九年级中考数学第三轮冲刺四边形综合压轴题专题复习.docx

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九年级中考数学第三轮冲刺四边形综合压轴题专题复习

2021年中考数学第三轮冲刺：

四边形综合压轴题专题复习

1、如图所示，°BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G,连接AF、CF,满足空'CBE.

（1）求证：

ZEBF=90。

.

（2）若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tanZ4FC的值.

2、如图1,四边形ABCD的对角线AC,3D相交于点O,OA=OC,OB=OD+CD.

（1）过点A作AE//DC交BD于点E,求证：

AE=BE;

（2）如图2,将A4BD沿AB翻折得到A4BD.

1求证：

BD7/CD；

2

若ADMBC,求证：

CD2=2OD.BD・

3、如图，在正方形ABCD中，AB=4,点G在边BC上，连接AG,作DE丄AG于点E,丄AG于点F,连接处、DF,设ZEDF二a,乙EBF=/3,^-=k.

dC

（1）求证：

AE=BF；

（2）求证：

tana="an0：

（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E,F所经过的路径与边AB围成的图形的面积.

4、点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线貯作垂线，垂足分别为点E、F.点、0为AC的中点.

（1）如图1,当点P与点0重合时，线段和OF的关系是;

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3,点P在线段0A的延长线上运动，当乙OEF=30。

时，试探究线段CF、

AE.OE之间的关系.

5、如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK,过点A,C作BK的垂线，垂足分别为M，N,点0是正方形ABCD的中心，连接0M,0N・

（1）求证：

AM=BN；

（2）请判断AOMN的形状，并说明理由：

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x,AOMN的面积为y,求y关于x的函数关系式（写出x的范圉）：

若点K在射线AD上运动，且AOMN的而积为吉，请直接写出AK长.

6、菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点0,0°

（1）如图1,当点F在线段DC上时，求证：

DF=FC；

（2）若延长AD与边GF交于点H,将&DH沿直线AD翻折180°得到.

1如图2,当点M在EG上时，求证：

四边形EOGF为正方形：

2如图3,当tanZAi?

O为定值川时，设DG=k・DO,k为大于0的常数，当且

仅当"2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值.

7、如图，在半面直角坐标系中，矩形ABCD的边佔长是,r-3x-18=0的根，连接BD,ZDBC=30。

并过点C作CN丄加，垂足为N,动点P从〃点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止：

点M沿线段QA以每秒荷个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为/秒（『>0）・

（1）线段CN二;

（2）连接加和MN,求APMN的面积s与运动时间f的函数关系式：

（3）在整个运动过程中，当MWN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

8、已知：

如图，在四边形ABCD和尸中，AB//CD,CD>AB,点、C在EB上，ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s:

同时，点0从点

M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1如/$,过点P作GH丄AB于点H,交CD于点G.设运动时间为r（5）（0

解答下列问题：

（1）当/为何值时，点M在线段C0的垂直平分线上？

（2）连接PQf作0N丄A尸于点N,当四边形PQNH为矩形时，求/的值；

（3）连接QC,设四边形0CGH的面积为S（c亦），求S与/的函数关系

式：

（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻『，使点八在厶FE的平分线上？

若存在，求出F的值：

若不存在，请说明理由.

9、如图1,已知点0在四边形ABCD的边A3上，且OA=OB=OC=OD=2,OC平分厶BOD,与BD交于点、G,AC分别与加、OD交于点E、F・

（1）求证：

OCMAD；

（2）如图2,若DE=DF,求害的值；

Ar

（3）当四边形ABCD的周长取最大值时,

10、将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至ABf,记旋转角为a,连接防,过点D作DE垂直于直线垂足为点E,连接DE,CE.

RR"

（1）如图1,当"60。

时，的形状为，连接BQ•可求出k的值为:

CE

（2）当0°

时，

①

（1）中的两个结论是否仍然成立？

如果成立，请仅就图2的情形进行证明;

如果不成立，请说明理由:

BE

②当以点8,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出赞:

的值.DL

11、如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,DE,肪分别平分"DC,ZABC,并交线段AB,CD于点E,F（点E,B不重合）.在线段BF上取点M,N（点M在之间），使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到点E时，点0恰好从点M匀速运动到点N・记=PD=y,已知y=-|x+12,当0为BF中点时，

24

V=T*

（1）判断DE与的位置关系，并说明理由.

（2）求DE,BF的长.

（3）若AM6.

1当时，通过计算比较BE与B0的大小关系.

2连结P0,当P0所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值.

12、问题背景：

如图1,在四边形ABCD中，ABAD=90°,ABCD=90°,BA=BC,Z4BC=120。

，ZMBN=60。

ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交AD.DC于E、F.探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：

延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG丝MAE,再证明△BFC竺ABFE,可得出结论，他的结论就是:

探究延伸1：

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2ZMBN,ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？

请直接写出结论（直接写岀“成立”或者“不成立”），不要说明理由.

探究延伸2：

如图3,在四边形ABCD+,84=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2乙MBN,ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交AD.DC于E、F.上述结论是否仍然成立？

并说明理由.

实际应用：

如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30。

的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。

的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。

，试求此时两舰艇之间的距离.

13、【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE平分ZBAC,交BC于点£・作M丄AE于点分别交初，AC于点F,G.

（1）判断AAFG的形状并说明理由.

（2）求证：

BF=2OG.

【迁移应用】

（3）记3GO的而积为昭Q防的面积为①，当”£时，求鈴的值.

【拓展延伸】

（4）若M交射线于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当逊尸的面枳为矩形ABCD面积的占时，请直接写出tanZ^E的值.

14、综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动・■折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片S敝，使血?

与肚重合，得到折痕阳把纸片展平：

再一次折叠纸片，使点力落在疔上的点用处，并使折痕经过点万，得到折痕&仏把纸片展平，连接如图①.

（1）折痕3_（填“是”或“不是”）线段4丫的垂直半分线；请判断图

中是什么特殊三角形？

答：

:

进一步计算出Z^\F=_°:

（2）继续折叠纸片，使点S落在肚边上的点〃处，并使折痕经过点万，得到

折痕％,把纸片展平，如图②，则ZGBN=°:

拓展延伸：

（3）如图③，折叠矩形纸片肋CB使点S落在％边上的点才处，并且折痕交庞边于点T,交"边于点S,把纸片展平，连接AA交S7于点0,连接AT.求证：

四边形&羽'是菱形.

解决问题：

（4）如图④，矩形纸片個⑦中，肋=10,肋=26,折叠纸片，使点力落在必边上的点才处，并且折痕交S3边于点7,交AD边于点S,把纸片展半.同学们小组讨论后，得出线段ST的长度有4,5,7,9.

请写出以上4个数值中你认为正确的数值・

團①

F

C

图③

图②

D

参考答案

2021年中考数学第三轮冲剌：

四边形综合压轴题专题复习

1、如图所示，△处F的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF

交于点G,连接AF、CF,满足'ABF◎'CBE.

（1）求证：

ZEBF=90。

.

（2）若正方形ABCD的边长为1,CE=2f求tanZAFC的值.

【详解】

（1）证明：

•••AABFACBE,

・•・ZABF=乙CEE,

・.・ZABF+Z.CBF=90°,

:

.Z.CBF+Z.CBE=90°,

:

.ZEEF=90°.

（2）•/AABFS2ACBE,

・•・ZAFB=ZCEB,

•・•ZFGA=乙EGB,

・・・ZMC=ZEEF=90°,

・・•正方形边长为1,CE=2.

AC=yfl，AF=CE=2.

AtailZAFC=^.

2、如图1,四边形ABCD的对角线AC,加相交于点O,OA=OC,OB=OD+CD.

（1）过点A作AE//DC交BD于点E,求证：

AE=BE；

（2）如图2,将A4B£＞沿AB翻折得到

1求证：

BD7/CD；

2

若AD//BC,求证：

CD1=2OD.BD・

【解答】

（1）证明:

VAE//DC,

/.ZCDO=ZAEO,乙EAO=ZDCO,

乂・OA=OC,

:

SAOE=ACOD（AAS）,

CD=AE9OD=OE,

•・・OB=OE+BE,OB=OD+CD,

BE=CD,

AE=BE；

（2）①证明：

如图1,过点A作AE//DC交BD于点E,

圏1

由

（1）可知AAOE三△COD,AE=BE,

ZABE=ZAEB,

•••将SABD沿AB翻折得到SABU,

/.ZABZ7=Z4BD,

ZAREf=ZBAE,

:

.BDT/AE,

又・・AE//CD

/.BD'//CD.

②证明：

如图2,过点A作AE//DC交BD于点E,延长AE交BC于点F,D<

•・•AD'/fBC,BD'HAE,.•.四边形的BF为平行四边形.

:

.ZDf^ZAFB,•••将^ABD沿AB翻折得到SABD.

：

3=ZADB,

:

.乙\FB=ZADB,

乂•・•ZAED=ZBEF,

..MED^ABEF,

AEBE

DEEF•••AE=CD,

CDBE

'15e=~ef'

•・・EF11CD,

'BEFs^BDC,

.BEBD

'~EF=~DC'

CDBD

'15e=~cd'

:

.CD1=DE・BD,

SAOE=、COD,

.•.OD=OE,

:

.DE=2OD,

CD2=2OD.BD・

3、如图，在正方形ABCD中，AB=4,点G在边BC上，连接AG,作DEJLAG于

点E,BF丄AG于点F,连接BE、DF,设上=乙EBF*,—=k.

oC

（1）求证：

AE=BF；

（2）求证：

tana=/:

*taii/7.

（3）若点G从点8沿BC边运动至点C停止，求点E,F所经过的路径与边AB围成的图形的面积.

【解答】解：

（1）证明：

在正方形ABCD中，AB=BC=ADtZBAD=ZABC=90。

vDE丄AG,BF丄AG,

/.ZAED=ZBFA=90°,

:

.^ADE+ZDAE=90°,

ZBAF+ZDAE=90°,

:

.A\DE=ZBAF,

・・AABF=ADAE（AAS）,

•・.AE=BF;

tana_EFBF_BF

•:

tan0=DE、F=1^•由①可知ZADE=ABAC,ZAED=ZGBA=90°,

.・•SAED^SGBA,

AEDE

:

.一=——,

GBAB

由①可知，ae=bf9

・BF_DE

・

BFGB

tana=ktan0•

（3）vDE丄4G,BF丄AG,

・・・ZAED=乙BFA=90°,

当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以仙为直径，圆心角为90。

的圆弧，

同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O,如图.

•.初=AD=4,

.••所用成的图形的面积为5=S^=1x4x4=4・

4、点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、

C重合），分别过点A、C向直线3P作垂线，垂足分别为点E、F・点、0为AC的中点.

（1）如图1,当点P与点0重合时，线段和OF的关系是_OE=OF_；

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3,点P在线段04的延长线上运动，当ZOEF=30。

时，试探究线段CF、AE.0E之间的关系.

【解答】解:

（1）•・•四边形ABCD是平行四边形,

/.AO=CO,

乂•・•^AEO=Z.CFO,ZAOE=ZCOF=90°,

AAEO=SCFO（AAS）,

OE=OFf

故答案为：

OE=OF；

（2）补全图形如图所示，

DC

结论仍然成立，

理由如下：

延长E0交CF于点G,

-AE丄BP,CF丄BP,

:

.AEHCF,

\ZEAO=ZGCO,

•••点。

为AC的中点，

:

.AO=COt

又・.•ZAOE=ZCOG,

/.SAOE=SCOG（AAS）,

/.OE=OGf

ZGFE=90°,

/.OE=OF•

（4）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE.O£之间的关系为

OE=CF+AE,

证明如卜：

如图，延长£0交FC的延长线于点

AE=CH,OE=OH,

又•/Z.OEF=30°,Z.HFE=90°,

:

.HF=-EH=OE9

2

:

.OE=CF+CH=CF+AE.

5、如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK,过点A,C作BK的垂线，垂足分别为M，N,点0是正方形ABCD的中心，连接0M,0N・

（1）求证：

AM=BN；

（2）请判断AOMN的形状，并说明理由：

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x,AOMN的面积为y,求y关于x的函数关系式（写出x的范圉）：

若点K在射线AD上运动，且AOMN的而积为吉，请直接写出AK长.

【详解】解：

（1）证明：

・.・AM丄BM、CNA.BN

:

.ZAMB=乙BNC=90°

乂•・・ZABC=90*

・•・ZMAB+ZMBA=90：

乙CBN+ZMBA=90°

・・・ZMAB=ACBN

乂AB=BC

:

.ZMB^'BNC（AAS）

:

.AM=BN

（2）4OMN是等腰直角三角形

理由如下：

连接OB,

TO为正方形的中心

A0A=0B,Z0BA=Z0AB=45°=Z0BC,A0丄BO,

VZMAB=ZCBM,

・•・ZMAB-ZOAB=SEC一Z.OBC,即ZMAO=乙OEN

・.・OA=OB、AM=BN

:

.NAMOm'BNO（SAS）

・•・OM=ON,ZAOM=ZBON

IZAOB=ZAON+ZBON=90°

VZA0N+ZB0N=90°,

AZA0N+ZA0M=90°,

・•・AMON=90s

7OMN等腰直角三角形.

（3）在Rt^ABK中，BK=JaK，+AB，=jF+l

由人M丄BM,四边形ABCD是正方形，

可得:

〜aKBA*〜A13/C4

.ABMAAK_MK

••転—凉’尿—赢

“…ABAKx

:

.BKAM=AB-AK,得：

BN=AM=—=-==

BK1

当点K在线段AD上时，则存芳护,解得：

*1=3（不合题意舍去），兀=£,

当点K在线段AD的延长线时，同理可求得y=「fi）4x*+4

.1x-_2x+l

■■—=59

104.V+4

解得:

Xx=3,（不合题意舍去），

・3

综上所述：

AK长为扌或3时，△0A'的面积为/・

6、菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点0,0°

（1）如图1,当点F在线段DC上时，求证：

DF=FC；

（2）若延长AD与边GF交于点H,将&DH沿直线4D翻折180°得到・

1如图2,当点M在EG上时，求证：

四边形EOGF为正方形：

2如图3,当tanZABO为定值加时，设DG=k・DO,k为大于0的常数，当且仅当R>2时，点M在矩形EOGF的外部，求in的值.

【详解】

（1）证明：

如图，•••四边形EOGF为矩形，

H

:

.GF//OC,GF=OE,EF//OD,EF=OG,

•:

GE门DC,

•••四边形ECFG,DGEF是平行四边形，

・•・DF=EG,FC=GE,

:

.DF=FC；

（2）如图,

证明：

由折栓得厶GDH企MDH,

:

.DG=DM,Z5=Z6,

/.DH丄EG,Z1=Z2,

•・•四边形ABCD为菱形，

・••Z3=Z4,

•:

GEHCD,

:

.Z3=Z1,

・.・Z4=Z5,

・•・Z1=Z5,

•.・Zl+Z5=90°,

Z1=Z5=Z2=45°,Z5+Z6=90°,

•:

DM//OE，点M在GE上，

/.Z.GEO=45°,

OG=OE,

•••四边形EOGF为矩形，

•••矩形EOGF为正方形；

（3）如图，

•・•四边形ABCD为菱形，

Z1=Z2=Z6,

VGE//CD,

Z4=Z6,

QDH企MDH,

/.Z3=Z5,

Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=Z6,

•rtailZABO=m（m为定值），

/.ZGDM=2ZABO,

•••点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动，

•・•当且仅当k>2时，M点在矩形EOGF的外部，

：

*=2时，M点在矩形EOGF上,即点M在EF上，

设OB=b,

:

OA=OC=mb,DG=DM=kb=2b,OG=（k-^l）b=3bt

OE=〃（£+1）/?

=3〃初，GH=HM=mkh=2mh,

:

.FH-OE-GH—m（k4-l）b-mkb=nib,

过点D作DN丄EF于点、N,

•・・ZHMF=180°-90°一乙DMN=90°-ZDMN,乂AMDN=90°-乙DMN,

AHMF=ZMDN,

ZF=ZDNM=90°,zHFMs^MND,.•・FH:

MN=MH:

DM,：

.（mb）:

MN=（2mb）:

（2b）,.•・MN=b,

•mDMN是直角三角形，:

.DM‘=DN*MN',

（2by=（3〃rb）‘+b2,

・1

/.m=±（负值舍去），

0°<乙ABO<60°,

7、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边仙长是^-3x-18=0的根，连接BD,SBC=30。

并过点C作CN丄BD,垂足为N,动点P从〃点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为II：

：

点M沿线段DA以每秒苗个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为/秒（『＞0）・

（1）线段CN=_3忑」

（2）连接加和MN,求APMN的面积s与运动吋间/的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当APMN是以PN为腰的等嘿三角形时，直接写出点P的坐标.

【解答】解：

（1）•/AB长是x2-3x-18=0的根,

AB=6,

•・•四边形ABCD是矩形，

/.AD=BC,AB=CD=6fZECD=90°,

•.・ZDBC=30°,

BD=2CD=12,BC=*CD=6更，

•/ZDBC=30°,CN丄BD,

:

.CN=^BC=^f

故答案为:

3$・

ZADB=乙DBC=30°,

:

.MH=-MD=^-t,

22

•・•ZDBC=30°,CN1.BD,

「.BN=*CN=9,

当0

22224

o

当2亍时，点P与点N重合，$=0,

当-

22224

•••PM'=MH、+PH',

-••（9-2t）2=（f厅+