南开大学计算机与控制工程学院806运筹学历年考研真题汇编含部分答案52p.docx

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南开大学计算机与控制工程学院806运筹学历年考研真题汇编含部分答案52p

　目　录

第一部分　南开大学806运筹学历年考研真题5

2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题5

2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解7

2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题14

2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题17

第二部分　南开大学其他学院运筹学历年考研真题19

2012年南开大学商学院915运筹学考研真题19

2011年南开大学商学院915运筹学考研真题23

2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解27

2010年南开大学商学院887运筹学考研真题35

　　说明：

（1）2013年7月，南开大学对信息技术科学学院学科进行优化整合，分别组建计算机与控制工程学院和电子信息与光学工程学院。

（2）2004年和2015年南开大学信息技术科学学院的“运筹学”科目代码不详。

第一部分　南开大学806运筹学历年考研真题

2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题

2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解

南开大学2011年硕士研究生入学考试试题

学院：

034信息技术科学学院

考试科目：

813运筹学（信息学院）

专业：

运筹学与控制论

一、（35分）已知某工厂计划生产A、B、C三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。

试问：

（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?

（2）若另有两种新产品D、E，生产单位D产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时，单位产品利润2.1千元；生产单位E产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时，单位产品利润1.87千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算?

（3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是60小时，租金1.8万元。

请问是否合算?

（4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?

答：

（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3单位。

则可以得出数学模型：

添加人工变量x4，x5，x6利用单纯形法计算如下：

cj

3

2

2.9

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

x4

304

[8]

16

10

1

0

0

0

x5

400

10

5

8

0

1

0

0

x6

420

2

13

10

0

0

1

3

2

2.9

0

0

0

3

x1

38

1

2

5/4

1/8

0

0

0

x5

20

0

－15

－9/2

－5/4

1

0

0

x6

344

0

9

15/2

－1/4

0

1

0

－4

－0.85

－0.375

0

0

已得最优解，即只生产A种产品，所得利润最大。

（2）增加新变量x7，x8，对应的c7＝2.1，c8＝1.87，约束矩阵增加两个列向量

，

其检验数为：

，

则判断出：

产品D的投产不合算，产品E投产合算。

（3）即

，其不影响检验数的结果，故最优解不变。

最终单纯形表中

，

故租用设备甲合算。

（4）当增加乙的工时，

，故利润不会增加。

二、（15分）有A、B、C、D四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。

已知这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。

又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备的启动费用，分别为100元和150元。

现要求加工四种零件各3件，问应如何安排生产使总的费用最小?

请建立该问题的线性规划模型（不需求解）。

加工一个零件的费用（单位：

元）

答：

设i＝1，2，3，4分别表示产品A、B、C、D；j＝1，2表示设备甲、乙。

xij表示产品i在设备j上生产的个数，

，

则得线性规划模型如下：

其中

三、（25分）某工程公司在未来1—4月份内需完成三项工程：

第一项工程的工期为1—3月份，总计需劳动力80人月；第二项工程的工期为1—4月份，总计需劳动力100人月；第三项工程的工期为3—4月份，总计需劳动力120人月。

该公司每月可用劳力为80人，但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过60人。

问该工程公司能否按期完成上述三项工程任务，应如何安排劳力?

（请将该问题归结为网络最大流问题求解）

答：

可以构建如下网络图（弧上数字为最大流量）。

其中，结点1、2、3、4分别代表1、2、3、4月份，结点5、6、7分别代表第一、二、三项工程。

通过标号与调整，得到的最大流如下图所示。

该最大流问题有多重最优解，上图仅给出一种。

所以该公司能按期完成上述三项工程任务，安排劳力的方案可以为：

1月份，安排60人做第一项任务、20人做第二项任务；2月份，安排60人做第二项任务；3月份，安排60人做第三项任务、20人做第一项任务；4月份，安排60人做第四项任务、20人做第三项任务。

四、（25分）某工厂设计的一种电子设备由A、B、C三种元件串联而成，已知三种元件的单价分别为2万元、3万元、1万元，单件的可靠性分别为0.7、0.8、0.6，要求设计中使用元件的总费用不超过10万元，问应如何设计使设备的可靠性最大?

（请使用动态规划方法求解）

答：

该题中元件A，B，C是串联在一起的，为保证可靠性，在条件允许的情况下，我们会将多个同种元件并联在一起。

如上图，就是将2件A，1件B，3件C先并联再串联在一起，

由于A，B，C的可靠性分别为0.7，0.8，0.6。

设采用m个A，n个B，1个C串联

该组合整体的可靠性为

约束条件为

且m，n，1都为正整数。

由动态规划的思路，我们先从单价高的B开始分类：

由于A，B，C至少都得有1件，故在10万元为限制的前提下，B最多2件。

选择2件B时，问题转化为

S.t

由于m与n必须都大于0，故此时必然选择1件A，2件B，此时可靠性为：

0.7×0.96×0.84＝0.56。

选择1件B时，问题转化为

S.t

此时可以选择1件A，5件C；2件A，3件C；或者3件A，1件C。

同理计算可靠性分别为0.55，0.68，0.47。

故可靠性最大的组合为2件A，1件B，3件C，此时可靠性为0.68。

五、（25分）某公司兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的位置。

设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，预计船只的平均到达率为3只/天，船只到港后如不能及时装卸，停留一日公司将损失1500元。

现需设计该港口码头的装卸能力（即每日可以装卸的船只数），已知单位装卸能力每日平均生产费用为2000元，问装卸能力为多大时，每天的总支出最少?

在此装卸能力之下，求：

（1）装卸码头的利用率；

（2）船只到港后的平均等候时间?

（3）船只到港后总停留时间大于一天的概率。

答：

设装卸能力为

，公司的支出

，

。

则

。

令

。

所以

时，每天的总支出最少。

（1）

，

；

所以码头的利用率为1－P0＝2/3。

（2）

即船只到港后的平均等候时间是

。

（3）设船只到港后的总停留时间T，则T服从

的负指数分布。

分布函数为

；

。

六、（25分）已知A、B各自的纯策略及A的赢得矩阵如下表所示，求双方的最优策略及对策值。

答：

在A的赢得矩阵中第4列优超于第2列，第1列优超于第3列，故可划去第2列和第3列，得到新的赢得矩阵

对于

，第二行优超于第4行，因此去掉第4行，得到

对于

，易知无最优纯策略，用线性规划的方法求解，其相应的相互对偶的线性规划模型如下：

利用单纯形法求解第二个问题，迭代过程如下表所示。

1

1

0

0

0

CB

YB

b

y1

y4

y5

y6

y7

0

y5

1

[8]

3

1

0

0

1/8

0

y6

1

6

4

0

1

0

1/6

0

y7

1

4

12

0

0

1

1/4

检验数

1

1

0

0

0

1

y1

1/8

1

3/8

1/8

0

0

1/3

0

y6

1/4

0

1/2

－3/4

1

0

1/2

0

y7

1/2

0

[21/2]

－1/2

0

1

1/21

检验数

0

5/8

－1/8

0

0

1

y1

3/28

1

0

1/7

0

－1/28

0

y6

19/84

0

0

－61/84

1

－1/21

1

y4

1/21

0

1

－1/21

0

2/21

检验数

0

0

－2/21

0

－5/84

从上表中可以得到，第二个问题的最优解为：

由最终单纯形表的检验数可知，第一个问题的最优解为：

于是：

所以，最优混合策略为：

对策的值为

。

2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题

2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题

第二部分　南开大学其他学院运筹学历年考研真题

2012年南开大学商学院915运筹学考研真题

2011年南开大学商学院915运筹学考研真题

2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解

南开大学2011年硕士研究生入学考试试题

学院：

140商学院

考试科目：

897运筹学（商学院）

专业：

管理科学与工程

一、某厂生产A、B两种产品，需经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表1所示．产品B无论生产批量大小，每件产品生产成本总为400元。

产品A的生产成本分段线性：

第1件至第70件，每件成本为200元；从第71件开始，每件成本为190元。

试建立线性整数规划模型，使该厂生产产品的总利润最大。

（本题共15分）

答：

设x1，x2为产品A、B的个数，

则建立线性整数规划模型如下：

二、现有一个线性规划问题（p1）

maxz1＝CX

其对偶问题的最优解为Y*＝（y1，y2，y3，…，ym）。

另有一线性规划（p2）：

maxz2＝CX

其中，d＝（d1，d2，…，dm）T。

求证：

maxz2≤maxz1＋Y*d（南开大学2011年研）

证：

问题1的对偶问题为：

问题2的对偶问题为：

易见，问题1的对偶问题与问题2的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题1的对偶问题的最优解

一定是问题2的对偶问题的可行解。

令问题2的对偶问题的最优解为

，则

。

因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以：

三、某工厂计划生产甲、乙、丙3种产品，各产品需要在设备A、B、C上进行加工，其所需加工小时数、设备的有效台时和单位产品的利润表2所示。

请回答下面三个问题：

（本题共20分，其中第一小题10分，后两小题各5分）

1．如何安排生产计划，可使工厂获得最大利润?

2．若每月可租用其他工厂的A设备360台时，租金200万元，问是否租用这种设备?

若租用．能为企业带来多少收益?

3．若另外有一种产品，它需要设备A、B、C的台时数分别为2、1、4，单位产品利润为4万元，假定各设备的有效台时数不变，投产这种产品在经济上是否合算?

答：

1．设生产甲、乙、丙三种产品各为x1，x2，x3单位.，则由题意得：

加入松弛变量后，利用单纯形法计算如下：

cj

2

4

3

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

x4

600

3

[4]

2

1

0

0

0

x5

400

2

1

2

0

1

0

0

x6

800

1

3

2

0

0

1

2

4

3

0

0

0

4

x2

150

3/4

1

1/2

1/4

0

0

0

x5

250

5/4

0

[3/2]

－1/4

1

0

0

x6

350

－5/4

0

1/2

－3/4

0

1

－1

0

1

－1

0

0

4

x2

200/3

1/3

1

0

1/3

－1/3

0

3

x3

500/3

5/6

0

1

－1/6

2/3

0

0

x6

800/3

－3/5

0

0

－2/3

－1/3

1

－4/9

0

0

－5/6

－2/3

0

因此已得到最优解，即不生产产品甲，乙和丙的产量分别为200/3，和500/3单位。

获得最大利润

（万元）

2．即

，此时，各非基变量的检验数不发生变化，故最优基B不改变。

（万元）；

（万元）；

为企业带来收益300－200＝100（万元）。

3．设这种产品产量为x7单位，则约束方程增加一列向量

在最终单纯性表为

故投产这种产品合算。

四、某科学试验可用1#、2#，3#三套不同仪器中的任一套去完成。

每做完一次试验后．如果下次仍用原来的仪器，则需要对该仪器进行检查整修而中断试验：

如果下次换用另外一套仪器，则需拆装仪器。

也要中断试验。

假定一次试验时间比任何一套仪器的整修时间都长，因此一套仪器换下来隔一次再重新使用时，不会由于整修而影响试验。

设i#仪器换成j#仪器所需中断试验的时间为tij，如表3所示。

现要做4次试验，问应如何安排使用仪器的顺序，使总的中断试验的时间最小?

（本题共20分）

答：

设A、B、C分别代表三套仪器1#、2#，3#，Ai表示在第i次实验中用仪器A，依此类推Bi、Ci，并设虚拟开始S和结束点D。

则得如下网络图：

求总的中断试验的时间最小，即找最短路问题，利用Dijkstra算法计算如下：

（1）j＝0，S0＝{S}，P（S）＝0

∵A1，B1，C1到S点距离相同，∴可同时标号。

则S1＝（S、A1、B1、C1），

。

（2）j＝1

则S2＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2）

（3）j＝2

则S3＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3）

（4）j＝3

则S4＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3、A4、B4、C4），最后标号D，则标号结束。

（5）比较T（A4）、T（B4）、T（C4），可得出，T（B4）最小，逆序追踪得使总的中断试验的时间最小的使用顺序是：

，即3#－2#－3#－2#。

五、某农场考虑是否提早种植某种作物的决策问题，如果提早种，又不遇霜冻．则收入为45元：

如遇霜冻，则收入仅为10万元．遇霜冻的概率为0.4。

如不提早种，又不遇霜冻．则收入为35万元：

即使遇霜冻．受灾也轻，收入为25万元，遇霜冻的概率为0.2，已知：

（1）该农场的决策者认为：

“以50%的机会每45万元．50%的机会得10万元”和“稳获35万元”二者对其来说没有差别：

（2）该农场的决策者认为：

“以50%的机会得45万元，50%的机会得35万元”和“稳获40万元”二者对其来说没有差别：

（3）该农场的决策者认为：

“以50%的机会得35万元，50%的机会得10万元”和“稳获25万元”二者对其来说没有差别。

问题如下：

1．说明该决策者对风险的态度，按期望效用最大的原则，该决策者应做何种决策?

2．按期望收益最大的原则，该决策者又应做何种决策?

答：

1．将最高收益45万元的效用定为10，记为

。

把最低收益值10万元的效用定为0，记为

。

则决策者对风险的态度可以表示为：

；

；

。

令提早种的期望效用为

，不提早种的期望效用为

。

则：

；

；

，所以，决策者的决策应为不提早种。

2．令提早种的期望收益为

，不提早种的期望收益为

。

，所以，决策者的决策应为不提早种。

六、某产品从仓库Ai（i＝1，2，3）运往市场Bj＝（j＝1，2，3，4）销售，已知各仓库的可供应量、各市场的需求量及从A1仓库到B1市场路径上的容量如表4所示（表中数字0表示两点之间无直接通路），请制定一个调运方案使从各仓库调运产品总量最多。

答：

该问题是求最大流问题，由题得网络图，其中S、D是虚拟开始和结束点，各路径最大容量如图所示，初始流量为0：

（1）标号过程

①首先给S标号（0，＋∞），检查S，在弧（S，A1）上，

，则给A1标号（S，20），同理，标号A2（S，20），A3（S，100）

②任选一点A1进行检查，在弧（A1，B1）上，

，则给B1标号（A1，20）

③检查B1，在弧（B1，D）上，

，则给D标号（B1，20），这样找到了一条增广链，S－A1－B1－D

（2）调整过程

由

（1）知，

，得新的可行流量图：

依据上述方法，重复标号及调整过程，直到不存在增广链为止，最终得最大流量图：

调运方案如下表所示：

B1

B2

B3

B4

实际供出量

A1

10

10

20

A2

10

5

15

A3

20

10

10

5

45

实际得到量

20

20

20

20

80

七、某公司生产两种小型摩托车，其中甲型完全由本公司制造，而乙型是进口零件由公司装配而成，这两种产品每辆所需的制造、装配及检验时间如下表5所示。

如果公司经营目标的期望值和优先等级如下：

P1：

每周的总利润至少为3000元：

P2：

每周甲型车至少生产5辆；

p3：

尽量减少各道工序的空余时间，三工序的权系数和它们的每小时成本成比例。

且不允许加班。

请建立这个问题的运筹学模型（不用求解）。

答：

设每周甲乙两种车生产数量分别为x1，x2，由表可知，两者每辆的生产成本是a和b。

则

。

按决策者所要求的，这个问题的数学模型为：

八、案例分析：

需要多少个服务人员?

某商科技公司的MIS中心处理本公司信息系统的维护服务。

公司其他部门职员打电话到信息中心进行咨询和服务请求，不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候，该职员就必须等待。

该中心每小时平均接受到40个服务请求，服务请求的到达服从泊松分布。

每个请求的平均服务时间是3分钟，且服从负指数分布。

信息中心服务人员每小时的平均工资是15元。

公司职员每小时为公司创造的收益是25元。

（如果该职员在等待或正在接受MIS维护服务，则这段时间内该职员不为公司创造任何收益）。

我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受MIS维护服务的平均职员数（不包括正在接收MIS维护服务地职员）以及平均等待时间（不包括接受MIS维护服务的时间）之间的关系，如下表6：

请分析下面两个问题：

1．如果公司经理希望职员等待MIS维护服务（排队等待和服务等待的平均时间）不要超过5分钟，则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员?

2．如果公司经理考虑聘用服务人员的成本以及因为等待或正在接受MIS维护服务造成的企业损失成本，使两者成本之和尽量小，则此时该信息中心需要雇佣多少个服务人员（本题共25分，其中第一小题10分，第二小题15分）

答：

1．要求等待MIS维护服务时间小于等于5分钟，已知平均服务时间是3分钟，故服务时间是2分钟，约是0.0333小时。

查表6可知，该信息中心最少需要聘用服务人员3人。

2．此问题属于M/M/C模型：

，

查表可知不同的c对应的Lq，Wq，从而得Ls，Ws，如下表：

c

2

3

4

5

6

Ls

35.77

1.389

0.674

0.540

0.509

Ws

0.9389

0.072

0.054

0.051

0.0502

则总成本

在不同的c对应的数值如下表所示：

c

2

3

4

5

6

Ls

35.77

1.389

0.674

0.540

0.509

Ws

0.9389

0.072

0.054

0.051

0.0502

Z

869.4325

47.5002

60.9099

75.6885

90.6388

经比较可知该信息中心需要雇佣3个服务人员时，其成本最少。

2010年南开大学商学院887运筹学考研真题