高考数学文科一轮复习 第43讲立体几何的综合问题.docx
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高考数学文科一轮复习第43讲立体几何的综合问题
听课手册第43讲 立体几何的综合问题
1.平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.
2.垂直问题的转化
在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.
探究点一 平行与垂直关系的证明
例1[2018·北京卷]如图7-43-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:
PE⊥BC;
(2)求证:
平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:
EF∥平面PCD.
图7-43-1
[总结反思]证明面面关系的核心是证明线面关系,证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的常用方法:
(1)线面平行的性质定理;
(2)三角形中位线法;(3)平行四边形法.证明线线垂直的常用方法:
(1)等腰三角形三线合一;
(2)勾股定理逆定理;(3)线面垂直的性质定理;(4)菱形对角线互相垂直.
例2[2018·烟台二模]如图7-43-2所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,F分别为BC,AP的中点.
(1)求证:
EF∥平面PCD;
(2)若平面PAB⊥平面ABCD,AD=AP=1,AB=2,∠PAB=45°,求三棱锥P-DEF的体积.
图7-43-2
[总结反思]求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题去求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:
求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:
等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高(或几何体的高),特别是在求三角形的高(或三棱锥的高)时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.
变式题[2018·合肥二模]如图7-43-3所示,在多面体ABCDPQ中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD∥PQ,AB⊥AD,△PAD为正三角形,O为AD的中点,且AD=AB=2,CD=PQ=1.
(1)求证:
平面POB⊥平面PAC;
(2)求多面体ABCDPQ的体积.
图7-43-3
探究点二 探索性问题中的平行与垂直关系
例3[2018·山东、湖北部分重点中学模拟]如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是矩形,∠BAC=90°,AA1⊥BC,AA1=AC=2AB=4,且BC1⊥A1C.
(1)求证:
平面ABC1⊥平面A1ACC1.
(2)设D是A1C1的中点,判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使得DE∥平面ABC1?
若存在,请说明理由并求点E到平面ABC1的距离.
图7-43-4
[总结反思]处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件假设相关结论正确,再给出证明.探索点的存在性问题时,点多为中点或三等分点中的一个,也可以根据相关的知识确定点的位置.
变式题[2018·衡水中学月考]如图7-43-5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
BC=4,点A1在底面ABC上的投影是线段BC的中点O.
(1)求证:
在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.
图7-43-5
探究点三 折叠问题中的平行与垂直关系
例4如图7-43-6所示,在△PBE中,AB⊥PE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=
AB=AP=
AE=2,将△PBA沿AB折起使得二面角P-AB-E是直二面角,连接PE.
(1)求证:
CD∥平面PAB;
(2)求三棱锥E-PAC的体积.
图7-43-6
[总结反思]在解决折叠问题时,需要明确翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的,翻折的角度等.求体积时,注意等体积法的应用.
变式题[2018·湖北重点高中联考]如图7-43-7①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AE⊥CD,将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,使二面角D1-AE-C成直二面角,连接D1B,D1C(如图7-43-7②).
(1)求证:
D1E⊥BC;
(2)若BC=CE=2DE=2,求点A到平面BCD1的距离.
图7-43-7
完成课时作业(四十三)
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