经典正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明.docx
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经典正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明,或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现.
1.正弦定理
(1)正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.其中R是三角形外接圆的半径.
(2)正弦定理的其他形式:
——王彦文青铜峡一中由a2+b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角.
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A
=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,类似地,sin2B=;sin2C=
.注意式中隐含条件A+B
+C=π.
3.解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边,用
定理.只有一解.
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,用定理,可能有
.如在△ABC中,已知a,
b和A时,解的情况如表:
A为锐角A为钝角或直角
图形
①a=2RsinA,b=,c
=;
关a=
系bsinA
式
bsinA
a
②sinA
sinB=,解
=2R,
sinC=;
③a∶b∶c=.
的①②③④个
数
2.余弦定理
(1)余弦定理:
三角形中任何一边的平方等
(3)已知三边,用解时,只有一解.
定理.有
于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
a2=,b2=,
c2=.
若令C=90°,则c2=,即为勾股定理.
(2)余弦定理的变形:
cosA
=,cosB=,
cosC=.
(4)已知两边及夹角,用定
理,必有一解.
4.三角形中的常用公式或变式
(1)三角形面积公式S△==
===
.其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径.
(2)A+B+C=π,则A=,
A
若C为锐角,则cosC>0,即a2+b2
c2;
2=,从而sinA=
若C为钝角,则cosC<0,即a2+b2c2.故
,
cosA=,tanA=
;
(2)π-(B+C)
πB+C2-2
AAsin(B+C)-cos(B+C)
sin
2=,cos
=,
B+C
B+C
2-tan(B+C)cos
2
A
sin2
tan
2=.tanA+tanB+tanC=1
.
(3)若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b=?
2sinB=?
tanB+C
2
tanAtanBtanC(3)a+csinA+sinC
BA-C
A+C
A-CA
2sin
2=cos2?
2cos
2=cos
2?
tan2
在△ABC中,A>B是sinA>sinB的
=
C1
2
tan.
3
【自查自纠】
abc
()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解:
因为在同一三角形中,角大则边大,
1.
(1)
sinA=sinB=sinC=2R
bc
边大则正弦大,反之也成立,故是充要条件.故选C.
在△ABC中,已知b=6,c=10,B=
(2)①2RsinB2RsinC②2R2R
③sinA∶sinB∶sinC
30°,则解此三角形的结果有()A.无解B.一解
C.两解D.一解或两解
2.
(1)b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosB
a2+b2-2abcosCa2+b2
解:
由正弦定理知sinC
c·sinB5
b2+c2-a2
c2+a2-b2
a2+b2-c2
=b=
,又由
6
(2)
<
2bc
2ca
2ab>
c>b>csinB知,C有两解.也可依已知条件,画出△ABC,由图知有两解.故选C.
(3)互化sin2C+sin2A-2sinCsinAcosBsin2A+sin2B-2sinAsinBcosC
3.
(1)正弦
(2)正弦一解、两解或无解
①一解②二解③一解④一解
(3)余弦(4)余弦
(2013·陕西)设△ABC的内角A,B,C
所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
4.
(1)
1
absinC2
1
bcsinA2
1
acsinB2
abc4R
解:
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