.6mm2

0.45ft/fy=0.45×1.27/360=0.16%＜0.2%，取ρmin=0.2%

As，min=0.2%×200×450=180mm2＜As=601.6mm2

图3.2.5例3.2.1附图

不属少筋梁。

4.选配钢筋

选配4

14（As=615mm2），如图3.2.5所示。

【例3.2.2】某教学楼钢筋混凝土矩形截面简支梁，安全等级为二级，截面尺寸b×h=250×550mm，承受恒载标准值10kN/m（不包括梁的自重），活荷载标准值12kN/m，计算跨度

=6m，采用C20级混凝土，HRB335级钢筋。

试确定纵向受力钢筋的数量。

【解】查表得fc=9.6N/mm2，ft=1.10N/mm2，fy=300N/mm2，ξb=0.550，α1=1.0，

结构重要性系数γ0=1.0，可变荷载组合值系数Ψc=0.7。

１.计算弯矩设计值M

钢筋混凝土重度为25kN/m3，故作用在梁上的恒荷载标准值为：

　　　gk=10+0.25×0.55×25=13.438kN/m

简支梁在恒荷载标准值作用下的跨中弯矩为：

　　　Mgk=

gkl02=

×13.438×62=60.471kN·m

简支梁在活荷载标准值作用下的跨中弯矩为：

　　　Mqk=

qkl02=

×12×62=54kN·m

由恒载控制的跨中弯矩为：

　　　γ0（γGMgk+γQΨcMqk）=1.0×（1.35×60.471+1.4×0.7×54）

　　　　　　　　　　　　=134.556kN·m

由活荷载控制的跨中弯矩为：

　　　γ0（γGMgk+γQMqk）=1.0×（1.2×60.471+1.4×54）=148.165kN·m

取较大值得跨中弯矩设计值M=148.165kN·m。

2.计算h0

假定受力钢筋排一层，则h0=h-40=550-40=510mm

3.计算x，并判断是否属超筋梁

=140.4mm

　　　　　　　　　　　　　　　　＜

=0.550×510=280.5mm

　不属超筋梁。

4.计算As，并判断是否少筋

　　　As=α1fcbx/fy=1.0×9.6×250×140.4/300=1123.2mm2

　　　0.45ft/fy=0.45×1.10/300=0.17%＜0.2%，取ρmin=0.2%

　　ρminbh=0.2%×250×550=275mm2＜As=1123.2mm2

不属少筋梁。

5.选配钢筋

图3.2.6例3.2.2附图

选配2

18+2

20（As=1137mm2），如图3.2.6。

【例3.2.3】如图3.2.7所示的某教学楼现浇钢筋混凝土走道板，厚度h=80mm，板面做20mm水泥砂浆面层，计算跨度

=2m，采用C20级混凝土，HPB335级钢筋。

试确定纵向受力钢筋的数量。

【解】查表得楼面均布活荷载

=2.5kN/m2，fc=9.6N/mm2，ft=1.10N/mm2，fy=210N/mm，

=0.614，α1=1.0，结构重要性系数γ0=1.0（教学楼安全等级为二级），可变荷载组合值系数Ψc=0.7

（1）计算跨中弯矩设计值M

钢筋混凝土和水泥砂浆重度分别为25kN/m2和20kN/m3，故作用在板上的恒荷载标准值为

80mm厚钢筋混凝土板0.08×25=2kN/m2

20mm水泥砂浆面层0.02×20=0.4kN/m2

　　　　　　　　gk=2.4kN/m2

取1m板宽作为计算单元，即b=1000mm，

则gk=2.4kN/m，qk=2.5kN/m

　γ0（1.2gk+1.4qk）=1.0（1.2×2.4+1.4×2.5）=6.38kN/m

　γ0（1.35gk+1.4Ψcqk）=1.0（1.35×2.04+1.4×0.7×2.5）=5.69kN/m

取较大值得板上荷载设计值q=6.38kN/m

　板跨中弯矩设计值为

　M=

ql02=

×6.38×22=3.19kN·m

（2）计算纵向受力钢筋的数量

　　h0=h-25=80-25=55mm

故该梁不属超筋梁。

　　As=α1fcbx/fy=1.0×9.6×1000×6.42/210mm2=293.5mm2

　　0.45ft/fy=0.45×1.10/210=0.24%＞0.2%，取ρmin=0.24%

　　ρminbh=0.24%×1000×80mm2=192mm2＜As=293.5mm2

故该梁不属少筋梁。

受力钢筋选用φ8@180（As=279mm2），分布钢筋按构造要求选用φ6@250，如图3.2.7。

【例3.2.4】某钢筋混凝土矩形截面梁，截面尺寸b×h=200×500mm，混凝土强度等级C25，纵向受拉钢筋3

18，混凝土保护层厚度25mm。

该梁承受最大弯矩设计值M=105kN·m。

试复核该梁是否安全。

【解】fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2，fy=360N/mm2，ξb=0.518，α1=1.0，As=763mm2

1.计算h0

因纵向受拉钢筋布置成一层，故h0=h-35=500-35=465mm

2.判断梁的类型

=115.4mm＜

=0.518×465=240.9mm

　0.45ft/fy=0.45×1.27/360=0.16%＜0.2%，取ρmin=0.2%

　ρminbh=0.2%×200×500=200mm2＜As=763mm2

故该梁属适筋梁。

3.求截面受弯承载力Mu，并判断该梁是否安全

已判断该梁为适筋梁，故

　　Mu=fyAs（h0-x/2）=360×763×（465-115.4/2）=111.88×106N·mm=111.88kN·m＞M=105kN·m故该梁安全。

二、单筋T形截面

在单筋矩形截面梁正截面受弯承载力计算中，是不考虑受拉区混凝土的作用的。

如果把受拉区两侧的混凝土挖掉一部分，将受拉钢筋配置在肋部，既不会降低截面承载力，又可以节省材料，减轻自重，这样就形成了Ｔ形截面梁。

Ｔ形截面受弯构件在工程实际中应用较广，除独立Ｔ形梁（图3.2.8a）外，槽形板（图3.2.8b）、空心板（图3.2.8c）以及现浇肋形楼盖中的主梁和次梁的跨中截面（图3.2.8dⅠ—Ⅰ截面）也按Ｔ形梁计算。

但是，翼缘位于受拉区的倒T形截面梁，当受拉区开裂后，翼缘就不起作用了，因此其受弯承载力应按截面为

的矩形截面计算（图3.2.8dⅡ—Ⅱ截面）。

图3.2.8T形梁示例

1.翼缘计算宽度

试验表明，T形梁破坏时，其翼缘上混凝土的压应力是不均匀的，越接近肋部应力越大，超过一定距离时压应力几乎为零。

在计算中，为简便起见，假定只在翼缘一定宽度范围内受有压应力，且均匀分布，该范围以外的部分不起作用，这个宽度称为翼缘计算宽度，用bf'表示，其值取表3.2.5中各项的最小值。

表3.2.5T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度b'f

项次

考虑情况

T形截面、I形截面

倒L形截面

肋形梁、肋形板

独立梁

肋形梁、肋形板

1

按计算跨度l0考虑

l0/3

l0/3

l0/6

2

按梁（纵肋）净距sn考虑

b+sn

—

b+sn/2

3

按翼缘高度hf'考虑

hf'/h0≥0.1

—

b+12hf'

—

0.1＞hf'/h0≥0.05

b+12hf'

b+6hf'

b+5hf'

hf'/h0＜0.05

b+12hf'

b

b+5hf'

注：

表中b为梁的腹板宽度。

2.Ｔ形截面的分类

根据受力大小，Ｔ形截面的中性轴可能通过翼缘（图3.2.9），也可能通过肋部（图3.2.10）。

中性轴通过翼缘者称为第一类Ｔ形截面，通过肋部者称为第二类Ｔ形截面。

经分析，当符合下列条件时，必然满足

，即为第一类Ｔ形截面，否则为第二类Ｔ形截面：

　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.12）

或　　　　

　　　　　　　　　　　　（3.2.13）

式中x—混凝土受压区高度；　

　　　　hf'—T形截面受压翼缘的高度。

式（3.2.12）、式（3.2.13）即为第一类、第二类Ｔ形截面的鉴别条件。

式（3.2.12）用于截面复核，式（3.2.13）用于截面设计。

3.基本计算公式及其适用条件

（1）基本计算公式

1）第一类Ｔ形截面

由图3.2.9可知，第一类Ｔ形截面的受压区为矩形，面积为

。

由前述知识可知，梁截面承载力与受拉区形状无关。

因此，第一类Ｔ形截面承载力与截面为

的矩形截面完全相同，故其基本公式可表示为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.14）

　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.15）

2）第二类Ｔ形截面

为了便于建立第二类Ｔ形截面的基本公式，现将其应力图形分成两部分：

一部分由肋部受压区混凝土的压力与相应的受拉钢筋As1的拉力组成，相应的截面受弯承载力设计值为Mu1；另一部分则由翼缘混凝土的压力与相应的受拉钢筋As2的拉力组成，相应的截面受弯承载力设计值为Mu2（图3.2.10）。

根据平衡条件可建立起两部分的基本计算公式，因Mu=Mu1+Mu2，As=As1+As2，故将两部分叠加即得整个截面的基本公式：

　　　　　　　　　　　　　　（3.2.16）

　　　　　　　（3.2.17）

（2）基本公式的适用条件

上述基本公式的适用条件如下：

1）x≤

。

该条件是为了防止出现超筋梁。

但第一类Ｔ形截面一般不会超筋，故计算时可不验算这个条件。

2）As≥ρminbh或ρ≥ρmin。

该条件是为了防止出现少筋梁。

第二类Ｔ形截面的配筋较多，一般不会出现少筋的情况，故可不验算这一条件。

应当注意，由于肋宽为b、高度为h的素混凝土Ｔ形梁的受弯承载力比截面为b×h的矩形截面素混凝土梁的受弯承载力大不了多少，故Ｔ形截面的配筋率按矩形截面的公式计算，即

，式中b为肋宽。

4.正截面承载力计算步骤

T形截面受弯构件的正截面承载力计算也可分为截面设计和截面复核两类问题，这里只介绍截面设计的方法。

已知：

弯矩设计值M，混凝土强度等级，钢筋级别，截面尺寸

求：

受拉钢筋截面面积As

计算步骤如图3.2.11。

【例3.2.5】某