胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案.doc
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图2-1习题2-1质量-弹簧-摩擦系统示意图
2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示,途中为黏性摩擦系数,为弹簧系数,系统的输入量为力,系统的输出量为质量的位移。
试列出系统的输入输出微分方程。
解:
显然,系统的摩擦力为,弹簧力为,根据牛顿第二运动定律有
移项整理,得系统的微分方程为
图2-2习题2-2机械系统示意图
2-2试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。
解:
由牛顿第二运动定律,不计重力时,得
整理得
2-3求下列函数的拉氏变换。
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
2-4求下列函数的拉氏反变换
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程(设电容上的电压为,电容上的电压为,以此类推)。
图2-3习题2-5无源网络示意图
解:
(a)设电容上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
(b)设电容、上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
(c)设电阻上电压为,两电容上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)代入(4)并整理得
(5)
(1)、
(2)代入(3)并整理得
两端取微分,并将(5)代入,整理得输入输出关系的微分方程为
2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。
图2-4习题2-6示意图
解:
(a)由图得
(1)
(2)
(2)代入
(1),整理得传递函数为
(b)由图得
(1)
(2)
整理得传递函数为
(c)由图得
(1)
(2)
(3)
(4)
整理得传递函数为
图2-5习题2-7无源网络示意图
2-7求图2-5中无源网络的传递函数。
解:
由图得
整理得
2-8试简化图2-6中所示系统结构图,并求传递函数和。
解:
(a)
⑴求传递函数,按下列步骤简化结构图:
图2-6习题2-8系统结构图示意图
①令,利用反馈运算简化如图2-8a所示
图2-8a
②串联等效如图2-8b所示
图2-8b
③根据反馈运算可得传递函数
⑵求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①令,重画系统结构图如图2-8c所示
图2-8c
②将输出端的端子前移,并将反馈运算合并如图2-8d所示
图2-9d
③和串联合并,并将单位比较点前移如图2-8e所示
图2-8e
④串并联合并如图2-8f所示
图2-8f
⑤根据反馈和串联运算,得传递函数
(b)求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①将的引出端前移如图2-8g所示
图2-8g
②合并反馈、串联如图2-8h所示
图2-8h
③将的引出端前移如图2-8i所示
图2-8i
④合并反馈及串联如图2-8j所示
图2-8j
⑤根据反馈运算得传递函数
图2-7习题2-9系统结构图示意图
习题2-4无源网络示意图
2-9试简化图2-7中所示系统结构图,并求传递函数。
解:
求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①将的引出端前移如图2-9a所示
图2-9a
②合并反馈及串联如图2-9b所示
图2-9b
③合并反馈、串联如图2-9c所示
图2-9c
④根据反馈运算,得传递函数
2-10根据图2-6给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数和。
解:
(a)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10a所示。
图2-10a
(1)令,求系统传递函数
由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,,
与互不接触
流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
(2)令,求系统传递函数
?
由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有两条前向通路,其增益为
,
有两个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,
没有互不接触的回路,所以流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
,
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
(b)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10b所示。
图2-10b
求系统传递函数
由信号流图2-10b可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,,
与互不接触
流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
2-11根据图2-7给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数。
解:
根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-11a所示
图2-11a
由信号流图2-11a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,,
没有互不接触回路。
因此,流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
3-2已知各系统得脉冲响应,试求系统的闭环传递函数:
(1);
(2);
(3)。
解:
(1)
(2)
(3)
3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为,试求系统的超调量,峰值时间和调节时间。
解:
=
由上式可知,此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组,得
所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间
3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解题过程:
由题意可得系统得闭环传递函数为
其中。
这是一个比例-微分控制二阶系统。
比例-微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
故显然有
此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间
3-5已知控制系统的单位阶跃响应为,试确定系统的阻尼比和自然频率。
解:
系统的单位脉冲响应为
系统的闭环传递函数为
自然频率
阻尼比
3-6已知系统特征方程为,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
解:
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下
显然,由于表中第一列元素得符号有两次改变,所以该系统在右半平面有两个闭环极点。
因此,该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。
显然,特征方程的各项系数均为正,则
显然,此系统不稳定。
3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为,试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。
解:
由题得,特征方程是
列劳斯表
由题意,令所在行为零得
由行得
解之得,所以振荡角频率为
3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统稳定时的值范围。
解:
由题可知系统的特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据可得
解上述方程组可得
3-9系统结构如图3-1所示,,定义误差,
(1)若希望图a中,系统所有的特征根位于平面上的左侧,且阻尼比为0.5,求满足条件的的取值范围。
(2)求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3)为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图b所示,试求出合适的值。
(a)(b)
图3-1习题3-9示意图
解:
(1)闭环传递函数为
即
,代入上式得,
列出劳斯表,
(2),系统为I型系统∴
(3)
并没有改变系统的稳定性。
3-10已知单位反馈系统的开环传递函数:
(1);
(2)
试求输入分别为和时,系统的稳态误差。
解:
(1)
由上式可知,该系统是型系统,且。
型系统在信号作用下的稳态误差分别为:
。
根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为,该系统在输入为时的稳态误差为
(2)
由上式可知,该系统是型系统,且。
型系统在信号作用下的稳态误差分别为:
。
根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为,该系统在输入为时的稳态误差为
3-11已知闭环传递函数的一般形式为
误差定义为。
试证,
(1)系统在阶跃信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(2)系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解:
(1)
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