完整版二次函数图像与性质总结含答案doc.docx

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二次函数的图像与性质

一、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：

yax2的性质：

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a

0

0，0

x

0时，y随x的增大而增大；x

0时，y随

向上

y轴

x0时，y有最小值0．

x的增大而减小；

a

0

0，0

x

0时，y随x的增大而减小；x

0时，y随

向下

y轴

x0时，y有最大值0．

x的增大而增大；

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.yax2c的性质：

上加下减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a

0

0，c

x

0时，y随x的增大而增大；x

0时，y随

向上

y轴

x0时，y有最小值c．

x的增大而减小；

a

0

0，c

x

0时，y随x的增大而减小；x

0时，y随

向下

y轴

x0时，y有最大值c．

x的增大而增大；

3.y

ax

2

h的性质：

左加右减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a

0

向上

h，0

X=h

x

h时，y随x的增大而增大；

xh时，y

随x的增大而减小；

x

h时，y有最小值0．

a

0

向下

h，0

X=h

x

h时，y随x的增大而减小；

xh时，y

随x的增大而增大；

x

h时，y有最大值0．

4.y

ax

2

hk的性质：

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a

0

h，k

x

h时，y随x的增大而增大；

xh时，y

向上

X=h

x

h时，y有最小值k．

随x的增大而减小；

a

0

h，k

x

h时，y随x的增大而减小；

xh时，y

向下

X=h

x

h时，y有最大值k．

随x的增大而增大；

二、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh

2

h，k；

k，确定其顶点坐标

⑵保持抛物线y

ax2的形状不变，将其顶点平移到

h，k处，具体平移方法如下：

向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位

y=ax2

y=ax2+k

向右（h>0）【或左（h<0）】

向右（h>0）【或左（h<0）】

向右（h>0）

【或左（h<0）

】

平移|k|个单位

平移|k|个单位

平移|k|个单位

向上（k>0）【或下（k<0）】

平移|k|个单位

y=a（x-h）2

向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位

y=a（x-h）2+k

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴y

ax2

bx

c

沿

y轴平移

:

向上（下）平移

m个单位，

y

ax2

bx

c变成

yax2

bx

c

m（或

y

ax2

bx

cm）

⑵y

ax2

bx

c

沿轴平移：

向左（右）平移

m个单位，

y

ax2

bx

c变成

ya（x

m）2

b（x

m）

c（或

y

a（x

m）2

b（x

m）c）

三、二次函数y

ax

h

2

k与y

2

bx

c的比较

ax

从解析式上看，

y

a

x

2

k与y

ax2

bxc是两种不同的表达形式，后者通过配

h

b

2

4ac

b2

b，k

4ac

b2

方可以得到前者，即

y

a

x

，其中h

．

2a

4a

2a

4a

四、二次函数y

ax2

bx

c图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数

y

ax2

bx

c化为顶点式y

a（x

h）2

k，确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图

.一般我们

选取的五点为：

顶点、与

y轴的交点0，c、以及

0，c

关于对称轴对称的点

2h，c、

与x轴的交点

x1，0

，x2，0

（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与

x轴的交点，与

y轴的交点.

五、二次函数yax2

bxc的性质

1.

当a

0时，抛物线开口向上，对称轴为

x

b

，顶点坐标为

b

，4ac

b2

．

2a

2a

4a

当x

b时，y随x的增大而减小；当x

b

时，y随x的增大而增大；当x

b

2a

2a

2a

2

时，y有最小值4acb．

4a

2.

当a

0时，抛物线开口向下，对称轴为

x

b

，顶点坐标为

b

，4ac

b2

．当

2a

2a

4a

x

b时，y随x的增大而增大；当x

b时，y随x的增大而减小；当x

b

时，y

2a

2a

2a

2

有最大值4acb．

4a

六、二次函数解析式的表示方法

1.

一般式：

y

ax2

bxc（a，b，c为常数，a

0）；

2.

顶点式：

y

a（x

h）2

k（a，h，k为常数，a

0）；

3.

两根式：

y

a（x

x1）（x

x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

2

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交

点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化

.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数

2

作为二次项系数，显然a0

．

yaxbxc中，a

⑴当a

0时，抛物线开口向上，

a的值越大，开口越小，反之

a的值越小，开口越大；

⑵当a

0时，抛物线开口向下，

a的值越小，开口越小，反之

a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，

a的正负决定开口方向，

a的大小决

定开口的大小．

2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴在a

0的前提下，

当b

0

时，

b

0

，即抛物线的对称轴在

y轴左侧；

2a

当b

0

时，

b

0

，即抛物线的对称轴就是

y轴；

2a

当b

0时，

b

0

，即抛物线对称轴在

y轴的右侧．

2a

⑵在a

0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b

0

时，

b

0

，即抛物线的对称轴在

y轴右侧；

2a

当b

0

时，

b

0，即抛物线的对称轴就是

y轴；

2a

当b

0

时，

b

0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

2a

总结起来，在a确定的前提下，

b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：

对称轴

x

b

0，

在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab

2a

概括的说就是“左同右异”

总结：

3.常数项c

⑴当c

0时，抛物线与

y轴的交点在x轴上方，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c

0时，抛物线与

y轴的交点为坐标原点，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c

0时，抛物线与

y轴的交点在x轴下方，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的

解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

y

ax

2

bx

c关于x轴对称后，得到的解析式是y

ax2

bx

c；

y

a

x

h

2

yax

h

2

k关于x轴对称后，得到的解析式是

k；

2.关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3.关于原点对称

y

ax2

bx

c关于原点对称后，得到的解析式是

y

ax2

bx

c；

y

ax

h

2

y

a

x

h

2

k；

k关于原点对称后，得到的解析式是

4.

关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转

180°）

y

ax2

bx

c关于顶点对称后，得到的解析式是

y

ax2

bx

c

b2

；

2a

y

ax

h

2

y

a

x

h

2

k．

k关于顶点对称后，得到的解析式是

5.

关于点

m，n对称

y

ax

h

2

y

ax

h

2

2nk

k关于点m，n对称后，得到的解析式是

2m

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，

因此a

永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，

可以依据题意或方便运算的原则，

选择合适

的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）

的顶点坐标及开口方向，再确

定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图像参考：

y=2x2

y=3（x+4）2

y=3x2

y=3（x-2）2

y=x2

y=2x2

y=2（x-4）

2

x2

十

y=

2

y=2（x-4）

2-3

一、

y=2x2+2

y=2x2

y=2x2-4

x2

y=-

2

y=-x2

y=-2（x+3）2

y=-2x2

y=-2（x-3）2

y=-2x2

【例精】

一、一元二次函数的象的画法

【例1】求作函数y

1

x2

4x

6

的象

1x2

2

1（x2

【解】y

4x

6

8x

12）

2

2

1[（x2

4）2-4]

1（x2

4）2-2

2

2

以x

4中，取

x的一些，列表如下：

x⋯

-7-6

-5

-4

-3-2-1⋯

y

5

0

3

-2

3

5

⋯

2

2

0

⋯

2

2

【例2】求作函数y

x2

4x

3的象。

【解】y

x2

4x

3

（x2

4x

3）

[（x

2）2

7]

[（x

2）2

7

先画出角在称x2的右部分，列表

x

-2

-1

0

1

2

y

7

6

5

4

3

【点】画二次函数象步：

（1）配方；

（2）列表；

（3）描点成；也可利用象的称性，先画出函数的左（右）部分象，再利用称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性

【例3】求函数y

x2

6x

9的最小及象的称和点坐，并求它的区。

【解】y

x2

6x

2

x2

6x

9

7（x

3）2

7

由配方果可知：

点坐

（

3，7），称x

3；

1

0

∴当x

3，ymin

7

函数在区（

，3]上是减函数，在区

[

3，

）上是增函数。

【例4】求函数

y

5

x

2

3

1

象的点坐、称、最。

x

b

3

3

4acb2

4（5）132

29

，

2a2（5）104a4（5）20

∴函数图象的顶点坐标为（

3

29），对称轴为x

29

10

20

20

50

∴当x

3

时，函数取得最大值

ymaz

29

10

20

函数在区间（

3]上是增函数，在区间[3,

）上是减函数。

10

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：

（1）

配方法；如例3

（2）

公式法：

适用于不容易配方题目

（二次项系数为负数或分数

）如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：

ya（x

b）2

4ac

b2

（a0）

2a

4a

【二次函数题型总结】

1.关于二次函数的概念

2

例1如果函数y（m3）xm3m2mx1是二次函数，那么m的值为。

例2

抛物线y

x2

2x4的开口方向是

；对称轴是

；顶点

为

。

2.关于二次函数的性质及图象

Y

例3

函数yax2

bx

c（a

0）的图象如图所示，

-1

X

则a、b、c，

，a

b

c，abc的符号

O

为

，

X=1

例4已知a－b＋c=0

9a＋3b＋c=0,则二次函数

y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在

（

）

（A）第一或第二象限

（B）第三或第四象限

（C）第一或第四象限

（D）第二或

第三象限

3.确定二次函数的解析式

例5已知：

函数y

ax2

bxc的图象如图：

那么函数解析式为（

y

）

3

（A）y

x2

2x

3

（B）yx2

2x3

-1

3x

（C）y

x2

2x

3

（D）yx2

2x3

o

4.一次函数图像与二次函数图像综合考查

例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,它们在同一坐标系中的大致图象是

（）.

例7如图：

△ABC是边长为

4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y

轴交于点D，点A的坐标为（-1，0（）1）求B、C、D三点的坐标；

（2）抛物线yax2

bxc

经过B、C、D三点，求它的解析式；

6

4

C

2

D

AO

B

5

10

【练习题】

-6

一、选择题

1.二次函数yx24x7的顶点坐标是（）

A.（2,

－11）

B.

（－2，7）

C.

（2，11）

D.

（2，－3）

2.把抛物线y

2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（

）

A.y

2（x1）2

B.

y

2（x

1）2C.

y2x2

1D.

y

2x2

1

3.函数y

kx2

k和y

k（k

0）

在同一直角坐标系中图象可能是图中的

（

）

x

4.

已知二次函数

y

ax2

bx

c（a

0）

的图象如图所示

则下列结论:

①a,b

同号;②

当x1和x

3时,函数值相等;③4a

b

0④当y

2时,

x的值只能取

0.其中正

确的个数是（

）

A.1个

B.2

个

C.3

个

D.4

个

5.

已知二次函数

y

ax2

bx

c（a

0）的顶点坐标（-1，-3.2

）及部分图象（如图）,

由图象可知关于

x的一元二次方程

ax2

bx

c

0的两个根分别是x1

1.3和x2

（

）

Ａ．－１.

３

B.-2.3

C.-0.3

D.-3.3

6.

已知二次函数

y

ax2

bx

c的图象如图所示，则点

（ac,bc）在（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7.

方程2xx2

2

的正根的个数为（

）

x

A.0个

B.1

个

C.2

个.

3

个

8.

已知抛物线过点

A（2,0）,B（-1,0）,

与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.yx2

x2

B.

y

x2

x2

C.yx2

x2或y

x2

x2

D.

y

x2

x2或yx2

x2

二、填空题

9．二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y随x

的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：

①图象过点（－

1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的

增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是

（只写一个即可）。

12．抛物线