届苏教版随机变量及其分布列单元测试15.docx

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届苏教版随机变量及其分布列单元测试15

一、填空题（共10小题,每小题5.0分,共50分）

1.设X～N（10,0.64），则D（X）等于。

2.将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．

3.已知ξ，并且

，则方差

。

4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．

5.已知随机变量ξ～B（5，

），随机变量η＝2ξ－1，则E（η）＝________.

6.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．

7.如图是正态分布N（0,1）的正态曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有________．

①

－Φ（－a）；②Φ（－a）；③Φ（a）－

；

④

[Φ（a）－Φ（－a）]，其中Φ（－a）＝P（x≤－a）．

8.若X的概率分布为

其中p∈（0,1），则V（X）＝________.

9.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为

，用满8000小时不坏的概率为

.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．

10.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D（X）＝________.

二、解答题（共10小题,每小题12.0分,共120分）

11.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，作不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（B|A）．

12.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记

表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求

的分布列；

13.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的概率分布．

14.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1：

运走设备，搬运费为3800元．

方案2：

建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．

方案3：

不采取措施．

试比较哪一种方案好．

15.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为

，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

（1）求三位同学都没有中奖的概率；

（2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．

16.某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X位于区间（52,68）的概率为多少？

17.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．

18.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入

袋或

袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

，求小球落入

袋中的概率

；

19.一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是

.

（1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；

（2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．

20.一袋中有6个黑球，4个白球．

（1）依次取出3个球，不放回，若第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；

（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；

（3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的概率分布．

答案解析

1.【答案】0.64

【解析】∵X～N（10,0.64），∴D（X）＝0.64.

2.【答案】

【解析】　每一次出现正面朝上的概率为

，且它们相互独立，所以P＝

5＝

.

3.【答案】

【解析】因为

4.【答案】

【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C

6＋C

6＋C

6＝

.

5.【答案】

【解析】E（ξ）＝

，E（η）＝2E（ξ）－1＝

.

6.【答案】①③

【解析】对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P（A）＝

.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次（k＝0,1,2，……，n）的概率P（ξ＝k）＝

，符合二项分布的定义，即有ξ～B（n，

）．

对于②，ξ的取值是1,2,3，……，P（ξ＝k）＝0.9×

（k＝1,2,3，……n），显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．

③和④的区别是：

③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B

.

故应填①③.

7.【答案】①③④

【解析】∵Φ（－a）＝P（x≤－a）表示x不大于－a的概率，

∴①正确，②错误．∵Φ（a）＝1－Φ（－a），∴③正确．

∵

[Φ（a）－Φ（－a）]＝

[1－2Φ（－a）]

＝

－Φ（－a），与①相同．∴④正确．

8.【答案】p－p2

【解析】V（X）＝p（1－p）

9.【答案】

【解析】记事件A：

“用满3000小时不坏”，P（A）＝

；

记事件B：

“用满8000小时不坏”，

P（B）＝

.因为B⊂A，所以P（AB）＝P（B）＝

，

则P（B|A）＝

＝

＝

×

＝

.

10.【答案】2

【解析】每次取球时，红球被取出的概率为

，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B

，故D（X）＝8×

×

＝2.

11.【答案】

【解析】将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以（i，j）表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的基本事件空间为

Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），

（4，2），（4，3）}，

基本事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件．

∴P（B|A）＝.

12.【答案】

（1）

；

（2）

【解析】

（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）＝

.

（2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，

的可能取值为0,1,2,3，P（＝k）＝

（k＝0,1,2,3），

其分布列为：

13.【答案】

【解析】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.

ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为

P（ξ＝0）＝＝

，P（ξ＝1）＝

＝

，

P（ξ＝2）＝

＝

，

所以ξ的概率分布为

14.【答案】选择方案2.

【解析】用X1，X2，X3分别表示方案1,2,3的损失．

采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即

X1＝3800.

采用第2种方案，遇到大洪水时，

损失2000＋60000＝62000元；

没有大洪水时，损失2000元，即

X2＝

同样，采用第3种方案，有

X3＝

于是，E（X1）＝3800，

E（X2）＝62000×P（X2＝62000）＋2000×P（X2＝2000）

＝62000×0.01＋2000×（1－0.01）＝2600，

E（X3）＝60000×P（X3＝60000）＋10000×P（X3＝10000）＋0×P（X3＝0）

＝60000×0.01＋10000×0.25＝3100.

综上，方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.

15.【答案】

（1）

；

（2）

【解析】

（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P（A）＝P（B）＝P（C）＝

.

P（

·

·）＝P（

）·P（

）·P（

）＝

3＝

.

（2）1－P（

BC∪A

C∪AB

∪ABC）

＝1－3×

2×

－

3＝

.

或P（

∪A

∪

B

∪

C）＝

.

16.【答案】0.683.

【解析】设成绩X～N（μ，σ2），

则正态分布的密度函数

P（x）＝

e

，

由图可知，μ＝60，σ＝8.

∴P（52

＝P（|X－μ|<σ）＝0.683.

17.【答案】0.973.

【解析】如图所示，记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A、B、C.

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

P（

·

·

）＝P（

）P（

）P（

）＝[1－P（A）][1－P（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.7）（1－0.7）（1－0.7）＝0.027.

于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1－P（

·

·

）＝1－0.027＝0.973.

即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.

18.【答案】

【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入

袋.所以

.

19.【答案】

（1）ξ的期望为2，方差为

；

（2）η的期望为60；方差为1200.

【解析】

（1）易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，

且ξ～B（6，

），∴E（ξ）＝6×

＝2，

V（ξ）＝6×

×（1－

）＝

.

（2）由已知η＝30ξ，

∴E（η）＝30E（ξ）＝60（秒），V（η）＝900V（ξ）＝1200.

20.【答案】

（1）

；

（2）

；（3）

【解析】

（1）法一　设事件A表示“第一次取到白球”，事件B表示“第二次取到白球”，事件C表示“第三次取到白球”，

则在A发生的条件下，袋中只剩6个黑球和3个白球，则

P（

|A）＝

＝

＝

.

法二　同上P（

|A）＝

＝

＝

＝

.

（2）由于是有放回的取球，∴每次取之前袋中球的情况不变，∴第n次取球的结果互不影响，∴P（

）＝

＝

.

（3）设“摸一次球，摸到白球”为事件D，则P（D）＝

＝

.P（

）＝

.

显然该试验为三次独立重复试验，X服从二项分布．

∴P（X＝0）＝C

3＝

，

P（X＝1）＝C

2＝

，

P（X＝2）＝C

2

＝

，

P（X＝3）＝C

3＝

.

故X的概