考研求数列极限的十五种解法.docx
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考研求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法
1.定义法
;-N定义:
设{a.}为数列,a为定数,若对任给的正数;,总存在正数N,使得当n.N时,
有a.-a|.;:
「,则称数列{a.}收敛于a;记作:
lima^a,否则称{a.}为发散数列.
例1•求证:
1
nim:
a—1,其中a0.
证:
当a=1时,结论显然成立.
III
当a>1时,记a=an_1,则a>0,由a=n+a$K1+na=1+n(c^_1),得_1兰王,
v‘n
彳111
任给E>0,则当n>口=N时,就有—1,即a下一1c呂,即lim=1.
1
综上,
liman
=1,其中
a>0.
例2
.求:
7nlim—.M^n!
解:
变式:
7n_7
7
77
7
77.77
771..
n
7--0
7
丄丄
n!
1
2
78
9
n—1n7!
n
6!
n
n!
6!
n
2•利用柯西收敛准则
有:
|an-amI■:
"'成立.
由柯西收敛准则,数列{x,}收敛.
例4.(有界变差数列收敛定理)若数列{x}满足条件:
证:
令力
(n=1,2,),则称{人}为有界变差数列,试证:
有界变差数列一定收敛.
=0,yn二Xn—XnJ—%1—Xn』"|X?
-X’
那么{yn}单调递增,由已知可知:
{yn}有界,故{%}收敛,
从而0,-I正整数N,使得当n.m.N时,有yn-ym:
:
:
;;
此即Xn-Xm_Xn-Xn』"|Xn丄^/"|Xm1-Xm|八;由柯西收敛准则,数列{X,}收敛.
注:
柯西收敛准则把;—N定义中的an与a的关系换成了an与am的关系,其优点在于无需借用数
列以外的数a,只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.
3•运用单调有界定理
单调有界定理:
在实数系中,有界的单调数列必有极限.
例5•证明:
数列xn=Ja+Ja+''描(n个根式,a>0,n=1,2,11|)极限存在,并求li^Xn•证:
由假设知Xn=a•Xn1;①
用数学归纳法可证:
Xn1X,,^N:
②
此即证{X,}是单调递增的.
事实上,0:
:
:
Xn1•..=a•Xn•;:
Ja•a•1:
:
:
、'(:
a•1)2二a1;
由①②可知:
{Xn}单调递增有上界,从而limX^=1存在,对①式两边取极限得:
1二JFR,
解得:
1」1如和|/-14a(舍负);.・.limX」1如.
22F2
4.利用迫敛性准则(即两边夹法)
迫敛性:
设数列{an}、{bn}都以a为极限,数列{Cn}满足:
存在正数N,当n•N时,有:
例6.求:
1*2n
"郭n2+n勺n2+2n2+n+n)
卫j 2(n②)2(n51)"一斗2(n2n)2r: 2(nn1) •••由迫敛性,得: 朝人+冷…冷弓. 注: 迫敛性在求数列极限中应用广泛,常与其他各种方法综合使用,起着基础性的作用. 5•利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义: 设为f(x)定义在[a,b]上的一个函数,J为一个确定的数,若对任给的正数 g>0,总存在某一正数5,使得对[a,b]的任意分割T,在其上任意选取的点集{©},1X」,x], n 只要—就有送f(©)织—J£■则称函数f(x)在[a,b]上(黎曼)可积,数J为f(x)在[a,b] iJ_ 解: 因为: 同理: sin—sin—sin」 .兀.2兀sin—sin——lim++ "f1n1 <2 2n2n2n. sin—sinsinsin—sinsinsin—sinsin- nnnn.亠亠n...nnn n n 注: 数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限,且每项的形式很规范”这一类型问题时,可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义;部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难,这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论. 6•利用(海涅)归结原则求数列极限 归结原则: limfX十 (x)=A=对任何人必(n宀),有”叮(Xn)=A• 例9•求: lim n-<-.: 1 en-1 1 解: lim■ n-s: 1 -1 1 例10•计算: 解: 一方面, 另一方面, 1 =lim学 nT_o n (lim1n扛 (1- n 由归结原则: 1、n“1、n 2): : : (1)>n (nr'); 11 (1——1) n (取 Xn =(1 2丄_2_丁)心丄—(1—)5-;nn 2 n n—1 n=2,3,…), 2 n 2.n_L 由迫敛性,得: 2 =[im(1•啤)]im(1^^1)^^lim(1n^)^^lim(1」)x=e; lim(1-1-4)n=e• i: nn 注: 数列是一种特殊的函数,而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质,有时我们可以 借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限,从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨(Stolz)定理求数列极限 stolz定理1: (__)型: 若{yn}是严格递增的正无穷大数列,它与数列{Xn}一起满足: □0 "m: x二辭1,则有卩叹辭1,其中l为有限数,或;,或一 stolz定理2: (0)型: 若{yn}是严格递减的趋向于零的数列,n—「: : 时,Xn—;0且 0 limX1Xn=],则有limXn=l,其中I为有限数,或•: : ,或-.n「yn1.-yn7% 例11.求: 乍2P加: 小np 愠np+(P^N)• 解: 令Xn=1p,2p爲…圧-p,yn=np1,n•N,则由定理1,得: lim1P2P1nPRim(nP11)PP1,lim心「 rnp1": (n1)p_npn]p1)np_(P⑴卩P1 注: 本题亦可由方法五(即定积分定义)求得,也较为简便,此处略. n 例12•设 'TnC: Sn,求: HmSn• n liman=lim=1, nY: annY: nx 8.利用级数求和求数列极限 由于数列与级数在形式上的统一性,有时数列极限的计算可以转化为级数求和,从而通过级 数求和的知识使问题得到解决. 12n 例13.求: lim(21),(a>1). n: -aaan 1od 解: 令x=—,则|x|.;: 1,考虑级数: Vnxn an1 ==S(a」)=a (1-a于 x 而S(x)二xf(x)2;因此,原式 (1—X) 9.利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化,使得级数与数列的性质有了内在的密切联系,因此数列极限的存在性及极限值问题,可转化为研究级数收敛性问题. 例14.设焉0,x: ^^^(nrO,1,2,),证明: 数列{x: }收敛,并求极限 2+x: 证: 由x0・0,可得: x: 0(: 巾12,),令f(x^22xC),(x0), 2(1亠x) =x: 1,x: 0,(n=0,1,2,), oo 考虑级数: .J|X: 1-人;n倉 由于 Xn牛一Xn f(Xn)f(XnJ f'(©(Xn-Xn£ 1 Xn—人i Xn—人1 人一Xn1 J? 2 所以, 级数"_人收敛,从而 n£ Q0 壬(Xn牛-Xn)收敛. n_0_ 令S n =E(xkk_0_% 牛一Xk)=Xn牛一人, 叮臂^存在,二 n^Xn丰M^+U^SnJ(存在); 对式子: X」=2(1+X),两边同时取极限: |=2(1知), 2*2+I \=^J2或I=―J2(舍负);二lim人=J2. n与 、11i 例15.证明: lim(1Inn)存在.(此极限值称为Euler常数) iiii 证: 设an=i+—+—…+——Inn,贝Ua*—a*丄=—[inn—ln(n—i)]; 23nn 对函数y=1nn在[n-i,n]上应用拉格朗日中值定理, 可得: Inn—ln(n—1)-(0: : : 小1), n-1+6 10•利用幕级数求极限 ..1 =lim—— y: 11 sin2(sinnx)sin2nx 例16•设sinx=sinx,sinx二sin(sinn±x)(n=2,3,■■-),若sinx0,求: —i 解: 对于固定的x,当n—•: 时,单调趋于无穷,由stolz公式,有: sinnx 2nn,1-1 limnsinnx=limlim— n二nn: ”: 1n1[ 222 sinnxsinn1xsinnx 22丄 1tsint =limlim22lim- “士一*t0t-int(0t^(t2-1t4o(t4)) sintt3 t4--t6o(t6)1--t2o(t2) =lim3lim33. 3to(t)3o(i) ii•利用微分中值定理求极限 拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质, 其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、aa 例仃•求: limn2(arctanarctan),(a=0). n二nn1 解: 设f(x)=arctanx,在[—a,a]上应用拉格朗日中值定理,n+1n 得: 吩…(洽)="吟话),启, 故当2知,J。 ,可知: 原式占駛2启法=a. 12•巧用无穷小数列求数列极限 引理: 数列{Xn}收敛于a的充要条件是: 数列{Xn-a}为无穷小数列.注: 该引理说明, 例18.(算术平均收敛公式)设limX^a,求极限lim__X2—Xn 解: 由llQXn=a,作“变量”代换,令人,其中{8}是一无穷小数列; 由定理2的结论有: 恤儿X2£=恤@匚)0(a") n“孚 na()() =lim--nalim--na0=a. n_v: nnF: n 此题还可以用方法1(定义法)证明,也可通过方法7(stolz公式)求得,此处略. 解: 由ln^Xn=a,l酸yn=b,作“变量"代换, 令Xn=a: : 匕n,y=b-n,其中{〉n},{! : : 'n}都是一无穷小数列, 故limxy冷%1亠亠Xn%_lim(a叱[1)(b■: n)亠亠(a叱: n)(b: 1) J'n一“: ,: Timab-a二n」 n-xInn 因为■: n>0(n_.•■),所以{;}有界数列,即二乞M, 再根据定理1,即有: 二「…亠“>0(n_—: ); n 又由定理2,可知: a,—-s0,b■-——? 0(nT°o); n ...恤人%5丄w小. n—二 注: 利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少,但却是一种很实用 有效的方法•用这种方法求某类数列的极限是极为方便的. 13•利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限 定理: 设函数f(x)、g(x)在x=0的某个领域有意义,g(x).0,lim丄凶=1,且当n): : 时, x0g(x) amnt0(m=1,2,3,■■■),li^Lf(amn)="冬区g(amn),则在右端极限存在时成立. 1 解: 令f(x)=31X-1,g(x)x,当x—;0时, 3 =11=1 一32一6 由定理1,得: l|m_、(31J-1)=1冋、1& n2 例21•求: l]mI丨(1•—a2),(a为非零常数). ln(1La3);令f(x)=1n(1x),当0时,ln(1x)~x,n ni21 .Ini^l[_(1+ya2)=exp(§a2). 注: 我们知道,当x「.O时,函数sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ex「1,In(1亠x)都x与等价,倘若 熟悉这些等价函数,观察它们与本文定理中的f(x)的关系,把求某些函数列极限问题转化为 求熟知的数列极限问题,这样就会起到事半功倍的效果. 14•利用压缩映射原理求数列极限 定义1: 设f(x)在[a,b]上有定义,方程f(x)=x在[a,b]上的解称为f(x)在[a,b]上的不动点. x—y, 定义2: 若存在一个常数k,且0乞k: : : 1,使得-x、y[a,b]有f(x)—f(y)空k 2 解: 考察函数f(x^a—,x•二[0,1a], 222 所以,f(x)是压缩的,由压缩映射原理,数列{xn}收敛. a1-|~a 设勺呀之,则c是在【°,的解,解得C9-心,即愠“1-T一• 解: 易知: Xn=a*XnJ, .一AA 考察函数: f(x)=Ja+x,xE[0,+°0)且在[0,+°o)上有: f(x)=―f<—<1, 2Ja+xa 因此,f(x)在[0,•: : )上是压缩的;%=a•[0,---),x.f(xn), 由压缩映射原理,数列{xn}收敛且极限为方程: x=f(x)=躺-x的解, 解得: limxn」14一. n二2 本题也可通过方法三(单调有界定理)解得,此处略. 15•利用矩阵求解一类数列的极限 (1)若数列的递推公式形如: x^px,1qxn2且已知x0>x1,其中p、q为常数且p=0, q=0,n=2,3,■■■; 解: 可将递推公式写成矩阵形式,则有a盯&丄]_=卩衬丄仔), [Xn丄丿I10人2.丿V10丿IX)丿 n=2,3,■■■,从而可利用线性代数知识求岀Xn的表达式,并进一步求岀l|m人• ax+h (2)若数列的递推公式形如: xn=—咚-且已知x,其中c=0且ad^bc,n=1,2, cx^+d 并求岀以: ->X)及X1表示的极限. 于是,Xn=2^口—(: T)n)X1(1-: (T)n)Xo• : ■n1: ■nI■n>n n—_,n=〔,2, •扎一矗ft 从而,xn=j__'2_■、_'2入一哉 由于拿£1,上式右端分子、分母同时除以 再令2卩则有: 豁_辱吉=宁 注: 求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法,矩阵解法只是其一,但与之相关的论述很少,但却简单实用.
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- 考研 数列 极限 十五 解法
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