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全等三角形培优讲义
全等三角形常见辅助线作法
1
精准诊查
【知识导图】
概念(
<~1
三边之和大于等于第三边
稳定性
高
与三角形有关的线段中线
角平分线
三角形
性质
直角三角形判定多边形及其内角和
【导学】全等三角形
第一部分:
知识点回顾
常见辅助线的作法有以下几种:
“对折”.
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全
等变换中的“旋转”•
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中
的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻
转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
第二部分:
例题剖析
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5AC=3贝忡线AD的取值范围是
A
例2、如图,△ABC中,E、F分别在ABAC上,DELDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点,求证:
AD平分/BAE.
A
二、截长补短
1如图,ABC中,AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证:
CDLAC
A
D
C
2、如图,AC//BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBACD过点E,
=AC+BD
B
求证;AB
C
应用:
如图*伍四也嚴AHCD中hAD//BC.A应匙M上一牛动戊•若ZJf-册m二血,n_厶磁=60°,判斷W”穗坊BC的关系井证阴祢啊结论•
、平移变换
例1AD为厶ABC的角平分线,直线MNLAD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为PA,△EBC周长记为
Fb.求证PB>PA.
例2如图,在△ABC的边上取两点DE,且BD=CE求证:
AB+AOAD+AE.
四、借助角平分线造全等
1如图,已知在厶ABC中,/B=60°AABC的角平分线AD,CE相交于点Q求证:
OE=OD
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF求/EAF的度数.
思想方法说明AE=DF+BE
3.
(1)如图11—〔,△ADE中,AE=AD且/AED2ADE/EAD=90,ECDB分别平分/AED/ADE交
ADAE于点C、B,连接BC.请你判断ABAC是否相等,并说明理由;
(2)AADE的位置保持不变,将△ABC绕点A逆时针旋转至图11—2的位置,ADBE相交于0,请你判断
线段BE与CD的关系,并说明理由.
【课后作业】
1.如图,在△ABC中,/ACB=90°,AC=BC直线l经过顶点C,过AB两点分别作I的垂线AEBF,E、
F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:
EF=AE+BF.
(2)如图,将直线I绕点C顺时针旋转,使I与底边AB交于点D,请你探究直线I在如下位置时,
EFAEBF之间的关系.
①AD>BD②AD-BD③AD 2.如图3,Rt△ABC中,/ACB=90,AC=BCADLCD,BF丄CD,AB交CD于E.求证: DF=CD-AD. 3.如图,已知AC=BC/ACB=90,D为AB上任意一点, 4.如图,在△ABC中,AC丄BC,AC=BC,D为AB上一点,于E.求证: EF=BE—AF AF丄CD交CD的延长线于F,BE丄CD 5.如图,ABC的中线,/ADB和/ADC的平分线分别交ABAC于点E、 求证: BE+CF>EF.
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