解三角形角度高度问题.docx
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解三角形角度高度问题
第2课时角度、高度问题
学习目标1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见
方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件,解决航海等角度问题.
知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题
思考如图,AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,如果能测出点C,
D间的距离m和由C点,D点观察A的仰角,怎样求建筑物高度AB?
(已知测角仪器的高是
h)
在Rt△AEC中,AE=ACsinα,AB=AE+h.
梳理问题的本质如图,已知∠AEC为直角,CD=m,用α,β,m表示AE的长,所得结果
再加上h.
知识点二测量方向角求高度
A处时测得公路北侧远处一山顶
思考如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到
D在北偏西75°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在北偏西65°的方向上,仰角为8°,怎样求此山的高度CD?
5sin15°
答案先在△ABC中,用正弦定理求
BC=5ssiinn1105,°°再在Rt△DBC中求DC=BCtan8.°梳理问题本质如图,已知三棱锥D-ABC,DC⊥平面ABC,AB=m,用α,β,m,γ表示
DC的长.
1.在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.(×)
2.在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√)
类型一测量仰角(或俯角)求高度问题例1如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角
分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()
解析方法一设AB=xm,则BC=xm.
∴BD=(10+x)m.
解得x=5(3+1)m.
∴A点离地面的高AB等于5(3+1)m.
方法二∵∠ACB=45°,∴∠ACD=135°,∴∠CAD=180°-135°-30°=15°.
∴AB=ACsin45=°5(3+1)m.
反思与感悟
(1)底部可到达,此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达,但仍在同一与地面垂直的平面内,此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,观测者一直向“目标物”前进.
跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,则山的高度为m.(精确到1m)
答案811
解析如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.
在△ABD中,由正弦定理,得
ADsin∠ADB1000×sin135°
AB===10002(m).
sin∠ABDsin30°
在Rt△ABC中,BC=ABsin35≈°811(m).
答山的高度约为811m.
类型二测量方向角求高度问题
例2如图所示,A,B是水平面上的两个点,相距800m,在A点测得
山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD.
考点解三角形求高度
题点测量俯角(仰角)求高度
解由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可,在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
ABAD由=,sin15°sin45°
2
800×得AD=ABsi·nsi1n545°=°6-22=800(3+1)(m).
4
即山的高度为800(3+1)m.
反思与感悟此类问题特点:
底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题
跟踪训练2如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东
=45°,则塔AB的高是()
A.10m
C.103m
考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案D解析在△BCD中,CD=10m,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,
BCCD由正弦定理,得sin∠BCBDC=sin∠CDDBC,
解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=103t,BD
=10t,
在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA
=(3-1)2+22-2(3-1)·2·cos120=°6.
又∠ABC∈(0°,60°),∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°,
BDCD
在△BCD中,由正弦定理得BD=CD,
sin∠BCDsin∠CBD
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
∴∠D=30°,∴BD=BC,即10t=6.
∴t=106小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时3a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?
考点解三角形求距离题点测量方向角求距离
解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,
BC=at(海里),
AC=3at(海里),
B=90°+30°=120°,
由BC=AC,得sin∠CABsinB
BCsinBat×sin120sin∠CAB=AC∵0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇
1.某公司要测量一水塔CD的高度,测量人员在地面选择了A,B两个观测点,且A,B,C三点在同一直线上,如图所示,在A处测得该水塔顶端D的仰角为α,在B处测得该水塔顶端D的仰角为β.若AB=
A.asinα-βsinα
A.sinβ
asinβsinα-β
答案
解析
在△ABC中,由正弦定理得sinA3B0=°sinA1C35,
∴AC=1002.
AC=CDsinθ+90°sin15
3.一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和
45°,则这个海岛的宽度为m.(精确到0.1m)
考点解三角形求宽度
题点已知高度、俯角(仰角)求宽度
答案5856.4
4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,
则甲、乙两楼的高分别是.
考点解三角形求高度
题点测量俯角(仰角)求高度
答案203米,4033米
3
解析甲楼的高为20tan60°=20×3=203(米),乙楼的高为203-20tan30=°203-20×33=4033(米).
5.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45km后,看见该灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是km.
考点解三角形求距离
题点测量方向角求距离
答案153
解析设灯塔位置为A,船的初始位置为O,船的终止位置为B,由题意知∠AOB=30°,∠OAB=120°,
则∠OBA=30°,
所以由正弦定理,得AB=153,
即此时船与灯塔的距离是153km.
1.在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁琐,
如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题
、选择题1.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,塔基的俯角为45°,那么塔AB的高为(
D.30m
3
A.201+3m
C.20(1+3)m
考点解三角形求高度
题点测量俯角(仰角)求高度答案A
2.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进2003m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为()
A.200mB.300mC.400mD.1003m
考点解三角形求高度
题点测量俯角(仰角)求高度
答案B
解析如图,△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600m,
BC=DC=2003m.
在△BCD中,由余弦定理可得
cos2θ=
6002+20032-20032
2×600×2003∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BCsin4θ=2003×23=300(m),故选B.
3.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是()
C.52nmileD.56nmile考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案D
解析在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°.
BCABBC10由正弦定理,得=,∴=,
sinAsinCsin60°sin45°
解得BC=56nmile.
4.
灯塔B
已知两座灯塔A,B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
考点三角形中角度的求解
题点三角形中角度的求解
答案B
解析如图,因为△ABC为等腰三角形,
45°,
45°,此人沿南偏东40°方向前进10m到D,
解析如图所示,
BC=3h,AC=h,
∴AB=3h2+h2=2h(米).
6.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为
测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为()
A.15mB.5mC.10mD.12m
考点解三角形求高度
题点测量俯角(仰角)求高度
答案C
解析如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,
则OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°,
则OD=3h.
在△OCD中,∠OCD=120°,
CD=10,
由余弦定理,
得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,
即(3h)2=h2+102-2h×10×cos120,°
∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).
即塔高为10m.
7.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()
A.102海里B.103海里
C.203海里D.202海里
考点解三角形求距离
题点测量俯角(仰角)求距离
答案A
解析如图所示,易知,
在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得
BC=AB,sin30=°sin45,解得BC=102.
8.要测量河流一侧某建筑物的高度,在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点,在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°,30°,在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两
地连线所成的角为120°,甲、A.1002m
C.2003m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案D解析由题意画出示意图,设高AB=h,在Rt△ABC中,在Rt△ABD中,由已知得BD=3h.在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC×CD×cos∠BCD,得
乙两地相距500m
则该建筑物的高度是()
B.400m
D.500m
由已知得BC=h.
答案
3π
4
解析在△ABC中,由余弦定理,得
考点
解三角形求距离
题点
测量俯角(仰角)求距离
答案
32+6
20
∠CBD=180°-15°-30°=135°.
所以BC=3s0insin13350=°°152.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×tan60
=156(米).
的仰角均为60°,AC=0.1km.若AB=BD,则B,D间的距离为km.
解析在△ABC中,∠BCA=60°,∠ABC=75°-60°=15°,AC=0.1km,
由正弦定理,得sin∠ABBCA=sin∠ACABC,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
222
60+2h-4h得cos∠PBA=,①
2×60×2h
2242
602+2h2-3h2
cos∠PBC=3.②
2×60×2h
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×-21,
239
128t2-60t-27=0,∴t=4或t=-32(舍去),
设AE为塔,B为塔正东方向一点,沿南偏西60°前进40m到达C处,
即BC=40,∠CAB=135°,∠ABC=30°,∠ACB=15°.
ACBC
在△ABC中,=,
sin∠ABCsin∠CAB
即AC=40,∴AC=202.
sin30°sin135°
过点A作AG⊥BC,垂足为G,此时仰角∠AGE最大,
在△ABC中,由面积公式知
11
21×BC×AG=12×BC×AC×sin∠ACB.
=AC×sin∠ACB=202sin15,∴AG=202sin(45°-30°)
=20222×23-22×12=10(3-1).
在Rt△AEG中,∵AE=AGtan∠AGE,∴AE=10(3-1)×33=10-1033,∴塔高为10-1033m.
15.为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不
能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?
考点解三角形的实际综合应用
题点解三角形的实际综合应用
解如图所示,考点为A,检查开始处为B,设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上两点到考点的距离为1千米.
在△ABC中,AB=3(千米),
AC=1(千米),∠ABC=30°,由正弦定理,得sin∠ACB=sinAC30×°AB=23,∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(千米).
在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,∴CD=1(千米).∵B1C2×60=5,∴在BC上需5分钟,CD上需5分钟.
∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格
1
所以∠CBA=21(180°-80°)=50°,
60°-50°=10°,故选B.
5.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°,看正南方向有一只船俯角为则此时两船间的距离为()
A.2h米B.2h米
C.3h米D.22h米
考点解三角形求距离
题点测量俯角(仰角)求距离
答案A
222
3h2=h2+5002+h×500,解得h=500(m)(负值舍去).故选D.
、填空题
9.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3mm,
BC=22mm,AB=29mm,则∠ACB=.
考点解三角形求角度题点解三角形求角度
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