长方体表面涂色.docx
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长方体表面涂色.docx
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长方体表面涂色
五数奥:
立体图形的涂色问题
姓名
例1.一个表面都涂满红色的正方体,在它的每个面上等距离地切两刀,可得到27个小立方体,而且切面都是白色,这27个小立方体中,一面是红色的有多少个?
二面是红色的有多少个?
三面是红色的有多少个?
各面都没有红色的有多少个?
解析:
仔细观察
(1)一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。
有6个
(2)二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。
有12个
(3)三面涂有红色的小方块位于每个角上,永远都是8个。
(4)各面没有红色的小方块位于立方体的内部,用总的小方块的数量减去一面、二面、三面涂红的块数,就可以了。
有1个
进一步归纳:
对于一个n×n×n的正方体,其涂色情况如下:
(1)三面涂色的:
8个
(2)二面涂色的:
(n-2)×12个
(3)一面涂色的:
(n-2)×(n-2)×6个
(4)各面没涂色的:
总的个数减去上面三类的总个数
或(n-2)×(n-2)×(n-2)个
例2.有个长方体,长、宽、高分别是3、5、7(单位:
厘米),分别将其表面涂上红色,然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体,一面是红色的有多少个?
二面是红色的有多少个?
三面是红色的有多少个?
各面都没有红色的有多少个?
解析:
(1)三面涂色的在角上,有8个
(2)二面涂色的在每条棱中间,长上面有1×4=4个,宽上面有3×4=12个,高上面有5×4=20个,总共36个
(3)一面涂色的在每个面的中间,上、下面上有1×3×2=6个,左、右面上有3×5×2=30个,前、后面上有1×5×2=10个,总共46个
(4)各面都没涂色的有3×5×7-8-36-46=15个
进一步归纳:
对于一个a×b×c的长方体(a、b、c表示长、宽、高),其涂色情况如下:
(1)三面涂色的:
8个
(2)二面涂色的:
[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4个即(a+b+c-6)×4个。
(棱长总和公式)
(3)一面涂色的:
[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2个(表面积公式)
(4)各面没涂色的:
总的个数减去上面三类的总个数
或(a-2)×(b-2)×(c-2)个(体积公式)
练习:
1.一个棱长为3厘米,在其表面涂满红漆,然后切成棱长都是1分米的小正方体,问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个?
六面都没红色有多少个?
2.一个长方体木块,长、宽、高分别是5、3、4分米,在它六个面上漆满油漆,然后踞成棱长都是1分米的正方体木块。
问这些小正方体木块中,三面、二面、一面有油漆的各多少个?
各面都没有油漆的有多少个?
3.把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体,然后在大正方体的表面涂上颜色,已知两面被涂上颜色的有36个,那么这些小正方体一共有多少个?
授课教案
学员姓名:
授课教师:
所授科目:
学员年级:
上课时间:
年月日时分至时分共小时
教学标题
长方体的表面积
教学目标
认识长方体、正方体
教学重难点
会正确解决关于长方体正方体的棱长及面积计算
上次作业检查
完成数量:
____%完成质量____%存在问题:
授课内容:
一、复习上次课内容:
1、通分2、约分3、分数加减混合计算方法4、一般分数加减混合计算的简算
二、梳理知识
1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。
在一个长方体中,相对面完全相同,相对的棱长度相等。
2、两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长宽高。
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4L=(a+b+h)×4
长=棱长总和÷4-宽-高a=L÷4-b-h
宽=棱长总和÷4-长-高b=L÷4-a-h
高=棱长总和÷4-长-宽h=L÷4-a-b
3、长方体有6个面,8个顶点,12条棱,相对的面的面积相等,相对的棱的长度相等。
一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形,最多有2个面是正方形。
4、长方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)
无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)-abS=2(ah+bh)+ab
无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2S=2(ah+bh)
三、典型例题(需有解析题目的详细过程)
例题:
棱长
①相交于一个顶点的( )条棱,分别叫做长方体的( )、( )、( )。
②一个长方体的棱长总和是80厘米,长10厘米,宽是7厘米。
高是( )厘米。
③至少需要( )厘米长的铁丝,才能做一个底面周长是18厘米,高3厘米的长方体框架。
④一个长方体最多可以有()个面是正方形,最多可以有()条棱长度相等。
例题:
表面积
①一个长方体的长、宽、高都扩大2倍,它的表面积就()。
②一个长方体的棱长和是72厘米,它的长是9厘米,宽6厘米,它的表面积是多少平方厘米?
③一只无盖的长方形鱼缸,长0.4米,宽0.25米,深0.3米,做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米?
④一个长方体通风管,长4米,宽和高都是20厘米。
做100根这样的通风管,至少需要铁皮多少平方米?
四、课堂练习
一、填空。
1、正方体是由( )个完全相同的( )围成的立体图形,正方体有( )条棱,它们的长度都( ),正方体有( )个顶点。
2、因为正方体是长、宽、高都( )的长方体,所以正方体是( )的长方体。
3、一个正方体的棱长为A,棱长之和是( ),当A=6厘米时,这个正方体的棱长总和是( )厘米。
4、相交于一个顶点的( )条棱,分别叫做长方体的( )、( )、( )。
5、一根长96厘米的铁丝围成一个正方体,这个正方体的棱长是( )厘米。
6、一个长方体的棱长总和是80厘米,长10厘米,宽是7厘米。
高是( )厘米。
7、至少需要( )厘米长的铁丝,才能做一个底面周长是18厘米,高3厘米的长方体框架。
8、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍,它的表面积就()。
9、一个长方体最多可以有()个面是正方形,最多可以有()条棱长度相等。
二、应用题。
1、一个面的面积是36平方米的正方体,它所有的棱长的和是多少厘米?
2、用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架,如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架,它的高应该是多少厘米?
3、天天游泳池,长25米,宽10米,深1.6米,在游泳池的四周和池底砌瓷砖,如果瓷砖的边长是1分米的正方形,那么至少需要这种瓷砖多少块?
4、把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体,可以切割成多少块?
5、一种长方体硬纸盒,长10厘米,宽6厘米,高5厘米,有2平方米的硬纸板210张,可以做这样的硬纸盒多少个?
(不计接口)
6、一个长方体的棱长和是72厘米,它的长是9厘米,宽6厘米,它的表面积是多少平方厘米?
7、一个长4分米、宽3分米、高2分米的长方体,它占地面积最大是多少平方米?
表面积是多少平方米?
8、.用72分米长的铁丝做一个正方体的框架,然后在外面贴上一层纸,至少需要多少平方分米的纸?
9、一只无盖的长方形鱼缸,长0.4米,宽0.25米,深0.3米,做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米?
10、.用36厘米的铁丝焊接成一个正方体框架,这个正方体棱长是多少?
如果用纸糊满框架的表面,至少需要纸多少平方厘米?
11、一个长方体的水池的长是18米,宽是12米,深是2.5米,在它的四周和底面抹上水泥,水泥的面积多少平房米?
12、.用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架,如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架,它的高应该是多少厘米?
13、有一种无盖的玻璃鱼缸,长20厘米,宽15厘米,高10厘米,做这样一对鱼缸需要多少平方厘米的玻璃?
14、楼房外壁用于流水的水管是长方体。
如果每节长15分米,横截面是一个长方形,长1分米,宽0.6分米。
做一节水管,至少要用铁皮多少平方分米。
15、一个游泳池,长25米,宽10米,深2.4米,在游泳池的四周和池底砌瓷砖,如果瓷砖的边长是2分米的正方形,那么至少需要这种瓷砖多少块?
16、一盒饼干长20厘米,宽15厘米,高30厘米,现在要在它的四周贴上商标纸,这张商标纸的面积是多少平方厘米?
17、做一个长方体的浴缸(无盖),长8分米,宽4分米,高6分米,至少需要多少平方分米的玻璃?
如果每平方分米玻璃4元钱,至少需要多少钱买玻璃?
18、一个长方体通风管,长4米,宽和高都是20厘米。
做100根这样的通风管,至少需要铁皮多少平方米?
19、一个房间的长6米,宽3.5米,高3米,门窗面积是8平方米。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥,粉刷水泥的面积是多少平方米?
如果每平方米需要水泥4千克,一共要水泥多少千克?
课后记
本节课教学计划完成情况:
照常完成_____提前完成_____延后完成_____
学员课堂表现:
签字确认
学员教师学管师
教案检查
教学部审批总监抽查
正方体、长方体表面积变化
例题一一根长方体木料,长2米,宽和高都是0.1米
(1)如何把它锯成两个相等的小长方体,两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了还是减少了多少平方米?
图1
图2
(2)如何把它锯成三个不相等的长方体,三个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米?
图3
图4
思考:
如何把它锯成十个不相等的长方体,这十个小长方体表面积之和与原来的长方体的表面积有什么变化?
例题二一个正方体木块,长、宽、高都是0.1米
(1)如何将两个这样的正方体木块拼成一个长方体木块,那么拼接后的长方体的表面积和原来两个正方体的表面积之和有什么变化?
图5
(2)三个正方体木块拼成一个长方体木块呢?
图6
思考练习:
(3)八个正方体呢?
总结:
对于这种长方体和正方体拼接或截取导致表面积产生变化的问题,我们要弄清楚一下问题:
1.在这个演变过程中,我们能看到的立方体的表面有什么变化?
2.变化过程中,表面积的改变和这些新增或消失的面有什么关系
3.新增或消失的面和原来长方体或正方体哪些面的面积相等以及个数有什么变化?
正方体、长方体表面积变化
例题用两个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体可以拼成几种不同的长方体?
怎么拼表面积最大?
怎么拼表面积最小?
方法一:
出新长方体的长、宽、高,然后再求长方体表面积
方法二:
拼接之后长方体的表面积
=拼接之前两个长方体表面积之和-拼接中减少的表面积
第一种:
上下底面相拼
第二种:
前后面相拼
第三种:
左右侧面相拼
总结:
本题有三种拼接方法,我们都可以算出拼接后的长方体的表面积,我们发现表面积的大小和减少的面积的大小有什么关系?
减少的表面积越小,拼成后的大长方体的表面积就越大
典型例题:
【例题1】有一个正方体木块,把它分成两个长方体后,表面积增加了24平方厘米,这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米?
练习2:
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?
2.有一个长方体木块,长4分米、宽3分米、高6分米,现在把它锯成两个长方体,表面积最多增加多少平方分米?
【例题2】一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块,表面积增加多少平方厘米?
练习1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体,这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米?
2.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个棱长是2厘米的正方体,至少需要多少个小正方体?
如果要摆一个棱长是6厘米的正方体,需要多少个小正方体?
3.有一个长方体,长10厘米、宽6厘米、高4厘米,如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体,一共能锯多少个?
【例题4】一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中:
(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个
练习4:
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色,然后切成1立方厘米的小正方体,这些小正方体中,一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个?
巩固练习题
一.填空题。
1.102m=()cm476cm=()dm64dm=()cm
1067cm=()m4.85dm=()cm6.55cm=()m
1dm2=()cm245cm2=()dm21506cm2=()m2
66m2=()cm2781dm2=()m219m2=()cm2
2.一个长方体它的长是15cm,截面是一个边长为5cm的正方形,这个长方体的表面积为()cm2.
3.用铁丝焊接一个长为10cm,宽为5cm,高为3cm的长方体,需要用()cm铁丝。
4.一个长方体的棱总和为36cm,已知长4cm,宽3cm,它的高是()cm。
5.一个长方体相交于一个顶点的三条棱分别是5cm,3cm,4cm,这个长方体的所有棱长之和是()厘米,表面积是()。
6.已知一个长方体长为40cm,宽10cm,高5cm,把这个长方体分割成两个长为20的长方体,表面积会增加()cm2.
7、把一个棱长为8厘米的正方体切成两个长方体,切成的这两个长方体的表面积的总和是多少?
8.将3个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体后,长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和减少了多少?
9、将5个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和少多少?
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