人教A版高中数学必修5同步辅导与检测第三章33332第2课时简单线性规划的应用含答案.docx
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人教A版高中数学必修5同步辅导与检测第三章33332第2课时简单线性规划的应用含答案
第三章不等式
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.2简单的线性规划问题
第2课时简单线性规划的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1.有5辆6吨的汽车,4辆4吨的汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A.z=6x+4yB.z=5x+4y
C.z=x+yD.z=4x+5y
解析:
设需x辆6吨汽车,y辆4吨汽车.则运输货物的吨数为z=6x+4y,即目标函数z=6x+4y.
答案:
A
2.某服装制造商有10m2的棉布料,10m2的羊毛料和6m2的丝绸料,做一条裤子需要1m2的棉布料,2m2的羊毛料和1m2的丝绸料,做一条裙子需要1m2的棉布料,1m2的羊毛料和1m2的丝绸料,做一条裤子的纯收益是20元,一条裙子的纯收益是40元,为了使收益达到最大,若生产裤子x条,裙子y条,利润为z,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.
z=20x+40y
B.
z=20x+40y
C.
z=20x+40y
D.
z=40x+20y
解析:
由题意可知选A.
答案:
A
3.实数x,y满足
则z=
的取值范围是( )
A.[-1,0]B.(-∞,0]
C.[-1,+∞)D.[-1,1)
解析:
作出可行域,如图所示,
的几何意义是点(x,y)与点(0,1)连线l的斜率,当直线l过B(1,0)时k1最小,最小为-1.又直线l不能与直线x-y=0平行,所以kl<1.综上,k∈[-1,1).
答案:
D
4.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
品种
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0B.30,20
C.20,30D.0,50
解析:
设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x,y满足条件
画出可行域如图,得最优解为A(30,20),故选B.
答案:
B
5.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B两种用品应各买的件数为( )
A.2,4B.3,3
C.4,2D.不确定
解析:
设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
答案:
B
二、填空题
6.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析:
设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么
①
目标函数z=2100x+900y.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.
将z=2100x+900y变形,得y=-
x+
,平行直线y=-
x,当直线y=-
x+
经过点M时,z取得最大值.
解方程组
得M的坐标(60,100).
所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216000.
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.
答案:
216000
7.若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为________.
解析:
作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数z=x+y经过点A
时取得最大值,即zmax=1+
=
.
答案:
8.满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个.
解析:
|x|+|y|≤2可化为
作出可行域,为如图所示的正方形内部(包括边界),
容易得到整点个数为13个.
答案:
13
三、解答题
9.某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:
因素
产品A
产品B
备注
研制成本、搭载费用之和/万元
20
30
计划最大投资
金额300万元
产品质量/千克
10
5
最大搭载质
量110千克
预计收益/万元
80
60
——
试问:
如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
解:
设“神十一”宇宙飞船搭载产品A,B的件数分别为x,y,最大收益为z,则目标函数为z=80x+60y,根据题意可知,约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分所示,
作出直线l:
80x+60y=0,并平移直线l,由图可知,当直线过点M时,z取得最大值,解
得M(9,4),
所以zmax=80×9+60×4=960,即搭载A产品9件,B产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.
10.某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查,得出下表:
资金
每台空调或
冰箱所需资金/元
月资金供
应数量/元
空调
冰箱
成本
3000
2000
30000
工人工资
500
1000
11000
每台利润
600
800
——
问:
该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量,才能使总利润最大?
最大利润是多少?
解:
设空调和冰箱的月供应量分别为x,y台,月总利润为z元,
则
z=600x+800y,作出可行域(如图所示).
因为y=-
x+
,表示纵截距为
,斜率为k=-
的直线,当z最大时
最大,此时,直线y=-
x+
必过四边形区域的顶点.
由
得交点(4,9),所以x,y分别为4,9时,z=600x+800y=9600(元).
所以空调和冰箱的月供应量分别为4台、9台时,月总利润最大,最大值为9600元.
B级 能力提升
1.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示:
产品
用煤/吨
用电/千瓦
产值/万元
甲产品
7
20
8
乙产品
3
50
12
但国家每天分配给该厂的煤、电有限,每天供煤至多56吨,供电至多450千瓦,则该厂最大日产值为( )
A.120万元B.124万元
C.130万元D.135万元
解析:
设该厂每天安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,则日产值z=8x+12y,线性约束条件为
作出可行域如图所示,
把z=8x+12y变形为一簇平行直线系l:
y=-
x+
,由图可知,当直线l经过可行域上的点M时,截距
最大,即z取最大值,解方程组
得M(5,7),
zmax=8×5+12×7=124,所以,该厂每天安排生产甲产品5吨,乙产品7吨时该厂日产值最大,最大日产值为124万元.
答案:
B
2.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.则该公司可获得的最大收益是________万元.
解析:
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.
作直线l:
3000x+2000y=0,
即3x+2y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.
联立
解得x=100,y=200.
所以点M的坐标为(100,200).
所以z最大值=3000x+2000y=700000(元).
因此,该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
答案:
70
3.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5min,生产一个骑兵需7min,生产一个伞兵需4min,已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
解:
(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
(2)约束条件为:
整理得
目标函数为W=2x+3y+300,
如图所示,作出可行域,初始直线l0:
2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值,
由
得
最优解为A(50,50),所以Wmax=550(元).
故每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.
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