全国1卷文科数学.docx
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全国1卷文科数学
2019年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I)
文科数学
、选择题:
本题共12小题,
每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的。
A.2
B.
.3
C.
2
D.
1
2.已知集合
U1,2,3,4,5,6,7,A
2,3,4,5
B2,3,6,7
,则BI
eUA
A.1,6
B.
1,7
C.
6,7
D.
1,6,7
3.已知a
0.2
log20.2,b2,c
0.3
0.2,
则(
)
A.ab
cB.
acb
C.
cab
D.
bc
a
古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
4.
()
5」(弋.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此•此
22
外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是-Lj•若某人满足
2
上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高
可能是()
5•函数f(X)
sinxx
cosxx2
在[—n,n的图像大致为(
)
B•
6.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新
生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验•若46号学生被抽到,则下面4
名学生中被抽到的是(
7.tan255°=(
2n
C.——
3
C.
12A
1
1一
2A
C.4
2
xD•
5
|AF2|2|F2B|,|AB||BF1I,则C的方程为()
2
x2
2
13.曲线y3(x
x)ex在点(0,0)处的切线方程为
A•y21
2
3
14•记Sn为等比数列{an}的前n项和若印1,S3—,则S4=
4
3n
15.函数f(x)sin(2x——)3cosx的最小值为.
2
16.已知/ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到/ACB两边AC,BC的距离
均为,那么P到平面ABC的距离为
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(本小题满分12分)
某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的
服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
K2嘶bc)2
(ab)(cd)(ac)(bd)
P(K2冰)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18.(本小题满分12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=—a5.
(1若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若ai>0,求使得Sn^an的n的取值范围.
19.(本小题满分12分)
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,/BAD=60°,E,M,
N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:
MN//平面C1DE;
(2)求点C到平面GDE的距离.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinxxcosxx,f(x)为f(x)的导数.
(1)证明:
f(x)在区间(0,n)存在唯一零点;
(2)若x€[0,n时,f(x)ax,求a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知点A,B关于坐标原点0对称,|AB|=4,OM过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求OM的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MAI-IMP为定值?
并说明理由.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第
-题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
2,
1t2
(t为参数)
4t
1t2
,以坐标原点O
极坐标方程为
1t2
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线I的
2cos.3sin110.
(1)求C和I的直角坐标方程;
(2)求C上的点到丨距离的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明
(1)
1
112,22abc
a
bc
(2)
(a
33
b)(bc)(c
a)324.
(2)由
(1)得a
4d,故an(n5)d,Sn
n(n9)d
2
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学•参考答案
一、选择题
1.C
2.
C
3.B
4.B
5.D
6.C
7.D
8.
B
9.A
10.D
11.A
12.B
二、填空题
13.y=3x
14.
5
8
15.-4
16.,2
三、解答题
17•解:
女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率
50
的估计值为0.6.
由于4.7623.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异
18.解:
(1)设an的公差为d.
由S9a5得印4d0.
由a3=4得a-i2d4.
于是a18,d2.
因此an的通项公式为an102n.
2
由a10知d0,故Sn…a.等价于n11n10,0,解得1令w10
所以n的取值范围是{n|1剟n10,nN}.
19.解:
(1)连结BiC,ME•因为M,E分别为BBi,BC的中点,所以ME//BQ,且
11
MEBQ.又因为N为AQ的中点,所以NDA,D.
22
由题设知AB1=DC,可得BC=AD,故ME=ND,因此四边形MNDE为平行四
边形,MN//ED.又MN平面GDE,所以MN//平面GDE.
(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.
由已知可得DEBC,DEGC,所以DE丄平面GCE,故DE丄CH.
从而CH丄平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,
从而点C到平面CQE的距离为
4、17
17
4.17
17
由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E.17,故CH
(1)设g(x)
.n
当x(0,—)时,g(x)0;当x
2
20.解:
f(x),贝Ug(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.
nn
n,n时,g(x)0,所以g(x)在(0,-)单调递
22
增,在—n单调递减.
2,
n-
又g(0)0,g—o,g(n2,故g(x)在(0,n存在唯一零点.
2
所以f(X)在(0,n存在唯一零点.
(2)由题设知f(n…anf(n0,可得aw0.
由
(1)知,f(x)在(0,n只有一个零点,设为X0,且当X0,X)时,f(x)0;
当xX0,n时,f(X)0,所以f(x)在0,X0单调递增,在X0,冗单调递减.
又f(0)0,f(n0,所以,当x[0,n时,f(x)・・・0.
又当a,0,x[0,冗]时,axWQ故f(x)…ax.
因此,a的取值范围是(,0].
21.解:
(1)因为eM过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0
上,且代B关于坐标原点O对称,所以M在直线yx上,故可设M(a,a).
因为eM与直线x+2=0相切,所以eM的半径为r|a21.
uumumr22
由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a4(a2),解得a=0或a=4.
故eM的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA||MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得eM的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
uuuruur2222
由于MOAO,故可得xy4(x2),化简得M的轨迹方程为y4x.
因为曲线C:
y24x是以点P(1,0)为焦点,以直线X1为准线的抛物线,所以
|MP|=x+1.
因为|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
12cos
C上的点到I的距离为
23sin
7
11|
4cos
n
-11
3
J
l的直角坐标方程为2x.3y11
当
时,4cos
11取得最小值7,故C上的点到1距离的最小值为j
3
3
23.解:
(1)
因为
a2b22ab,b2
22
c2bc,c
2
a2ac,又abc1,故有
2
‘2
2
,ab
bcca1
11
a
b
c
abbcca
abca
bc
所以
1
1
12,22-abc.
a
b
c
(2)因为a,b,c为正数且abc1,故有
=3(a+b)(b+c)(a+c)
3(2、au)(2、5c)(2、.ac)
=24.
所以(ab)3(bc)3(ca)324.
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