中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型.docx
- 文档编号:24988750
- 上传时间:2023-06-03
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:17.96KB
中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型.docx
《中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型
中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型
中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型
类型一新定义型
例1、对任意一个三位数n,如果n满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.
(1)计算:
F(243),F(617);
(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:
k=F(s)F(t),当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.
[解答]解:
(1)F(243)=(423+342+234)÷111=9;
F(617)=(167+716+671)÷111=14.
(2)∵s,t都是“相异数”,s=100x+32,t=150+y,
∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6.
∵F(t)+F(s)=18,
∴x+5+y+6=x+y+11=18,
∴x+y=7.
∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y都是正整数,
∴x=1y=6或x=2y=5或x=3y=4或x=4y=3或x=5y=2或x=6y=1.
∵s是“相异数”,
∴x≠2,x≠3.
∵t是“相异数”,
∴y≠1,y≠5.
∴x=1y=6或x=4y=3或x=5y=2,
∴F(s)=6F(t)=12或F(s)=9F(t)=9或F(s)=10F(t)=8,
∴k=F(s)F(t)=12或k=F(s)F(t)=1或k=F(s)F(t)=54,
∴k的最大值为54.
例2、如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.
类比探究
如图2,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)
(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?
如果是,请选择其中一对进行证明.
(2)△DEF是否为正三角形?
请说明理由.
(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.
[解答]解:
(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:
∵△ABC是正三角形,
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,
∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,∠2=∠3,
∴∠ABD=∠BCE,
在△ABD和△BCE中,∠1=∠2AB=BC∠ABD=∠BCE,
∴△ABD≌△BCE(ASA);
(2)△DEF是正三角形;理由如下:
∵△ABD≌△BCE≌△CAF,
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,
∴△DEF是正三角形;
(3)作AG⊥BD于G,如图所示:
∵△DEF是正三角形,
∴∠ADG=60°,
在Rt△ADG中,DG=12b,AG=32b,
在Rt△ABG中,c2=a+12b2+32b2,
∴c2=a2+ab+b2.
例3、有这样一个问题:
探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=1kx与y=kx(k≠0)的图象性质.
小明根据学习函数的经验,对函数y=1kx与y=kx,当k>0时的图象性质进行了探究.
下面是小明的探究过程:
(1)如图所示,设函数y=1kx与y=kx图象的交点为A,B,已知A点的坐标为(-k,-1),则B点的坐标为________;
(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:
PM=PN.
证明过程如下:
设Pm,km,直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则-ka+b=-1ma+b=km,
解得a=b=________
∴直线PA的解析式为________
请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.
[解答]解:
(1)由正、反比例函数图象的对称性可知,点A、B关于原点O对称,
∵A点的坐标为(-k,-1),
∴B点的坐标为(k,1).
故答案为:
(k,1).
(2)①证明过程如下,设Pm,km,直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则-ka+b=-1ma+b=km,
解得:
a=1mb=km-1,
∴直线PA的解析式为y=1mx+km-1.
当y=0时,x=m-k,
∴M点的坐标为(m-k,0).
过点P作PH⊥x轴于H,如图1所示,
∵P点坐标为m,km,
∴H点的坐标为(m,0),
∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.
同理可得:
HN=k.
∴MH=HN,
∴PM=PN.
故答案为:
a=1mb=km-1;y=1mx+km-1.
②由①可知,在△PMN中,PM=PN,
∴△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k.
当P点坐标为(1,k)时,PH=k,
∴MH=HN=PH,
∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°,
∴∠MPN=90°,即∠APB=90°,
∴△PAB为直角三角形.
当k>1时,如图1,
S△PAB=S△PMN-S△OBN+S△OAM,
=12MN﹒PH-12ON﹒yB+12OM﹒|yA|,
=12×2k×k-12(k+1)×1+12(k-1)×1,
=k2-1;
当0<k<1时,如图2,
S△PAB=S△OBN-S△PMN+S△OAM,
=12ON﹒yB-k2+12OM﹒|yA|,
=12(k+1)×1-k2+12(1-k)×1,
=1-k2.
例4、问题呈现:
如图1,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求证:
2S四边形EFGH=S矩形ABCD.(S表示面积)
实验探究:
某数学实验小组发现:
若图1中AH≠BF,点G在CD上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E、G作BC边的平行线,再分别过点F、H作AB边的平行线,四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1.
如图2,当AH>BF时,若将点G向点C靠近(DG>AE),经过探索,发现:
2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1.
如图3,当AH>BF时,若将点G向点D靠近(DG<AE),请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1,之间的数量关系,并说明理由.
迁移应用:
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:
(1)如图4,点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点,已知AH>BF,AE>DG,S四边形EFGH=11,HF=29,求EG的长.
(2)如图5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E、H分别在边AB、AD上,BE=1,DH=2,点F、G分别是边BC、CD上的动点,且FG=10,连接EF、HG,请直接写出四边形EFGH面积的最大值.
[解答]问题呈现:
证明:
如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠A=90°,
∵AE=DG,
∴四边形AEGD是矩形,
∴S△HGE=12S四边形EFGH,
同理S△EGF=12S矩形BEGC,
∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=12S矩形ABCD.
实验探究:
结论:
2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1.
理由:
∵ =12, =12, =12, =12,∴S四边形EFGH=+++﹣,∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2,∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1.
迁移应用:
解:
(1)如图4中,∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1,∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×11=3=A1B1A1D1,∵正方形的面积为25,∴边长为5,∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4,∴A1D1=2,A1B1=,∴EG2=A1B12+52=,∴EG=.
(2)∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1.
∴四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH的面积最大.
①如图5-1中,当G与C重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH的面积最大.
此时矩形A1B1C1D1面积=1﹒(10-2)=10-2
②如图5-2中,当G与D重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH的面积最大.此时矩形A1B1C1D1面积=2﹒1=2,∵2>10-2,∴四边形EFGH的面积最大值=172.
例5、定义:
点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:
如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y=33x(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(3,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?
若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解答]解:
(1)∵∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,
∴△NOP∽△MON,
∴点P是△MON的自相似点;
过P作PD⊥x轴于D,则tan∠POD=MNON=3,
∴∠MON=60°,
∵当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(3,0),
∴∠MNO=90°,
∵△NOP∽△MON,
∴∠NPO=∠MNO=90°,
在Rt△OPN中,OP=ONcos60°=32,
∴OD=OPcos60°=32×12=34,PD=OP﹒sin60°=32×32=34,{{dbc5494c.png}}
∴P34,34;
(2)作MH⊥x轴于H,如图3所示:
∵点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(2,0),
∴OM=32+(3)2=23,直线OM的解析式为y=33x,ON=2,∠MOH=30°,
分两种情况:
①如图3所示:
∵P是△MON的相似点,
∴△PON∽△NOM,作PQ⊥x轴于Q,
∴PO=PN,OQ=12ON=1,
∵P的横坐标为1,
∴y=33×1=33,{{eb10936e.png}}
∴P1,33;
②如图4所示:
由勾股定理得:
MN=(3)2+12=2,
∵P是△MON的相似点,
∴△PNM∽△NOM,
∴PNON=MNMO,即PN2=223,
解得:
PN=233,
即P的纵坐标为233,代入y=33得:
233=33x,
解得:
x=2,
∴P2,233;
综上所述:
△MON的自相似点的坐标为1,33或2,233;
(3)存在点M和点N,使△MON无自相似点,M(3,3),N(23,0);理由如下:
∵M(3,3),N(23,0),
∴OM=23=ON,∠MON=60°,
∴△MON是等边三角形,
∵点P在△MON的内部,
∴∠PON≠∠OMN,∠PNO≠∠MON,
∴存在点M和点N,使△MON无自相似点.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 二轮 复习 难题 突破 类型 一新 定义
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)