第9章 无穷级数.docx
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第9章无穷级数
第九章无穷级数
第一节常数顶级数的概念和性质
教学目的与要求
1.熟练掌握级数的概念
2.理解收敛级数的性质
教学重点
1.用定义判断级数的敛散性
2.级数收敛的必要条件
教学难点
级数收敛的性质3、性质4
教学时数2课时
教学过程
一.常数项级数的概念
1.导入引例
①计算圆的面积
②
2.常数项级数的概念
若给定一个数列,由它构成的表达式
(1)
称之为常数项无穷级数,简称级数,记作。
为给出级数中无限多个数量相加的数学定义,我们引入部分和概念。
作级数
(1)的前项之和
(2)
称为级数
(1)的部分和。
根据部分和数列
(2)是否有极限,我们给出级数
(1)收敛与发散的概念。
定义当无限增大时,如果级数
(1)的部分和数列
(2)有极限,即
则称级数
(1)收敛,这时极限叫做级数
(1)的和,并记作
;
如果部分和数列
(2)无极限,则称级数
(1)发散。
当级数
(1)收敛时,其部分和是级数和的近似值,它们之间的差值
叫做级数的余项。
3.级数的敛散性举例
【例1】判断级数
的敛散性
【例2】证明级数
收敛,并求其和
【例3】讨论等比级数
的敛散性
【例4】判断级数
的敛散性
【例5】判断级数
的敛散性,若收敛,求其和
二、级数的基本性质
【性质一】设有级数
分别收敛于与,则级数
也收敛,且和为。
据性质二,我们可得到几个有用的结论:
1、若收敛,而发散,则必发散。
2、若、均发散,那么可能收敛,也可有发散。
【性质二】如果级数
收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数
也收敛,且和为。
【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项,不会影响级数的敛散性,不过在收敛时,一般来说级数的和是要改变的。
【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。
注意:
1、如果级数加括号之后所形成的级数发散,则级数本身也一定发散。
显然,这是性质四的逆否命题。
2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。
【例6】证明调和级数
是发散的
三、级数收敛的必要条件
【定理】级数收敛的必要条件是。
注意:
1.必须指出,级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。
2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)
【例7】判断级数
的敛散性
作业:
P365,4(3),5
(1),(5),(7)
第二节正项级数
教学目的与要求:
1.了解正项级数收敛的充要条件;
2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法;
3.掌握正项级数的比值审敛法;
4.掌握p级数的收敛性。
教学重点:
比较审敛法的一般形式和极限形式,比值审敛法,根值审敛法
教学难点:
比较审敛法、比值审敛法定理的证明
教学时数4
教学过程
一.正项级数
1.正项级数的定义
若级数中的各项都是非负的(即),则称级数为正项级数。
2、正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。
【例1】判断级数
的敛散性
二.比较审敛法
1、基本审敛法
【比较审敛法】给定两个正项级数、
(1)、若,而收敛,则亦收敛;
(2)、若,而发散,则亦发散。
这里,级数称作级数的比较级数。
总结:
大的收敛,则小的收敛
小的发散,则大的发散
由于级数的每一项同乘以一个非零常数,以及去掉其有限项不会影响它的敛散性,比较审敛法可改写成如下形式
2.【推论】设为正数,为正整数,、均为正项级数
(1)、若,而收敛,则亦收敛;
(2)、若,而发散,则亦发散。
【例2】证明级数
是发散的
【例3】讨论级数
的敛散性,其中。
【例4】判断级数
的敛散性
【例5】判断级数
的敛散性
【例6】判断级数
的敛散性
【例7】判断级数
的敛散性
3.【比较审敛法的极限形式】设及为两个正项级数,如果极限
则级数与同时收敛或同时发散。
【极限审敛法】设为正项级数,
(1)、若,则发散;
(2)、若,则收敛。
注意:
当n→∞时,可用无穷小un对vn的阶判别∑un敛散性.
【例8】判断级数
的敛散性
【例9】判断级数
的敛散性
【例10】判断级数
的敛散性
【例11】判断级数
的敛散性
【例12】判断级数
的敛散性
三.【比值审敛法】若正项级数适合
则 当时,级数收敛;
当(也包括)时,级数发散;
当时,级数的敛散性不详。
注意:
当时,级数可能收敛,也可能发散。
【例13】判断级数
的敛散性
【例14】讨论级数
的敛散性
注意:
比值审敛法使用于通项含
的函数
四、【根值审敛法】若正项级数适合
则 当时,级数收敛;
当(也包括)时,级数发散;
当时,级数的敛散性不详。
注意:
当时,级数可能收敛,也可能发散。
【例15】判断级数
的敛散性
【例16】判断级数
的敛散性
五、判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件
不满足发散
满足
比值审敛法
比较审敛法,定义法,性质法
根值审敛法
收敛,
发散
【例17】判断级数
的敛散性
【例18】判断级数
的敛散性
【例19】判断级数
的敛散性
【例20】判断级数
的敛散性
【例21】判断级数
的敛散性
五.极限审敛法
(1)、当时,收敛,故收敛;
(2)、当时,发散,故发散;
(3)、
(4)、
【例22】判别级数
的敛散性。
【例23】判别级数
的敛散性
作业:
P374:
1
(1)(3)(4)(6)(7),2
(1)
(2)(4),3
(1)
(2)
第三节任意项级数
教学目的与要求
1.掌握交错级数及其莱布尼茨定理
2.理解并掌握绝对收敛与条件收敛
教学重点难点莱布尼茨定理,绝对收敛与条件收敛
教学时数2
教学内容
一、交错级数及其审敛法
所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正、负交错的,其形式如下
(1)
或
其中均为正数。
【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)
如果交错级数
(1)满足条件
1.
2.
则交错级数
(1)收敛,且收敛和,余项的绝对值。
【例4】试证明交错级数
是收敛的。
二、绝对收敛与条件收敛
设有级数
(2)
其中为任意实数,该级数称为任意项级数。
【定义】
如果级数(3)收敛,则称级数
(2)绝对收敛;
如果级数(3)发散,而级数
(2)收敛,则称级数
(2)条件收敛。
【定理一】如果级数(3)收敛,则级数
(2)亦收敛。
定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。
【例5】判定任意项级数
的收敛性。
【例6】讨论级数的收敛性。
【定理二】如果级数
绝对收敛,其和为,那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数
仍绝对收敛,且其和仍为。
【典型例子】交错级数
条件收敛,设它的收敛和为。
作业:
练习册第43.44次
第四节幂级数
教学目的与要求
1.理解函数项级数的概念
2.熟练掌握幂级数的收敛域收敛半径的求法
3.掌握和函数的求法
教学重点与难点
幂级数收敛半径收敛域的求解、和函数的求法
教学时数4
教学内容
一、函数项级数的一般概念
设有定义在区间上的函数列
由此函数列构成的表达式
(1)
称作函数项级数。
对于确定的值,函数项级数
(1)成为常数项级数
(2)
若
(2)收敛,则称点是函数项级数
(1)的收敛点;
若
(2)发散,则称点是函数项级数
(1)的发散点;
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域。
对于函数项级数收敛域内任意一点,
(1)收敛,其收敛和自然应依赖于的取值,故其收敛和应为的函数,即为。
通常称为函数项级数的和函数。
它的定义域就是级数的收敛域,并记
若将函数项级数
(1)的前项之和(即部分和)记作,则在收敛域上有
若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上),则。
二、幂级数及其收敛域
函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数,它的形式是
(3)
或
(4)
其中常数称作幂级数系数。
(4)式是幂级数的一般形式,作变量代换可以把它化为(3)的形式。
因此,在下述讨论中,如不作特殊说明,我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。
【定理一】(阿贝尔定理)
若时,幂级数收敛,则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛;
若时,幂级数发散,则适合不等式的一切均使幂级数发散。
阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构
对于幂级数
若在处收敛,则在开区间之内,它亦收敛;
若在处发散,则在开区间之外,它亦发散;
这表明,幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。
【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数存在,它具有下列性质
当时,幂级数绝对收敛;
当时,幂级数发散;
当时,幂级数可能收敛,也可能发散。
正数通常称作幂级数的收敛半径。
2、幂级数的收敛半径的求法
【定理二】设有幂级数,且
(,是幂级数的相邻两项的系数)
如果,则;
,则;
,则。
【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间
1、
2、
【例2】求函数项级数的收敛域
三幂级数的运算性质
对下述性质,我们均不予以证明
1.加,减运算
设幂级数及的收敛区间分别为与,记,当时,有
2.幂级数和函数的性质
幂级数的和函数在收敛区间内连续。
3.逐项求导
幂级数的和函数在收敛区间内可导,且有
4.逐项求积分
幂级数的和函数在收敛区间内可积,且有
【例3】求数项级数之和。
【例4】求的和函数。
【例5】求的和。
作业:
练习册第45.46次
第五节函数的幂级数展开
教学目的与要求
1.理解泰勒公式
2.会应用泰勒公式将简单的函数展为幂级数
教学重点与难点
泰勒公式及其应用
教学时数4
教学内容
一、泰勒级数
如果在处具有任意阶的导数,我们把级数
(1)
称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和用记之,且
这里:
由上册中介绍的泰勒中值定理,有
当然,这里是拉格朗日余项,且
。
由有
。
因此,当时,函数的泰勒级数
就是它的另一种精确的表达式。
即
这时,我们称函数
在
处可展开成泰勒级数。
特别地,当
时,
这时,我们称函数
可展开成麦克劳林级数。
将函数
在
处展开成泰勒级数,可通过变量替换
,化归为函数
在
处的麦克劳林展开。
因此,我们着重讨论函数的麦克劳林展开。
【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。
二、函数展开成幂级数
1、直接展开法
将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行
求出函数的各阶导数及函数值
若函数的某阶导数不存在,则函数不能展开;
写出麦克劳林级数
并求其收敛半径。
考察当时,拉格朗日余项
当时,是否趋向于零。
若,则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式;
若,则函数无法展开成麦克劳林级数。
【例1】将函数展开成麦克劳林级数。
【例2】将函数在处展开成幂级数。
2、间接展开法
利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质(如:
加减,逐项求导,逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
【例4】将函数展开成的幂级数。
间接展开法的优点:
避免了求高阶导数与余项是否趋于零的讨论;函数展开式的成立区间同时求得,避免了求幂级数的半径.
【例5】将函数展开成的幂级数。
作业:
练习册第47次
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