概率论与数理统计答案祝东进.docx
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概率论与数理统计答案祝东进
习题
掷两颗骰子'观察两颗骰子出现的点数.
从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.
连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.
对某工厂出厂的产品进行检査,如连续检査出两个次品,则停止检査,或检査四个产品就停止检査j己录检査的结果.
在单位圆内任总取一点j己录它的坐标.
解:
⑴C={(jJ)lj=12…67=12…,6};
⑵0={川=0丄…,9};
⑶0={(正),(反,正),(反反.正),(反反,反,正h…};
irC={(次/次),(次,正,正,正b(次,正,正,次).(次/正,次,次L(次,正,次,正)■
(正,况次).(ilL次,正,正b(正/次,正,次)};
⑹Q={{x,y}\xeR,ye<1).
A/出现的点数之和为偶数8/出现的点数之和为奇数,但没有骰子出现1点件
Ci至少掷出一个2点".
£>/两颗骰子出现的点数相同件
解:
(1)A={(lJ),(h3).(h5)・(Z2h(2・4),(2e),(3J),(3・3),(3・5).
={(4.2)©4)©6).(5心(5,3),(5,5),6,2)@4)@6)};
⑵8={(2・3),(2,5).(392)・(3,4人(3,6)・(4,3),(4.5)・(5.2),(5,4)・(5,6),(6.3)・(6,5)};
(3)s
罔0={(2.1)・(2.2)・(2.3)・(2・4),(2,5)・(26),(1.2)・(3,2)・(4,2),(5,2),(6・2)};
⑸D={(ta(2,2X(3JX(4,4),(5,5),(6,6)}.
3.设A5C是三个事件'试用A.B.C来表示下列事件:
事件“A・B,C中至少有一个事件发生".
事件“A.B.C中至少有两个事件不发生件事件"A.B.C中至多有一个事件不发生y事件“A.B.C中至少有一个事件不发生件事件“AB至少有一个发生,而C不发生件
解:
⑴AUBUC;
⑵(AB)u(AC)u(BC)或(abc)u(abc)u(>ibc)u(abc);
⑶『
泌ABC)U仏BC)U(ABC)U(ABC)或(AB)U(AC)U(BC);
(5)AUBUC;
⑹(AU3)nC或万可U(亦C)・
4.指出下列命题哪些成立,哪些不成立
(1)aUb=(ab)Ub.
(2)AUB=AU(亦)•
⑶a=(ab)u(a可.
(4)(AU^)C=ABC.
(5)AB=A[JB.
⑹(AB)n(A^)=0.
(7)AuB等价于AUB=B或AB=A或BuA.
(8)若AB=0,则AuB.
解:
⑴正确;
(2)正确;⑶正确;(4)正确;⑸错误;⑹正确;(7)正确;(8)正确.
■在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是女生,事件
B表示被选学生是三年级学生,事件C表示被选学生是运动员.
(1)叙述入BC的意义.
⑵在什么条件下ABC=A成立
(3)什么时候A=C成立
解:
⑴被选学生是三年级男运动员;
(2)因为ABC=A等价于AuBC,即数学系的女生全部都是三年级运动员;
(3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.
7.试用维恩图说明,当事件A’B互不相容,能否得出A’B也互不相容
解:
不能.
8.设样本空间0={%|0<%<10},事件A={x|2 解: AUB={x|1 AUB=^=[O.2)U(5JO]・ 习题 ⑹设Au(A)=02P(B)=0・3,求⑴P(AUB); (2)P(bN);(3)P(A-B)・ 解: P(AUB)=P(B)=O・3; P(BA)=P(B)-P(A)=O,1; P(A-B)=P(0)=O・ 2 ⑺设P(AB)=P(AB\且P(A)=-,求P(B)・ 解: 注意到P(AB)=P(A[jB)=I-P(AUB)=! -P{A}-P(B)-P(AB}. 从而[\\P{AB)=P(AB)得P(A)+P(B)=1・ 于是p(B)=l-P(A)=;・ ⑻设AbC为三个随机事件,且PS)=P(B)=P(C)=〒P(AB)=P(BC)=-,厶丿 p(ac)=o^p(aubuc)・ 解: 山P(AC)=0知PG4BC)=0・于是山广义加法公式有 P{A[JB\JC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3_2=5 _2_3"b* ⑼设AB为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.9,问: ⑷在什么条件下,P(AB)取到最大值,最大值是多少 ⑸在什么条件下,P(AB)取到最小值,最小值是多少 解: (1)Ih于P{AB) 下,取到最大值P(A)=0・7・ (6)注意到P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB).因此当P(A[JB)=l时,P(AB)取 到最小值0・7+0・9一1=0・6・ 思考: 有人说⑵,在AB=0时,P(A3)取到最小值0•你能指出错误在什么 地方吗 (10)设人B为两个随机事件,证明: (1)P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB). (2)I-P(A)一P(B) 证明: (1)由广义加法公式可得 P(AB)=l_P(AU万)=1-P(石一P(万)+5)• ⑵山⑴立得1-P(A)一P(B} 其余不等式是显然的. (12)设ABC为三个随机事件,证明: P(AB)+P(AC)-P{BC) 证明: 由广义加法公式可得 P(A)>P(An(BUC))=P((AB)UG4C))=P(AB)+P(AC}-P(ABC) >P⑷)+PG4C)-P(BC). (12)设AM"…■人为"个事件,利用数学归纳法证明: (2)(次可加性)P(AU4U…LMJmEp(a) k~l ⑵P(松…AaEhA)-(—1). £-1 证明: ⑴当”=2时,山广义加法公式有 P(AUAJ=PGM+P(冷)—PGVJM工P(4). £-1 即对fi=2成立. 假i殳对《=£成立,于是p(AUAU-UAU4+J 即对/t=k+l成立.⑴得证. ⑵当畀=2时,山广义加法公式有 p(4A)=p(A)+p(血)—p(4UA2)nP(4)+P(血)一1・ 即对h=2成立. 假设对n=k成立,即P(人4…4)1工卩(4)一伙一1). r-l 于是 P(AA……A)+P(4+J-l>±P(A)-伙-1)+P(A+J-1r-lA+l=》P(A)-化r.) 即对/t=k+l成立. (2)得证. (13)设…为一列事件,且心uAq"=12…,证明: P(n41)=limP(外)• ・11-1MTV 证明: (利用性质6 (2)的结论) 显然瓦,X,…为一列事件,且兀U石,f? =12…,即性质6⑴的条件成立, 因此P(U可)=烈2/(4)・ rr>) 于是P(n心=i-P(0可)=1-HmP(可)=limP(4)• ”■1ftt®t® "■I 习题 (刀掷两颗均匀的骰子,求下列事件概率: (1)两颗骰子的点数相同; (2)两颗骰子 的点数之和为偶数;(3)—颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍. 117 解: ⑴g; (2)-;(3)—. (8)有五条线段,长度分别为135,7,9(单位cm),从这五条线段中任取三条,求所 取的三条线段能拼成三角形的概率•解: 山古典概型可得所求的概率为咅 ⑼一个小孩用13个字母: A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成"MATHEMATICIAN"—词的概率为多少 3»2*2*2* 解: 山古典概型可得所求的概率为’出土• 13! (10)"个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求屮、乙两人之间恰好有 *•个人的概率,这里广=0丄…/-2・解: 山古典概型可得所求的概率为1)"! 2! /I! (11)• M"个男孩和“? 个女孩(wS+1)随机排成一列,求任意两个女孩都不相邻的 概率. 解: "个男孩和W个女孩(也<«+1)随机排成一列共有0? +加)! 种排法 任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将"个男孩排好,共有《+1个间 隔,从n+1个间隔中选出也个位置进行女生排列•因此排法总数为从 而山古典概型可得所求的概率为凹世 («+川)! (13)从"双尺码不同的鞋子中任取2r(2r a)所取的2r只鞋子中没有两只成对的; (2)所取的2r只鞋子中只有两只成对的;(3)所取的2r只鞋子恰成广对. 广";广I广2(~1)^2 解: ⑴罟;⑵5匕「;⑶等 (14)掷一枚均匀的®币"次,求出现的正面次数多于反面次数的概率. 解: 设A表示硬币出现的正面次数多于反面次数,B表示硬币出现的反面次数多于正面次数表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见 P(A)+P(B)+P(C)=1,P(A)=P⑻• 当宀小时,易见P(C)=O,从而P⑷h (15)从一个装有d个白球」2个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率. 解: 此题设想将袋中的d个白球和方个黑球全部摸出,则最后一次(第a+b次)摸出0球与本题所述的事件相同•因此由抽签原理可得所求的概率为一£-. a+h (16)口袋中有5个口球、3个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率. 解: 所求的概率为1-冥. (17)某人有w把钥匙,其中只有一把能打开门/也一把接一把地试开门,不能开 门的就扔掉-求他恰好在第£次把门打开的概率• W•(川一1)・•・(〃? 一&+1) 解: 所求的概率为伽-1)5-2)…仙-2)x1=丄m (18)任取一个正整数,求下列事件的概率: a)该数平方的个位数是1; (2)该数立方的个位和十位都是2. 解: ⑴我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关•因此我们观察取 出数的个位数,其样本空间为G={(U2…,9}•易知其是古典概型•设A表示该 9 数平方的个位数是i,则A={i,9},于是P(A)=— ⑵一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关■因此我们观察取出数 的个位和十位数,其样本空间为0={00・01,02…,99},6表示该数立方的个位 和十位都是1.则B={71},于是P(B)=金. (19)某人忘记了一个电话号码的最后一位数字,因此只能试着随意地拨这位 数,假设拔完规定电话位数算完成一次拨号,且假设对方电话不占线,试 问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少 5U匕士如XI9x19x8x19x8x7xl4 解: 所求的概率为一+++=—. 1010x910x9x810x9x8x710 (20)—公司批发出售服装,每批100套.公司估计某客商欲购的那批200套服装中有4套是次品,12套是等级品,其余是优质品,客商在进货时要 从中接连抽出2套做样品检査,如果在样品中发现有次品,或者2套都是 等级品,客商就要退货-试求下列事件的概率: ⑴样品中1套是优质品,1套是次品; (2)样品中1套是等级品,1套是次品;(3)退货;(4)该批货被接受: (5)样品中恰好有1套优质品. 解: (1)样品中1套是优质品,1套是次品的概率为警; (3))样品中1套是等级品,1套是次品的概率为1^; C]00 (6)样品中恰好有1套优质品的概率为邑学. (21)在桥牌比赛中,把52张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家13张牌),求下列事件的概率: (: ! )北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花; (2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃;(3)南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃. 解: ⑴北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率 39! 13! 13! 13! 52! —S52! , 13! 13! 13! 13! 13! 39! (2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为 13! 39! 52! ' 26! 13! 13! (3)南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为13! 39! 9! 1! 3! ・17! 12! 10! 52! 26! 13! 13! (22)将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率. 解: 3个球随机地放入4个杯子共有“种放法.4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为于是所求的概率为 (23)设集合A有4个元素,集合B有3个元素,随机地作集合A到集合B的映射,求该映射为满射的概率. r--3' 解該映射为满射的概率为亍: . (24). g将W个球随机地放入"(«»)个盒子中,求下列事件的概率: (14)每个盒子中均有球; (2)恰好有1个盒子空着的概率. 解: 设A表示第f个盒子无球〃=12 ⑹设4表示每个盒子中均有球•则A=AX・・・4=AU4U・・・Ud・ 注意到P(A)=(",/=1,2,…宀 z”_2Y" P(A^A-)=———,l
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