运动学图像追及相遇问题.docx
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运动学图像追及相遇问题
专题强化一运动学图象追及相遇问题
专题解读1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用,为高考必考内容,多以选择题形式命题.
2.学好本专题,可以提高同学们通过画运动情景示意图和v-t图象分析和解决运动学问题的
能力.
3.用到的知识有:
x-t图象和v-t图象的理解,匀变速直线运动的规律,临界条件的确定,极值思想等数学方法.
一、运动学图象
1.直线运动的x-t图象
(1)图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小
②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向
(3)交点
两图线交点,表示两物体相遇.
2.直线运动的v-t图象
(1)图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小
②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向
(3)两种特殊的v-t图象
①匀速直线运动的v-t图象是与横轴平行的直线
②匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线
图1
①图象与时间轴围成的面积表示位移.
②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负.
(5)交点两图线交点表示此时两物体速度相同.
自测1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动,它们的位移—时间(x-t)图象
A.甲、乙两物体始终同向运动
B.第4s末时,甲、乙两物体间的距离最大
C.甲的平均速度等于乙的平均速度
D.乙物体一直做匀加速直线运动
答案C
2~4s内两者反向运动,选项A错误;
B错误;由题图知在0~4s内,甲、
解析由题图可知在0~2s内,甲、乙同向运动,在第4s末两物体相遇,两物体间的距离不是最大,选项
乙的位移都是2m,故平均速度相等,选项C正确;根据图线斜率的绝对值等于速度的大小,可知乙物体一直做匀速直线运动,选项D错误.
自测2如图3所示,为某物体做直线运动的v-t图象,由此可知()
A.前1s物体的位移大小为1m
B.前2s末物体的瞬时速度大小为2m/s
C.前3s内物体的加速度大小为3m/s
D.前3s物体做匀变速直线运动答案A
解析在v-t图象中,相应图线与时间轴所围的面积表示位移,由题图知,前1s内物体的
位移大小x=12×1×2m=1m,选项A正确;在1~3s内由题图得,物体的加速度a=ΔΔvt=
2
v=v0+at=2m/s-1m/s×1s=1m/s,选项B、
C错误;第1s内物体做匀加速直线运动,1~3s内物体做匀减速直线运动,选项D错误.
、追及与相遇问题
1.概述当两个物体在同一条直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.
2.两类情况
(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度.
(2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者的速度相等时,两者相距最近.
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇:
两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离.
(2)相向运动的两物体相遇:
各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.自测3平直公路上的甲车以10m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当甲车经过乙车旁边时,乙车立即以大小为1m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动,从乙车加速开
始计时,则()
A.乙车追上甲车所用的时间为10s
B.乙车追上甲车所用的时间为20s
C.乙追上甲时,乙的速度是15m/s
D.乙追上甲时,乙的速度是10m/s
答案B
解析设乙车追上甲车所用的时间为t,则有v甲t=21at2,解得t=20s,选项A错误,B正确;由v=at得,乙车追上甲车时,乙车速度v乙=20m/s,选项C、D错误.
命题点一运动学图象的理解和应用
1.x-t图象与v-t图象的比较
x-t图象
v-t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动;曲线表示
倾斜直线表示匀变速直线运动;曲线表
变速直线运动
示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动,乙做速度逐渐减小
的直线运动
丙做匀加速直线运动,丁做加速度逐渐
减小的变加速直线运动
位移
0~t1时间内甲、乙位移相等
0~t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0~t1时间内甲、乙平均速度相等
0~t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2.三点说明
(1)x-t图象与v-t图象都只能描述直线运动,且均不表示物体运动的轨迹;
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系;
(3)识图方法:
一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.
例1(多选)如图4,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x-t)图线,由图可知()
A.在时刻t1,a车追上b车
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加
D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大
答案BC
解析由题图可知,t1时刻,b车追上a车,故A错误;x-t图象的斜率表示速度,由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负,故两车运动方向相反,B正确;由b图线的斜率的变化
可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加,C正确;如图所示,在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等,此时两车的速率相等,故D错误.
例2(2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t=0到t=t1的时间内,它们的v—t图象如图5所示.在这段时间内()
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
v1+v2
2
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大答案A
解析根据v—t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移,可以看出汽车甲的位移x甲大于
汽车乙的位移x乙,选项C错误;根据v=xt得,汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙,选项A正确;汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移v1+v2
x,即汽车乙的平均速度小于v122,选项B错误;根据v—t图象的斜率反映了加速度的大小,因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小,选项D错误.
变式1甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图
A.
甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0=60m处
C.乙车的加速度大小为1.6m/s2
D.5s时两车相遇,此时甲车速度较大
答案C
12
乙车做匀减速直线运动,可看做是反方向的匀加速直线运动,则有x=21at2.由题图可知,当其
1
反向运动5s时,位移为20m.则有20=2a·52,得加速度大小a=1.6m/s2.因其共运动了10s,可得x0=12×1.6×102m=80m.C对,B错;t=5s时,两车相遇,但甲车速度v甲=4m/s小于乙车速度v乙=8m/s,D错.
变式2(2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度-时间图象,则下列说法中正确的是()
A.在0~t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B.甲质点在0~t1时间内的加速度与乙质点在t2~t3时间内的加速度相同
C.甲质点在0~t1时间内的平均速度小于乙质点在0~t2时间内的平均速度
D.在t3时刻,甲、乙两质点都回到了出发点
答案A
解析因在0~t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等,说明位移相等,则甲、乙两质点的平均速度相等,故A项正确;在0~t1时间内,甲的图线斜率为正值,加速度为正方向,在t2~t3时间内,乙的图线斜率为负值,加速度为负方向,两个加速度不相同,故B项错误;甲质点在0~t1时间内的平均速度等于0+2v0=v20,乙质点在0~t2时间内的平均速度等于0+2v0=v20,故C项错误;由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均
做单向直线运动,不可能回到出发点,故D项错误.
拓展点1非常规图象
1.三类图象
(1)a-t图象:
由v=v0+at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv,如图8甲所示;
(2)xt-t图象:
由x=v0t+12at2可得xt=v0+21at,图象的斜率为21a,如图乙所示.
图8
(3)v2-x图象:
由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,图象斜率为2a.
2.解题技巧
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,来分析图象的意义.
例3一质点沿直线运动,如图
9所示是从t=0时刻开始的质点的xt-t图象(x为位移),可
以推知()
解析由题意可得图线的函数表达式为
xt=1+21t,即x=t+21t2,又因为匀变速直线运动中位
v2-x图象如图10所示.关于汽
移公式为x=v0t+12at2,根据对应关系得v0=1m/s,a=1m/s2>0,因此质点做匀加速运动,故A项错误,B项正确.当t=2s时,根据公式v=v0+at,求出速度是3m/s,故C项错误;当t=2s时,代入表达式x=t+12t2,可得位移是4m,故D项错误.
变式3(2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动,其
车的运动,下列说法错误的是(
图10
A.汽车的初速度为4m/s
B.汽车的加速度大小为0.5m/s2
C.汽车第4s末的速度为2m/s
D.汽车前10s内的位移为15m答案D
解析由题图可知初始时速度的平方为16m2/s2,则汽车的初速度v0=4m/s,A项正确.由题
图可知v2与x的关系式为v2-42=-x,再与公式v2-v02=2ax对比可知汽车做匀减速直线运动,加速度a=-0.5m/s2,B项正确.由v=v0+at,可得汽车第4s末的速度为v4=4m/s
拓展点2图象间的相互转化
例4一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始
运动的方向为正方向,则下列关于物体运动的v-t图象正确的是()
答案C
命题点二追及相遇问题
1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件:
速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点;
(2)两个等量关系:
时间等量关系和位移等量关系,通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
2.能否追上的判断方法
物体B追赶物体A:
开始时,两个物体相距x0,到vA=vB时,若xA+x0
3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
4.三种方法
(1)临界法:
寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法:
设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)
=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个
物体能相遇.
(3)图象法.①若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移图象相交,则说明两物体相遇.
②若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
例5甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶,甲车在前,速度为v1=8m/s,乙车在后,速
度为v2=16m/s,当两车相距x0=8m时,甲车因故开始刹车,加速度大小为a1=2m/s2,为
避免相撞,乙车立即开始刹车,则乙车的加速度至少为多大?
答案6m/s2
解析方法一:
临界法
设两车速度相同时均为v,所用时间为t,乙车的加速度大小为a2,则v1-a1t=v2-a2t=v,
v2t=v2t-x0,解得t=2s,a2=6m/s2,即t=2s时,两车恰好未相撞,显然此后在停止运动前,甲的速度始终大于乙的速度,故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6m/s2.
方法二:
函数法
1212甲、乙运动的位移:
x甲=v1t-2a1t2,x乙=v2t-2a2t2避免相撞的条件为x乙-x甲 即21(a2-a1)t2+(v1-v2)t+x0>0代入数据有(a2-2)t2-16t+16>0不等式成立的条件是: Δ=16-4×16(a2-2)<0,且a2-2>0解得a2>6m/s2. 变式4(多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图象如图12 所示.已知两车在t=3s时并排行驶,则() A.在t=1s时,甲车在乙车后 B.在t=0时,甲车在乙车前7.5m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m 答案BD解析由题中v-t图象得a甲=10m/s2,a乙=5m/s2,两车在t=3s时并排行驶,此时x甲= 121212122a甲t2=2×10×32m=45m,x乙=v0t+2a乙t2=10×3m+2×5×32m=52.5m,所以t=0时 12甲车在前,距乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5m,B项正确.t=1s时,x甲′=2a甲t′2=5m,x乙′=v0t′+12a乙t′2=12.5m,此时x乙′=x甲′+L=12.5m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′=x乙-x乙′=40m, 故D项正确. 变式5(2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动,它们的速度-时间图象如图13所示,则() 图 13 A.甲、乙两车同时从静止开始出发 B.在t=2s时乙车追上甲车 C.在t=4s时乙车追上甲车 D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次 答案C .图1所示为某前锋球员 () 1.(多选)(2017河·北唐山一中模拟)在足球比赛中,跑位技术相当重要在时间t0内沿直线跑位的速度-时间图象,则在这段时间内,该球员 A.运动方向不变 B.运动的加速度方向不变 C.先做加速运动后做减速运动 D.运动的加速度先减小后增大答案AC 解析因v-t图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动,后做加速度先增大后减小的减速运动,其运动方向不变,则A、C正确,B、D错误. 2.(多选)(2017山·西五校四联)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,其速度-时间图象如图2 所示.下列说法正确的是() 图2 A.乙车做曲线运动 B.0~10s内,乙车的位移大于甲车的位移 C.t=10s时,两车可能相遇 D.0~10s内,必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同 答案BCD 解析因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,则甲、乙两车均做直线运动,因v-t图象中 图线的斜率表示加速度,则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动,甲车做匀加速直线运动,且t=0时a乙>a甲,t=10s时a乙<a甲,则0~10s内必有某一时刻a乙=a甲,A项错误,D项正确.因v-t图象中图线与t轴所围面积表示位移,则由题图可知0~10s内 乙车位移大于甲车位移,因题中没明确甲、乙出发位置,则t=10s时两车可能相遇,B、C 项正确. 3.(2017河·北唐山一模)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动,二者运动的v-t 图象如图3所示,下列说法正确的是() 图3 A.a、b两物体运动方向相反 B.a物体的加速度小于b物体的加速度 C.t=1s时两物体的间距等于t=3s时两物体的间距 D.t=3s时,a、b两物体相遇 答案C 解析由题图可知a、b两物体的速度均为正值,则a、b两物体运动方向相同,A项错误. 因v-t图象中图线的斜率表示加速度,则a的加速度大于b的加速度,B项错误.v-t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移,因为t=1s到t=3s,a图线和b图线与t轴所围的面积 相等,即此时间段两物体位移相同,则t=1s时两物体的间距等于t=3s时两物体的间距, C项正确.由题图可知t=3s时,xb>xa,又a和b同时、同地出发,同向运动,所以t=3s 时,b在a前方,D项错误. 4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x-t图象如图4所示,以甲的出发点为原点,出 发时刻为计时起点.则从图象可以看出() 图4 A.t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.乙比甲先出发 C.甲开始运动时,乙在甲前面x0处 D.甲在中途停了一会儿,最终也没追上乙 答案AC 解析在t2~t3这段时间内,甲的位移大于乙的位移,由v=xt,所以甲的平均速度大于乙的 平均速度,A项正确.由题图知乙和甲同时出发,且乙在甲前面x0处,故B项错误,C项正确.在t3时刻,甲追上了乙,D项错误. 5.(多选)一质点做直线运动的v-t图象如图5所示,下列选项正确的是() B.质点在0~2s内的加速度比4~6s内的加速度大 C.在第4s末,质点离出发点最远 D.在0~6s内,质点的平均速度为5m/s 答案AD 解析由题图可知,在2~4s内,质点做匀速直线运动,所以所受合外力为零,A对.由题图 可知,质点在0~2s内加速度大小为5m/s2,4~6s内加速度大小为10m/s2,B错.由题图可知,在第5s末,质点离出发点最远,C错.在0~6s内,质点的平均速度v=xt=5m/s,D对. 6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图象如图6所示,该图线的斜率为k,图中阴影部分面积为S,下列说法正确的是() 图6 A.斜率k表示速度变化的快慢 B.斜率k表示速度变化的大小 C.面积S表示t1~t2的过程中质点速度的变化量 D.面积S表示t1~t2的过程中质点的位移答案C 7. 图7是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图象(x-t图象),P(t1,x1)为图象上一点.PQ A.t1时刻,质点的速率为xt11 x1-x2 B. t1 t1时刻,质点的速率为x12 x1-x2 C. 质点的加速度大小为x1-t12x2 答案B 8. 图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移—时间图 图8 A.由图甲可知,质点做曲线运动,且速度逐渐增大 B.由图甲可知,质点在前10s内的平均速度大小为4m/s C.由图乙可知,质点在第4s内的加速度方向与物体运动的方向相反 D.由图乙可知,质点在运动过程中,加速度大小的最大值为15m/s2 答案D 9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶,在某段时间内两车的v-t图象如图9所 示,初始时,小张在小王前方x0处.下列说法正确的是() A.若x0=18m,两车相遇1次 B.若x0<18m,两车相遇2次 C.若x0=36m,两车相遇1次 D.若x0=54m,两车相遇1次答案AB 10.(2018安·徽马鞍山模拟)一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动,其速度v随时间t变化的规律如图10所示,在连续两段时间m和n内对应面积均为S,则经过b时刻的速度大小为 () 图10 根据x=v0t+21at2,得: S=v1m-21am2 S=v2n-21an2 图11 (1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小. (2)若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时(t=0)两车的距离x0应满足什么条件? 答案 (1)12m/s3m/s2 (2)x0>36m 解析 (1)在t1=1s时A车刚启动,两车间缩短的距离x1=vBt1 代入数据解得B车的速度vB=12m/s A车的加速度a=-tt2-t1 将t2=5s和其余数据代入解得A车的加速度大小a=3m/s2 (2)两车的速度达到相等时,两车的距离达到最小,对应于v-t图象的t2=5s时刻,此时两车已发生的相对位移为梯形的面积,则x=12vB(t1+t2) 代入数据解得x=36m 因此,若A、B两车不会相撞,则两车的距离x0应满足条件: x0>36m. 12.斜面长度为4m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑 时,其下滑距离x与初速度二次方v02的关系图象(即x-v02图象)如图12所示.
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