杭州中考数学二次函数的综合题试题.docx
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杭州中考数学二次函数的综合题试题
2020-2021杭州中考数学二次函数的综合题试题
一、二次函数
1.如图,抛物线y=x2-mx-(m+1)与x轴负半轴交于点A(xb0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OAvOB),与y轴交于点C,且?
t足xi2+x22-xix2=13.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作RtABCD),CD交抛物线于第四象限的点E,若EC
=ED,求点E的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S>Aacq=2S\aoc?
若存在,求出点Q的坐标;若不存
在,说明理由.
【答案】
(1)y=x2-2x-3;
(2)E点坐标为(1屈,-1屈);(3)点Q的坐
标为(-3,12)或(2,-3).理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由根与系数的关系可得x〔+x2=m,x1?
x2=-(m+1),代入x12+x22-x1x2=13,求出m1=2,m2=-5.根据OAvOB,得出抛物线白^对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;
1
(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=-CD=CE,利
2
用SSS证明△OB®4OCE得出/BOE=/COE即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,-m),代入y=x2-2x-3,求出m的值,即可得到E点坐标;
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得Saaca
Saacf.由Saacq=2Saaoc,得出Saac『2Saaoc,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-3x-3.根据AC//FQ,可设直线FQ的解析式为y=-3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=-3x+3,把它与抛
2
物线的解析式联立,得出方程组yxx,求解即可得出点Q的坐标.
y3x3
【详解】
(1),「抛物线y=x2-mx-(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(加,0),
••x1+x2=m,x1?
x2=一(m+1),
・・22
・X1+x2—X1X2=13,(X1+X2)2—3X1X2=13,
m2+3(m+1)=13,
即m2+3m—10=0,解得m1=2,m2=-5.
.OAvOB,
,抛物线的对称轴在y轴右侧,
m=2,
,抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)连接BE、OE.
•.在Rt^BCD中,ZCBD=90;EC=ED,
一1一—BE=—CD=CE.
2
令y=x2-2x-3=0,解得X1=—1,x2=3,
••A(T,0),B(3,0),
•C(0,-3),
.•.OB=OC,
又..BE=CE,OE=OE,
.-.△OBE^AOCE(SSS,
/BOE=/COE
・••点E在第四象限的角平分线上,
设E点坐标为(m,—m),将E(m,—m)代入y=x2-2x-3,
得m=m2-2m-3,解得m=1-Y13,
2
3);
2
•・•点E在第四象限,
・•・E点坐标为(1而
2
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,则SAacaSaacf.
Saac『2S\aog
.•.AF=2OA=2,
.•.F(1,0).
-A(—1,0),C(0,—3),
「•直线AC的解析式为y=-3x-3.
1.AC//FQ,
「•设直线FQ的解析式为y=-3x+b,
将F(1,0)代入,得
0=-3+b,解得b=3,
•・・直线FQ的解析式为
y=-3x+3.
x22x3
3x
解得
小
3
12'
X2
V2
2
3'
.••点Q的坐标为
3,12)或(2,-3).
【点睛】
本题是二次函数综合题,其中涉及到
二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析
式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
2.如图,抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
⑴求点A、B、C的坐标;
(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线
AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ//AB交抛物线于点Q,过点Q作QN^x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长;
(3)当矩形PQNM的周长最大时,m的值是多少?
并求出此时的4AEM的面积;
(4)在(3)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平
行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2&DQ,求点F的坐标.
PMNQ的周长=-
2m2—8m+2;(3)m=
【答案】
(1)A(—3,0),B(1,0);C(0,3);
(2)矩形
—2;S=-;(4)F(—4,-5)或(1,0).
2
【分析】
(1)利用函数图象与坐标轴的交点的求法,求出点A,B,C的坐标;
(2)先确定出抛物线对称轴,用m表示出PM,MN即可;
(3)由
(2)得到的结论判断出矩形周长最大时,确定出m,进而求出直线AC解析式,
即可;
(4)在(3)的基础上,判断出N应与原点重合,Q点与C点重合,求出DQ=DC=
收,再建立方程(n+3)-(-n2-2n+3)=4即可.
【详解】
(1)由抛物线y=—x2―2x+3可知,C(0,3).
令y=0,贝U0=—x2-2x+3,
解得,x=-3或x=l,
.•.A(-3,0),B(1,0).
(2)由抛物线y=-x2-2x+3可知,对称轴为x=-1.
•・M(m,0),
.-.PM=-m2-2m+3,MN=(-mT)x染-2m-2,
•.矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(-m2-2m+3-2m-2)X2=-2m2-8m+2.
(3)/-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
,矩形的周长最大时,m=-2.
.A(-3,0),C(0,3),
设直线AC的解析式y=kx+b,
3kb0b3
解得k=l,b=3,「•解析式y=x+3,令x=-2,则y=1,•-E(-2,1),
,EM=1,AM=1,
-11
•.S=—AMXEM=—•
22
(4)-M(-2,0),抛物线的对称轴为x=-l,,N应与原点重合,Q点与C点重合,
•.DQ=DC,
把x=-1代入y=-x2-2x+3,解得y=4,-D(-1,4),
-.dq=dc=72-
.FG=22DQ,•.FG=4.
设F(n,-n2-2n+3),贝UG(n,n+3),
丁点G在点F的上方且FG=4,(n+3)-(-n2-2n+3)=4.
解得n=-4或n=1,
•.F(-4,-5)或(1,0).【点睛】
此题是二次函数综合题,主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法,待定系数法求函数解析式,函数极值的确定,解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(2,9),与x轴交于
点A,B,与y轴交于点C(0,5).
(I)求二次函数的解析式及点A,B的坐标;
(n)设点Q在第一象限的抛物线上,若其关于原点的对称点Q'也在抛物线上,求点Q的
坐标;
(出)若点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,使得以A,C,M,N为顶点的四
边形是平行四边形,且AC为其一边,求点M,N的坐标.
【答案】
(1)y=-x2+4x+5,A(-1,0),B(5,0);
(2)Q(75,4遍);(3)M
(1,8),N(2,13)或M(3,8),N'(2,3).
【解析】
【分析】
(1)设顶点式,再代入C点坐标即可求解解析式,再令y=0可求解A和B点坐标;
(2)设点Q(m,-m2+4m+5),则其关于原点的对称点Q'(-m,m2-4m-5),再将Q
坐标代入抛物线解析式即可求解m的值,同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”;
(3)利用平移AC的思路,作MK,对称轴x=2于K,使MK=OC,分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
(I)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+9,把C(0,5)代入得到a=-1,
••y=-(x—2)2+9,即y=-X2+4x+5,
令y=0,得到:
x2-4x-5=0,
解得x=-1或5,
.•.A(T,0),B(5,0).
(n)设点Q(m,—m2+4m+5),则Q'(—m,m2—4m—5).
把点Q'坐标代入y=-x2+4x+5,
得至km2-4m-5=-m2-4m+5,
,m=J5或J5(舍弃),
••Q(75,4斯).
(出)如图,作MKL对称轴x=2于K.
①当MK=OA,NK=OC=5时,四边形ACNM是平行四边形.
•・・此时点M的横坐标为1,
y=8,
.•.M(1,8),N(2,13),
②当M'K=OA=1KN'=OC=5,四边形ACM平行四边形,
此时M的横坐标为3,可得M(3,8),N'(2,3).
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用,第3问中理解通过平移AC可应用”组对边平行且相等
得到平行四边形.
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2bxc交x轴于点A4,0、
B2,0,交y轴于点C0,6,在y轴上有一点E0,2,连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求ADE面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形,若存在,请直接写出所有
P点的坐标,若不存在请说明理由.
32一
-x6;
(2)当x一时,ADE的
23
1,布,1,2VT9.
32
【答案】
(1)二次函数的解析式为y3x2
4
50
面积取得最大值3;(3)P点的坐标为1,1
3
【解析】分析:
(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可;
(2)根据函数解析式设出点D坐标,过点D作DG,x轴,交AE于点F,表示4ADE的
面积,运用二次函数分析最值即可;
(3)设出点P坐标,分PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.
详解:
(1)...二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),
16a4bc0
・•.4a2bc0,
c6
3a-
4
一,3
解得:
b-,
2
c6
323
所以二次函数的解析式为:
y=3x23x6;
42
(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直线解析式为
过点D作DN^x轴,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EHI±DF,垂足为H,如图,
设D(m,
323……,
一m—m6),则点F(m,
42
.•.DF=3m23m6-
42
Im2)=3m2m24
•••Saade=S\adf+Saedf=-XDF>AG+-DF>EH
22
=-XDF>AG+->DF>EH
22
1
=-X4DF
2
c/32c、
=2(x-mm8)
4
3/2o50
=m
233
2..,,一」50
.•.当m=一时4ADE的面积取得最大值为一.
33
°323
(3)y=—x—x6的对称轴为x=-1,设P(-1,n),又E(0,-2),A(
42
4,0),可求PA=、,9n2,PE=.1(n2)2,AE=、1642-5,分三种情况讨论:
当PA=PE时,J9n2=K(n2)2,解得:
n=1,此时P(-1,1);
当PA=AE时,而―n2=^/?
6—4275,解得:
n=JU,此时点P坐标为(-1,
而);
当PEAE时,石(n2)2=V1642芯,解得:
n=-2J19,此时点P坐标为:
(-1,-2屈).
综上所述:
p点的坐标为:
(-1,1),(-1,布),(-1,-2J19)点睛:
本题主要考查二次函数的综合问题,会求抛物线解析式,会运用二次函数分析三角形面积的最大值,会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.
5.已知点A(-1,2)、B(3,6)在抛物线y=ax+bx上
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证:
FH//AE;(3)如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点.点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒加个单位长度;同时点Q从原点。
出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,
QM=2PM,直接写出t的值.
17+
【答案】⑴抛物线的解析式为y=x2-x;
(2)证明见解析;(3)当运动时间为一二一或
15士,57
yx2-x
y=(m-2)x+m
x=Tly=2
,点G的坐标为(m,m2-m).
.「GH^x轴,
,点H的坐标为(m,0).
;抛物线的解析式为y=x2-x=x(x-1),
•・•点E的坐标为(1,0).
过点A作AA'^x轴,垂足为点A,如图1所示.
丁点A(—1,2),
「•A'(T,0),
.•.AE=2,AA'=2
AA
TiT=1,
FOm
OH与=1'
AAFO
TFTOH,
./AA'E=FOH,••.△AA/^AFOHI,•••/AEA'上FHO,••.FH//AE.
(3)设直线AB的解析式为y=kox+b0,
公一,.一_一、八、、.一,■北口+加=2.一「
将A(―1,2)、B(3,6)代入y=kox+bo中,得(3&+瓦.6,解得:
1如=1,
••・直线AB的解析式为y=x+3,
当运动时间为t秒时,点P的坐标为(t-3,t),点Q的坐标为(t,0).
当点M在线段PQ上时,过点P作PP^x轴于点P',过点M作MM,x轴于点M,则
△PQPs^mqM,如图2所示,
•.QM=2PM,
QM'MM12
可二k=T
21212
・•.QM'qQP'=2,mm'qPP'qt,
2
.・•点M的坐标为(t-2,§t).
又二点M在抛物线y=x2-x上,
2
.t=(t-2)2—(t-2),
解得:
t=当点M在线段QP的延长线上时,
同理可得出点M的坐标为(t-6,2t),
一点M在抛物线y=x2-x±,
•.2t=(t-6)2-(♦6),
解得:
t15±/77
2
17+yJTJ15iA.57
综上所述:
当运动时间秒-_或-一时,QM=2PM.
62
【点睛】
本题考查二次函数综合运用,综合能力是解题关键
16
一a
39
(1)根据题意得到M(2,
1)、N(1,b),代入抛物线解析式即可求出
b、c;
2
6.已知抛物线yaxbxc上有两点M(m+1,a)、N(m,b).
2
⑴当a=—1,m=1时,求抛物线yaxbxc的解析式;
(2)用含a、m的代数式表示b和c;
223
⑶当a<0时,抛物线yaxbxc满足b4aca,bc2a,m一,
4
求a的取值范围.
b1
【答案】
(1)
;
(2)b=-am,c=-am;(3)
c1
(2)将点M(m+1,a)、N(m,b)代入抛物线yax2bxc,可得
2
a(m1)b(m1)ca八r
'2''',化简即可得出;
ambmcb
1
(3)把bam,cam代入b24aca可得a-,把bam,
m4m
cam代入b
c2a可得m1,然后根据m的取值范围可得a的取值范围.
【详解】
解:
(1)/a=-1,m=1,M(2,—1)、N(1,b)
42bc1zb1
由题息,得,解,得
1bcbc1
ax2bxc上
(2).•点M(m+1,a)、N(m,b)在抛物线y
a(m1)2b(m1)ca①am2bmcb②
①—②得,2ambb,bam
把bam代入②,得cam
⑶把b
am,c
am代入b24ac
a得a2m24a2ma
…c2,/
Qa0,am4am1,a
把b
Qm
_2
Qm
am,cam代入bc
2..
4m(m2)4,当m
1
-2—"-
m4m
2a得2am2a,m1
2时,m24m随m的增大而增大
2
3m4m
39
16
161
TT-2"-
39m4m
161
即——a
393
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质,由函数图像上点的坐标特征求出bam,cam是解题关键.
7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度,得到点B.
(1)求点B的坐标;
(2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
【答案】
(1)A(0,—3),B(4,—3);
(2)—3vawq
【解析】
【分析】
(1)由题意直接可求A,根据平移点的特点求B;
(2)图形M与线段AB恰有两个公共点,y=a要在AB线段的上方,当函数经过点A时,
AB与函数两个交点的临界点;
【详解】
解:
(1)A(0,—3),B(4,-3);
(2)当函数经过点A时,a=0,
;图形M与线段AB恰有两个公共点,
..y=a要在AB线段的上方,
••a>-3
-3VawQ
【点睛】
本题二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象的特点,函数与线段相交的交点情况是解题的关键.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),
1
如图,直线y=-x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=-1.
4
(1)求抛物线的解析式;
(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?
若存在,求出点P的坐标;若不存
在,请说明理由.
(3)知F(x0,yo)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的
距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.
【答案】
(1)抛物线的解析式为y=1x2-x+1.
(2)点P的坐标为(竺,-1).(3)413
定点F的坐标为(2,1).
【解析】
分析:
(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛
物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点
B关于直线l的对称点B;连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B'的坐标,根据点A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB'的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;
(3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征,即可得出(1-;-;yo)m2+(2-2xo+2yo)m+X02+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关
于xo、yo的方程组,解之即可求出顶点F的坐标.
详解:
(1)二•抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.
;该抛物线经过点(4,1),
1
1=4a,解得:
a=—,
4
,抛物线的解析式为y=1(x-2)2=lx2-x+1.
44
(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,得:
x1=1
x2=4
y2=1
_1
yx
4——
解得:
12
y=-xx1
4
,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(4,1).
4
作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图
•・•点B(4,1),直线l为y=-1,
.・•点B的坐标为(4,-3).
设直线AB'的解析式为y=kx+b(kwQ,
将A(1,1)、B'(4,-3)代入y=kx+b,得:
4
,1
kb=—…口
4,解得:
4kb^3
13
k=—
12
4b
3
••・直线AB的解析式为
y=34,
123
当y=-1时,有-!
3x+3=-1,123
28解得:
x=—,
13
,点P的坐标为(^8,-1).
13
(3)二•点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,
(m-xo)2+(n-yo)2=(n+1)2,
-1•
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- 杭州 中考 数学 二次 函数 综合 试题