必修二高中数学立体几何专题空间几何角和距离的计算doc.docx
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必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计
算..
立体几何专题:
空间角和距离的计算
一线线角
1.直三棱柱A1B1C1-ABC,∠BCA=900,点D1,F1分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值。
B1
C1
D1F1
A1
BC
A
2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=900,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥面ABCD,PD与底面成300角,
(1)若
AE⊥PD,E为垂足,求证:
BE⊥PD;
(2)若
AE⊥PD,求异面直线AE与CD所成角的大小;
P
E
B
C
D
A
二.线面角
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1、CD的中点,且正方体的棱长为2,
(1)求直线D1F和AB和所成的角;
(2)求D1F与平面AED
2
所成的角。
D1
C1
A1
B1
E
F
DC
A
B
2.在三棱柱A1B1C1-ABC中,四
B1
C1
A1
BC
A
大小。
边形AA1B1B是菱形,四边形BCC1B1是矩形,C1B1⊥AB,AB=4,C1B1=3,∠ABB1=600,
求AC1与平面BCC1B1所成角的
三.二面角
1.已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点,
(1)证明AB1∥平面DBC1;
(2)设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的大小。
3
B1
C1
A1
BC
D
A
2.ABCD是直角梯形,∠ABC=900,SA⊥面
ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0.5,
(1)求面SCD与面SBA所成的二面角的大小;
(2)求SC与面ABCD所成的角。
S
A
D
BC
3.已知A1B1C1-ABC是三棱柱,底面是正三角形,∠A1AC=600,∠A1AB=450,求二面角B—AA1—C的大小。
B1C1
A1
BC
A
四空间距离计算
(点到点、异面直线间距离)1.在棱长为a的正
4
方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC的中点,DP
交AC于M,B1P交BC1于N,
(1)求证:
MN
上异面直线AC和BC1的公垂线;
(2)求异面直线AC和BC1间的距离;
D1
C1
A1B1
N
DC
M
A
P
B
(点到线,点到面的距离)2.点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥面ABCD,Q为线段AP的中点,AB=3,CB=4,PA=2,求
(1)点Q到直线BD的距离;
(2)点P到平面BDQ的距离;
5
3.边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=600,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求E到平面PBC的距离。
(线到面、面到面的距离)4.已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,
∠ABC=900,BC=2,AC=23,且AA1⊥A1C,
AA1=A1C,
(1)求侧棱AA1与底面ABC所成角
的大小;
(2)求侧面A11
与底面ABC
所成
ABB
二面角的大小;(3)求侧棱B1B和侧面A1
ACC1
距离;
B1
C1
A1
BC
A
6
5.正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD、ABFE互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=NB=a
(0a2),
(1)求MN的长;
(2)当a为何值时,MN的长最小;
立体几何中的向量问题空间角与距离
基础自
1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为.
答案45°或135°
2.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,
AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为.
答案60°
3.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、
F分别是CC1、AD的中点,那么异面直线
OE和FD1所成角的余弦值等于
.
答案
15
5
4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为
a的正方体ABCO—A′B′C′D′,A′C的
中点E与AB的中点F的距离为.
答案
2a
2
5.(2008·福建理,6)如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D
所成角的正弦值为.
答案10
5
例1(2008·海南理,18)如图所示,已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
7
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
解如图所示,以D为原点,DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.
则DA=(1,0,0),CC
=(0,0,1).
连接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延长DP交B′D′于H.
设DH=(m,m,1)(
m>0),由已知〈DH
DA〉=60°,
由DA·DH=|DA||DH
|cos〈DH,
DA〉,
可得2m=
221
.
m
解得m=
2,所以DH=(
2
2,1).
2
2
2
2
2
1
1
0
0
2,
(1)因为cos〈DH,CC〉=
2
2
=
1
2
2
所以〈DH,CC〉=45°,
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0).
2
2
1
0
0
1
1
因为cos〈DH,DC〉=2
2
=
1
2
2
所以〈DH,DC〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
例2在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=23,M、N分别
为AB、SB的中点,如图所示.
求点B到平面CMN的距离.
解取AC的中点O,连接OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,
平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,建立空间直角坐标系O—xyz,
则B(0,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,22),
M(1,3,0),N(0,3,2).
∴CM=(3,3,0),MN=(-1,0,2),MB=(-1,3,0).
设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
CM
n
3x
3y
0
则
n
-x
2z
,取z=1,
MN
0
8
则x=
2,y=-6,∴n=(2,-
6,1).
nMB
∴点B到平面CMN的距离d=
42.
n
3
例3
(16分)如图所示,四棱锥
P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=
3,点
F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°.
(1)解当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,∴EF∥PC.
又EF平面PAC,而PC平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
4分
(2)证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0,1),B(0,1,0),
F(0,1,1),D(3,0,0).
22
设BE=x,则E(x,1,0),
PE·AF=(x,1,-1)·(0,1
,1)=0,
2
2
∴PE⊥AF.
10分
(3)解
设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),
由
(2)知PD=(3,0,-1),PE=(x,1,-1)
m
PD
0
1
x
1.
12分
由
,得m=
1
m
PE
0
3
3
而AP=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°,
∴sin45°=2=
mAP
,
2
mAP
∴
1
=1
14分
1
2
2
1
x
1
3
3
得BE=x=
3-2或BE=x=
3+
2>
3(舍去).
故BE=3-2时,PA与平面PDE所成角为45°.16分
9
1.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
解
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示)
,
则O(0,0,0),
A(0,-32,0),B(3
2,0,0),D(0,-32,8),
E(0,0,8),F(0,3
2,0),
∴BD=(-32,-3
2,8),EF=(0,3
2,-8).
cos〈BD,EF〉=BD
EF=
018
64=-
82.
BDEF
100
82
10
设异面直线BD与EF所成角为
,则
cos=|cos〈BD,EF〉|=
82.
10
即直线BD与EF所成的角的余弦值为
82.
10
2.已知:
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为
4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:
平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
B(22,22,0),E(22,2,0),
F(2,22,0),D1(0,0,4),
B1(22,22,4).
EF=(-2,2,0),DB=(22,22,0),DD1=(0,0,4),
∴EF·BD=0,EF·DD1=0.
∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,
∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)解由
(1)知DB=(2
2,2
2,0),
1
1
EF=(-
2,2,0),BE=(0,-
2,-4).
1
设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)
则n⊥EF,n⊥B1E
10
即n·EF=(x,y,z)·(-2,2,0)=-2x+2y=0,
n·B1E=(x,y,z)·(0,-
2,-4)=-
2y-4z=0,
令x=1,则y=1,z=-
2
∴n=(1,1,-
2)
4
4
∴D1到平面B1EF的距离
d=
D1B1n
22
22
=
1617.
=
n
2
2
17
12
12
4
3.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,
BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
解方法一
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0),B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,
2)、
E(0,1
,1),
2
从而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).
设AC与PB的夹角为
,
则cos
=ACPB=
3
=37,
ACPB
27
14
∴AC与PB所成角的余弦值为37.14
(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则NE=(-x,1,1-z),由NE⊥平面PAC可
2
得
x,1,1
z
(0,0,2)
0
NE
AP
0,即
2
NE
AC
0
x,1,1
z
(3,1,0)
0
2
z
10
∴x
3
化简得
1
6
3x
0
2
1
z
即N点的坐标为(
3,0,1),从而N点到AB、AP的距离分别为
1,3.
6
6
方法二
(1)设AC∩BD=O,
连接OE,AE,BD,
则OE∥PB,
11
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=1PB=
7,AE=1PD=
5,
2
2
2
2
∴由余弦定理得
1
7
5
3
7
4
4
cos∠EOA=
7
14
2
1
2
即AC与PB所成角的余弦值为37.14
(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=
.连接PF,则在Rt△ADF中,
6
DF=
AD
=23,
cos
ADF
3
AF=AD·tan∠ADF=3.
3
设N为PF的中点,连接NE,则NE∥DF.
∵DF⊥AC,DF⊥PA,
∴DF⊥平面PAC,从而NE⊥平面PAC.
∴N点到AB的距离为1AP=1,
2
N点到AP的距离为1
AF=
3.
2
6
一、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈DB1,CM〉的值等于.
答案
210
15
2.正方体ABCD—ABCD的棱长为1,O是AC的中点,则点O到平面ABCD的距离为
.
1
1
1
1
1
1
1
1
答案
2
4
3.(2008·全国Ⅰ理,
11)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△
ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于
.
答案
2
3
4.P是二面角—AB—
棱上的一点,分别在
、
平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠
MPN=60°,那么二面角
—AB—
的大小为
.
答案90°
5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为BB1、CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.
12
答案
3
5
10
6.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1
中,AA⊥底面ABC,AB=BC=AA,∠ABC=90°,
1
1
点E、F分别是棱AB、BB的中点,则直线
EF和BC所成的角是
.
1
1
答案60°
7.如图所示,已知正三棱柱
ABC—A1B1C的所有棱长都相等,
D是AC的中点,则直线AD
1
1
1
与
平面B1DC所成角的正弦值为.
答案4
5
8.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面
PAC所成的角是.
答案30°
二、解答题
9.如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,
BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.
求AB与平面BDF所成角的正弦值.
解以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的
空间直角坐标系,则
B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1).
∴BD=(0,2,1),DF=(1,-2,0).
设平面BDF的一个法向量为
n=(2,a,b),
∵n⊥DF,n⊥BD,
∴
nDF0
nBD0
即(2,a,b)
(1,2,0)
0
(2,a,b)
(0,2,1)
0
解得a=1,b=-2.∴n=(2,1,-2).
设AB与平面BDF所成的角为
,则法向量n与BA的夹角为
-,
2
∴cos(
-)=
BAn
=
2,0,0
2,1,2
=
2
2
BAn
2
3
3
即sin
=2
故AB与平面BDF所成角的正弦值为2.
3
3
10.在五棱锥P—ABCDE中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2
2a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=
∠DEA=90°.
(1)求证:
PA⊥平面ABCDE;
(2)求二面角A—PD—E的余弦值.
(1)证明以A点为坐标原点,以AB、AE、AP所在直线分别为x、y
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