数列上下极限的不同定义方式及相关性质.docx
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数列上下极限的不同定义方式及相关性质
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
一、数列的上极限、下极限的定义01
1.用"数列的聚点”来定义01
2.用"数列的确界”来定义02
3.数列上、下极限定义的等价性02
二、数列的上、下极限的性质及定理04
参考文献14
英文摘要15
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
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摘要:
数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸,由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用.又成为数学分析中重要的理论部分•本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理.
关键词:
数列、上极限、下极限.聚点、函数
一.数列的上极限.下极限的定义
关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式:
1.用“数列的聚点”来定义
定义1若在数a的任一邻域内都含有数列{兀}的无限多项,则称a为数列{乙}的一个聚点.
例1数列{(-ir—)有聚点-1与1;
n+\
数列{抽手}有-1,-芈,0,芈和1五个聚点;
数列{丄}只有一个聚点0;
n
常数列{1,1,…丄…}只有一个聚点1.
定义2有界数列{暫}的最大聚点皎与最小聚点®、分别称为数列{兀}的上极限和下极限,记作
ay=lim;a小=limx”・
例2ih^(-l)/r—=1,nm(-l)—=-1
“TZ7?
+l三n+\
厂.nrt・n7t
11msin——=1Jimsin——=一1
“Tz4k4
lim—=lim-=0
"Tgnii
2.用“数列的确界”来定义
定义3任给数列{兀},定义
limxn=limsup{兀};limxM=liminf{母}
(1)
HT+X”TOC立”去左”7°炷“
分别称为数列{兀}的上极限和下极限.
若定义1中的d可允许是非正常点P或Y0,贝IJ:
任一点列{兀}至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点•不难证明:
正上(下)界点列的最大(小)聚点为
-HC(-OO).于是,无上(下)界点列有非正常上(下)极限+oc(Y)・
例3lim((-1)"+1)/7=-ho,lim(-1)5=—Jim(—l)nw=s
口T+*
3.数列上.下极限定义的等价性
下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性,即
a〉=limxn=limsupjx^};
"TY—也
a-=limxn=liminf{xA)・
忙忑“took>n
证明:
如果limsup以}=+8,由于sup{xA}关于川单调递减,所以sup{兀}=+s,
"T8k>9xk>nk>n
Pn>N・于是,可取nxeN(自然数)sl.x>1,又可取n2eN,n2>n{,s.t.x^>2,---,
所以,得到数列{暫}的子列卜;}—+00(«—+00).这就证明了+S为数列的聚点,且
为最大聚点〃大•山此可得
at=limxn=+co=limsiip{耳);
如果limsup{x,}V+cc,则limsup{x.}=-s或实数.
ik>n”7°k>n
设d数列{兀}的任一聚点,则必有{耳}的子列,V心饨
叫Ssiip{xJ,
k>n
«=limxn/ a rk>n 所以,数列{儿}的最大聚点满足 limx HT+3CHTOO炷口 另一方面,Vy>易见,[y,+oo)中最多含有数列{兀}中的有限多项•因此,37VeN,当k>N时,有忑vy,从而,当n>N时,有 —完整版学习资料分享―一 sup{“S”k>n 由此可得 lirasup{兀} 令y^th^xS,推岀 limsiipl*} 综合上述,有 a.=limxn=limsup{x^).“T+H"TH畑 类似的可证明或应用上式于{-暫}可证得 a.=limx,=liminfix.}・ 丿'—"OC如k 如果liminf{xj=-oc,山于infjx^}关于"单调递减,所以inf{x&}=y>,对“TYk>nk>9ik® 5>N.于是,可取自然数山使得XnX<-\,又可取自然数勺”2>®使得 S<-2……所以,得到数列{%,,}的子列{兀;}TY0.这就证明了-00为数列的聚点, 且为最小聚点G小•山此可得 5、=鱼11兀=出呼感{忑}; □TOO“r-* 如果liminf{A^}>-oo,则liminf{x^}=+oo或实数. HT-ookiui/r—>-xk>n 设a数列{■¥”}的任一聚点,则必有{%,,}的子列,兀”—>6/(/—>-ho).任意的n是自 然数当®时,有 x>inf{x,} *ktin a>liminf{忑} n->4-xk>it 所以,数列{©}的最小聚点满足 另一方面,对任意的y>limx”易见,(-s,y]中最多含有数列{兀}中的有限多项. 因此,存在N是自然数当k>N时,有兀〉y,从而,当n>N时,有 山此可得 liminf{xk}>y. 令y->[limx1',推出 ・|91 综合上述,有 liminf{xk}>limx”・ HTZi,_xx aj、=Hm斗=liminf{忑)・ 応忑HTZk>9l 下面进一步给出和数列上,下极限定义有关的性质及定理. 二、数列的上.下极限的性质及定理 设有数列{©}与数列{儿},则数列的上、下极限有以下性质 例4用上下极限理论证明: 若{耳}是有界发散数列,则存在{兀}的两个子列收 敛于两个不同的极限. 证明: 因为数列发散的充要条件是于是存在{兀}的两个子列"T+30“too {x妆},{心},使lhnf=Yirn^x„,Inn=limx”,即存在{xtl}的两个子列收敛于 不同的极限. 性质3(保不等式性质)设有界数列{兀},{儿}满足: 存在"(>>0,当n>No时有兀S儿,则 limxn >4-30f! —” lim.v/r ”十C 特别,若a,0为常数,乂存在7V0>0,当n>N°时有a *鱼叫Sliman 性质4设兀no,儿“5=12…),则 lim兀•鱼卫片Slim俎儿 HTOO"TOC“TOC"f+X limx”・limyn “TOO"fY°HT+3C•"T+X"T+X° 例5证明: 若{%}收敛,则对任意儿⑺=12…),有 lim兀J;=limxn-lim片(xn>0)□TVXT+30ll-^X 证明: 分三种情况讨论 1、若linLy/r>0,则{儿}中有无穷多项大于零,作新序列 则儿TO,且匝儿=匝需,对{xj{y;}应用(4)有 所以 因{£}收敛, limxn=limx“=limxn,“T+3C 題V)叮=lhn(xnynr=lhnxnyn(因兀>0) lim暫儿=lim兀lim儿 訂T+W+X/I—W-X 在限制条件下,limxn>0,因此〃充分大时有xn>0, 这时等式明显成立. 3、若Yvlimyn<0,可取充分大的正常数C>0,使得lim(儿+C)>0, +x~ limxnyn+lim忑・C=lim忑・limytl+lim兀】・C n—>4-X”J2—>+-Xn—>4-W”T・0C■//—>*00 limxnyn=limxn-limyn,证毕. ”f+x”fhOCHT+00 性质5在不发生(土s)+(q: s)情况下,有如下不等式成立: 1、limxf1+lim儿 X”/r—^X"”TY+3Cr 2、limxn+limyn “f3C"TOO"f3C 3、lim(xn+儿)5limxn+lim儿 /? —>-+-XHT+X 事实上,这里的等号可以不发生,如对 {片}={0,2,0,2,0,2,・・・}, 这时{©+儿}={121,2,12・・・}limxn+limyn=0 /? —/! ->«口TOO lim(xn+儿)=2vlimx/r+lim儿=3 例6证明: 若{耳}收敛,则对任意儿(“=12…),有 lhnc(xn+yn)=lhnxn+lhn儿 证:
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