连续时间混沌系统MATLAB程序和SIMULINK模型.doc
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第6章连续时间混沌系统
本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法,主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。
6.1混沌数值仿真和硬件实验方法简介
混沌的数值仿真主要包括MATLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法,从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。
混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件(FPGA)、数字信号处理器(DSP)等硬件实现方法来产生混沌信号。
本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。
1)混沌系统的MATLAB数值仿真
该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MATLAB程序。
现举二例来说明这种编程方法。
(1)已知Lorenz系统的状态方程为
dx/dt=-a(x-y)
dy/dt=bx-xz-y
dz/dt=-cz+xy
式中a=10,b=30,c=8/3。
MATLAB仿真程序如下:
>>%**************************************************
Functiondxdt=lorenz(t,x)
%除符号dxdt外,还可用其他编程者习惯的有意义的符号
A=10;
B=30;
C=8/3;
dxdt=zeros(3,1);
dxdt
(1)=-A*(x
(1)-x
(2));
dxdt
(2)=B*x
(1)-x
(1).*x(3)-x
(2);
dxdt(3)=x
(1)*x
(2)-C*x(3);
%*************************************************
options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-61e-61e-6]);
t0=[0200];
x0=[0.02,0.01,0.03];
[t,x]=ode45('lorenz',t0,x0,options);
%**************************************************
n=length(t)
n1=round(n/2)
%n1=1;
%**************************************************
figure
(1);
plot(t(n1:
n,1),x(n1:
n,1));
xlabel('t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
figure
(2);
plot(x(n1:
n,1),x(n1:
n,3));
xlabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('z','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
%*******************************************************************
根据上述MATLAB程序,得Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-1所示。
图6-1Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的MATLAB数值仿真结果
(2)已知Chua系统的状态方程为
dx=a[y-f(x)]
dy=x-y+z
dz=-by
式中a=10,b=15,m0=-1/7,m1=2/7,f(x)=m1*x+0.5(m0-m1)[|x+1|-|x-1|]为三分段非线性函数
MATLAB仿真如下:
functiondxdt=chua(t,x)
m0=-1/7;m1=2/7;
a=10;
b=15;
%*******************************************
dxdt=zeros(3,1);
f=m1*x
(1)+0.5*(m0-m1)*(abs(x
(1)+1)-abs(x
(1)-1));
dxdt
(1)=a*(x
(2)-f);
dxdt
(2)=x
(1)-x
(2)+x(3);
dxdt(3)=-b*x
(2);
%*****************************************************
options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-61e-61e-6]);
t0=[05e+2];
x0=[0.010.020.03];
[t,x]=ode45('chua',t0,x0,options);
%****************************************************
n=length(t)
n1=round(n/2)
%******************************************************
figure
(1);
plot(t(n1:
n),x(n1:
n,1));
xlabel('t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
figure
(2);
plot(x(n1:
n,1),x(n1:
n,2));
xlabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('y','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
%********************************************************
根据上述MATLAB程序,得Chua系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-2所示。
图6-2Chua系统的时域波形图和混沌吸引子相图的MATLAB数值仿真结果
2)混沌系统的SIMULINK仿真
该方法主要是根据混沌系统的状态方程,将其转换成积分方程,利用模块和积分算子画出SIMULINK的模块化仿真图。
为保证计算的精确度,又不使仿真时间过长,应对仿真图中几个重要参数进行设置。
第一个参数是仿真时间:
第二个参数是相对误差,通常设为;第三个参数是绝对误差,通常设为,现举二例来说明这种编程方法。
(1)已知Lorenz系统的状态方程仍如(6-1)式,将其转换成积分方程:
dx/dt=-a(x-y)
dy/dt=bx-xz-y
dz/dt=-cz+xy
注意,SIMULINK仿真中的微分子算子为S,积分算子为,故得SIMULINK的仿真如图6-3所示,设其文件名为“simulink_lorenz”,再利用文件名为“y_simulink_lorenz”的程序运行“simulink_lorenz”。
程序如下:
[t,x]=sim('simulink_lorenz',200);
n=length(t)
n1=round(n/2)
%*********************************************
figure
(1);
plot(t(n1:
n,1),x(n1:
n,1));
xlabel('t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle’,'italic');
figure
(2);
plot(x(n1:
n,1),x(n1:
n,3));
xlabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
ylabel('z','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic');
%********************************************************
运行结果仍如图6-1所示。
图6-3Lorenz系统的SIMULINK仿真图
(2)已知Chua系统的状态方程仍如(6-2)式,得SIMULINK的仿真图如图6-4所示。
设其文件名为“simulink_chua”,再利用文件名为“y_simulink_chua”的程序运行“simulink_chua”。
程序如下:
%*******************************************
%globala;
a=10;
[t,x]=sim('simulink_chua',500);
n=length(t)
n1=round(n/2)
%********************************************
figure
(1);
plot(t(n1:
n,1),x(n1:
n,1));
xlabel('t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic');
ylabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic');
figure
(2);
plot(x(n1:
n,1),x(n1:
n,2));
xlabel('x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic');
ylabel('y','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic');
运行结果仍如图6-2所示。
(a)SIMULINK主框图 (b)三分段线性函数f的SIMULINK子框图
图6-4Chua系统的SIMULINK仿真图
3)连续混沌系统离散化的MATLAB数值仿真
当用DSP和FPGA等现代数字器件来产生混沌信号时,首先需要将连续混沌系统作离散化处理。
离散化和数字化处理方法主要有三种,利用这些离散化的方法,可将状态方程变成差分方程,这些方法将在后续章节中详细介绍。
这里采用了一种较简单的Euler算法。
(1)已知Lorenz系统的状态方程仍如(6-1)式,根据Euler算法
得对应的差分方程为
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