六年级数学专题详解容斥原理.docx
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六年级数学专题详解容斥原理
容斥原理
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中,已经知道,求两个集合并集的元素个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数,用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理,简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数,可以分一下两步进行:
第一步:
分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来。
即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数,即减去|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素的个数)。
例1.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少?
解:
设I={1、2、3、…、19、20},A={I中2的倍数},B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数,即求|A∪B|。
我们知道A={2、4、6、……、20},所以|A|=10,
B={3、6、9、12、15、18},|B|=6。
A∩B={I中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18},所以|A∩B|=3,
根据容斥原理有|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|=10+6–3=13.
答:
所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下:
例2.某班统计考试成绩,数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中至少有一科在90分以上的有38人,问两科都在90分以上的有多少人?
解:
设A={数学在90分以上的学生},B={语文在90分以上的学生},
由题意知|A|=25,|B|=21。
A∪B={数学、语文至少一科在90分以上的学生},|A∪B|=38。
A∩B={数学、语文都在90分以上的学生},
由容斥原理知|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|,
所以|A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=25+21–38=8。
答:
两科都在90分以上的有8人。
画图分析一下:
其中A的人数是x+n=25,B的人数是y+n=21,A∪B的人数是x+n+y=38,求n等于多少?
很明显n=(x+n)+(y+n)–(x+y+n)=25+21–38=8。
例3.如图所示,一个边长为2的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上,它们所盖住的面积有多大?
解:
如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13,就会发现多计算了一块阴影的面积,应该从上面的和中减去这一部分。
因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。
例4.有100位旅客,其中10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语。
问既懂英语又懂俄语的有多少人?
解:
设A={懂英语的旅客},B={懂俄语的旅客},那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A∪B,而两种语言都懂的旅客是A∩B。
由题意|A|=75,|B|=83,|A∪B|=100–10=90,
根据容斥原理得|A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68.
答:
两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C,我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|。
三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A∪B∪C的元素个数,可以分三步进行:
第一步:
求|A|+|B|+|C|;
第二步:
减去|A∩B|,|B∩C|,|C∩A|;
第三步:
加上|A∩B∩C|。
结合下图作出说明。
由于A∪B∪C可以有七个部分组成,其中I、II、III部分的元素仅属于某个集合,而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合,第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C,因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里,第I、II、III部分的元素只计算了一次,而第IV、V、VI部分的元素各自计算了两次,第VII部分的元素计算了三次。
在第二步中减去了|A∩B|,|B∩C|,|C∩A|后,得|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|,
这样显然消除了第IV、V、VI部分的元素的重复计算,但是请注意同时对第VII部分的元素是减去了三次,这样第VII部分的元素都被减去了,因此必须补回来,即再加上|A∩B∩C|。
综上所述得|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|。
例5.某校组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。
参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有51人,参加国际象棋比赛的有30人。
同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人,同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人,同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人,其中三种棋都参加的有3人。
问参加棋类比赛的共有多少人?
解:
设A={参加围棋比赛的人},B={参加中国象棋比赛的人},C={参加国际象棋比赛的人}。
那么参加棋类比赛的人的集合为A∪B∪C。
由题意知,|A|=42,|B|=51,|C|=30,又|A∩B|=13,|A∩C|=7,|B∩C|=11,|A∩B∩C|=3。
根据容斥原理得
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|=42+51+30–13–7–11+3=95(人)。
答:
参加棋类比赛的共有95人。
画图来计算:
A、B、C三个圆表示三个集合,先把三个圆相交的最中间部分填上3,
由于同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人,所以第IV部分应该是10人;
同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人,所以第V部分应该是8人;
同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人,所以第VI部分应该是4人;
再根据参加围棋比赛的有42人,于是第I部分是42–10–3–4=25人;
参加中国象棋比赛的有51人,于是第II部分是51–10–3–8=30人;
参加国际象棋比赛的有30人。
于是第III部分是30–8–3–4=15人;
由此得出参加棋类比赛的总人数是25+30+15+10+8+4+3=95(人)。
例6.边长分别为6、5、2的三个正方形,如图所示放在桌面上,问它们所盖住的面积是多大?
解:
设R表示正方形区域ABCD,M表示正方形区域A1B1C1D1,N表示正方形区域A2B2C2D2,则|R|=36,|M|=25,|N|=4,|R∩M|=9,|R∩N|=2,|M∩N|=2,|R∩M∩N|=1,
所以|M∪M∪N|=|R|+|M|+|N|–|R∩M|–|R∩N|–|M∩N|+|R∩M∩N|
=36+25+4–9–2–2+1=53.
答:
三个正方形所盖住的面积是53.
例7.某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。
已知手中有红球的共有34人,手中有黄球的共有26人,手中有篮球的共有18人,其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人,而手中只有红、黄两种球的有9人,手中只有黄、蓝两种球的有4人,手中只有红、蓝两种球的有3人,那么这个班共有多少人?
解:
设A、B、C分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合,
由题意,画出图来逐一填上人数计算。
最中间应该填上6,由手中只有红、黄两种球的有9人,手中只有红、蓝两种球的有3人,手中只有黄、蓝两种球的有4人,则在区域VI、V、VI中分别填上9、3、4。
最后由手中有红球的共有34人,手中有黄球的共有26人,手中有篮球的共有18人,可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
所以全班共有16+7+5+9+3+4+6=50(人)。
答:
全班共有50人。
解法2:
设A、B、C分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合,
则|A|=34,|B|=26,|C|=18,所以|A|+|B|+|C|=34+26+18=78,
显然这样的计算中对于区域IV、V、VI的部分重复计算了一次(需要减去1次),而对于区域VII的部分重复计算了两次,也就是计算了三次(需要减去2次)。
所以全班人数是34+26+18–(9+4+3)–2×6=50(人)。
答:
全班共有50人。
例8.求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个?
解:
设A={1到200中间能被2整除的自然数};B={1到200中间能被3整除的自然数};C={1到200中间能被5整除的自然数};
那么A∩B={1到200中间能被2×3整除的自然数};A∩C={1到200中间能被2×5整除的自然数};B∩C={1到200中间能被3×5整除的自然数};A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数};
求出|A|=100,|B|=66,|C|=40,|A∩B|=33,|A∩C|=20,|B∩C|=13,|A∩B∩C|=6,
所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146.
这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、5中一个数整除的数的个数。
所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有200–146=54(个)。
练习题
1.某班有团员23人,这个班里男生共有20人,则这个班里女生团员比男生非团员多人。
解:
设男生团员为x人,则女生团员为23–x若,男生非团员为20–x人,
所以这个班里女生团员比男生非团员多(23–x)–(20–x)=3(人)。
答:
这个班里女生团员比男生非团员多3人。
2.一张纸片的面积为7,另一张是边长为2的正方形纸片,把这两张纸片放在桌子上,覆盖的面积为8,则两张纸片重合部分的面积是。
解:
设第一张纸片为A,第二张纸片为B,
则|A|=7,|B|=4,|A∪B|=8,所以|A∩B|=7+4–8=3.
答:
两张纸片重合部分的面积是3.
3.从1到100的自然数中,
(1)不能被6或10整除的数有个;
(2)至少能被2、3、5中一个数整除的数有个。
解:
(1)设A={1到100中被6整除的数},B={1到100中被10整除的数},
A∩B={1到100中被30整除的数},其中30是6与10的最小公倍数。
则|A|=16,|B|=10,|A∩B|=3,所以|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|=16+10–3=23.
在1到100中能被6或10整除的数有23个,不能被6或10整除的数有100–23=77(个)。
答:
不能被6或10整除的数有77个。
(2)设C={1到100中被2整除的数};D={1到100中被3整除的数};E={1到100中被5整除的数};C∩D={1到100中既能被2整除又能被3整除的数};C∩E={1到100中既能被2整除又能被5整除的数};D∩E={1到100中既能被3整除又能被5整除的数};C∩D∩E={1到100中同时能被2、3、5整除的数};
|C|=50、|D|=33,|E|=20,|C∩D|=16,|C∩E|=10,|D∩E|=6,|C∩D∩E|=3,
所以|C∪D∪E|=|C|+|D|+|E|–|C∩D|–|C∩E|–|D∩E|+|C∩D∩E|
=50+33+20–16–10–6+3=74(个)。
答:
至少能被2、3、5中一个数整除的数有74个。
4.盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:
要可乐、雪碧、果汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、果汁都要的有2人;雪碧、果汁都要的有2人,三样都要的只有1人。
证明:
其中有1人这三种饮料都没有要。
解:
设A={要可乐的同学},B={要雪碧的同学},C={要果汁的同学},
则|A|=5,|B|=5,|C|=5,|A∩B|=3,|A∩C|=2,|B∩C|=2,|A∩B∩C|=1,
所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|
=5+5+5–3–2–2+1=9(人)。
可见一定有1人没有要饮料。
5.对100个学生课外学科活动的调查结果如下:
32人参加数学小组;20人参加英语小组;45人参加生物小组。
其中15人既参加了数学小组又参加了生物小组;7人既参加了英语小组又参加了数学小组;10人既参加了英语小组又参加了生物小组。
还有30人没有参加上述任何一个学科小组。
(1)求三个学科小组都参加的人数;
(2)在文氏图的8个小区域内填入相应的学生人数,其中A、B、C分别代表参加数学、英语、生物小组的学生的集合,被调查的100个学生的集合为全集I。
解:
(1)设A={参加数学小组的学生};B={参加英语小组的学生};C={参加生物小组的学生};A∩B={既参加数学小组又参加英语小组的学生};A∩C={既参加数学小组又参加生物小组的学生};B∩C={既参加英语小组又参加生物小组的学生};A∩B∩C={三个小组都参加的学生},A∪B∪C={三个小组中至少参加一个小组的学生}
则|A|=32,|B|=20,|C|=45,|A∩B|=7,|A∩C|=15,|B∩C|=10,
|A∪B∪C|=100–30=70.
根据容斥原理
|A∩B∩C|=|A∪B∪C|–|A|–|B|–|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|
=70–32–20–45+7+15+10=5(人)。
答:
三个小组都参加的有5人。
(2)
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