北师大八年级下《12直角三角形》课时练习含答案解析.docx
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北师大八年级下《12直角三角形》课时练习含答案解析
北师大版数学八年级下册第一章第二节直角三角形课时练习
一、选择题(共15小题)
1.下列说法中不正确的是( )
A.平行四边形是中心对称图形
B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
答案:
D
解析:
解答:
A.平行四边形是中心对称图形,说法正确;
B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等,说法正确;
C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等,说法错误;
D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等,说法正确;
故选:
C.
分析:
根据中心对称图形的定义可得A说法正确;根据AAS定理可得B正确;根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等,必须有边对应相等可得C正确;根据HL定理可得D正确.
2.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140°B.160°C.170°D.150°
答案:
B
解析:
解答:
∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,
∴∠COA=90°﹣20°=70°,
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选:
B.
分析:
利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.
3.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=46°,则∠A=( )
A.44°B.34°C.54°D.64°
答案:
A
解析:
解答:
∵∠C=90°,∠B=46°,
∴∠A=90°﹣46°=44°.
故选A.
分析:
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
4.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
答案:
C
解析:
解答:
由题意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故选:
C.
分析:
根据直角三角形两锐角互余解答.
5.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确
答案:
B
解析:
解答:
从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边.
依据“HL”定理,证明Rt△ABC≌Rt△ABD,
还需补充一对直角边相等,
即AC=AD或BC=BD,
故选:
B.
分析:
根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,因图中已经有AB为公共边,再补充一对直角边相等的条件即可.
6.下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等
答案:
B
解析:
解答:
两直角三角形隐含一个条件是两直角相等,要判定两直角三角形全等,起码还要两个条件,故可排除A、C;
而D构成了AAA,不能判定全等;
B构成了SAS,可以判定两个直角三角形全等.
故选:
B.
分析:
判定两个直角三角形全等的方法有:
SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种.据此作答.
7.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是( )
A.HLB.AASC.SSSD.ASA
答案:
A
解析:
解答:
∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°,
又∵OE=OF,AO为公共边,∴△AEO≌△AFO.
故选A.
分析:
利用点O到AB,AC的距离OE=OF,可知△AEO和△AFO是直角三角形,然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO,即可得出答案.
8.如图所示,AB⊥BD,AC⊥CD,∠D=35°,则∠A的度数为( )
A.65°B.35°C.55°D.45°
答案:
B
解析:
解答:
∵AB⊥BD,AC⊥CD,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,
又∵∠AEB=∠CED,
∴∠A=∠D=35°.
故选B.
分析:
先由AB⊥BD,AC⊥CD可得∠B=∠C=90°,再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,由对顶角相等有∠AEB=∠CED,然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°.
9.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则此三角形中最小的角是( )
A.15°B.30°C.60°D.90°
答案:
B
解析:
解答:
设较小的锐角是x°,则另一个锐角是2x°,
由题意得,x+2x=90,
解得x=30,
即此三角形中最小的角是30°.
故选:
B.
分析:
设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.
10.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )
A.100度B.120度C.135度D.140度
答案:
C
解析:
解答:
如图,∵∠C=90°,
∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°,
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=
×90°=45°,
∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=180°﹣45°=135°.
故选:
C.
分析:
作出图形,根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°,再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.
11.如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论:
①BD=AD;②BC=AC;③BH=AC;④CE=CD中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
B
解析:
解答:
①∵BE⊥AC,AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°,∠EAH+∠AHE=90°,∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC(AAS)
∴BD=AD,BH=AC
②:
∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知,在Rt△ABD中,BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°,∠ACB<90°
∴结论②为错误结论.
③:
由①证明知,△BDH≌△ADC
∴BH=AC
解④:
∵CE=CD
∵∠ACB=∠ACB;∠ADC=∠BEC=90°
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件,无法证得△BEC≌△ADC
∴结论④为错误结论
综上所述,结论①,③为正确结论,结论②,④为错误结论,根据题意故选B.
故选:
B.
分析:
可以采用排除法对各个选项进行验证,从而得出最后的答案.
12.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等的依据是( )
A.SSSB.AASC.SASD.HL
答案:
C
解析:
解答:
两边及夹角对应相等的两个三角形全等,这为“边角边”定理,简写成“SAS”.
故选:
C.
分析:
根据三角形全等的判定定理,两条直角边对应相等,还有一个直角,则利用了SAS.
13.如图,在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为( )
A.90°B.100°C.110°D.120°
答案:
C
解析:
解答:
如图,∵在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,
∴∠A=70°.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠AED=∠AFD=90°,
∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°.
故选:
C.
分析:
由三角形内角和定理求得∠A=70°;由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°;然后根据四边形内角和是360度进行求解.
14.已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则图中相等的锐角的对数有( )
A.4对B.3对C.2对D.1对
答案:
C
解析:
解答:
相等的锐角有:
∠B=∠CAD,∠C=∠BAD共2对.
故选:
C.
分析:
根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可.
15.下列说法错误的是( )
A.直角三角板的两个锐角互余
B.经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C.如果两个角互补,那么,这两个角一定都是直角
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案:
C
解析:
解答:
A.直角三角形中的两个锐角互余,所以直角三角板的两个锐角互余,故本选项说法正确;
B.根据平行公理可知:
过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条,故本选项说法正确;
C.如果两个角互补,那么,这两个角和一定是180°,但是它们不一定都是直角,故本选项说法错误;
D.根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行.故本选项说法正确;
故选:
C.
分析:
①根据直角三角形的性质判断;
②过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条;
③根据补角的定义进行判断;
④根据平行线的性质进行判断.
二、填空题(共5小题)
16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件:
(答案不唯一),使△ADB≌△CEB.
答案:
AB=BC
解析:
解答:
AB=BC,AD⊥BC,CE⊥AB,∠B=∠B
∴△ADB≌△CEB(AAS).
答案:
AB=BC.
分析:
要使△ADB≌△CEB,已知∠B为公共角,∠BEC=∠BDA,具备了两组角对应相等,故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB.
17.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是 .
答案:
AC=DE
解析:
解答:
AC=DE,
理由是:
∵AB⊥DC,
∴∠ABC=∠DBE=90°,
在Rt△ABC和Rt△DBE中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DBE(HL).
故答案为:
AC=DE.
分析:
先求出∠ABC=∠DBE=90°,再根据直角三角形全等的判定定理推出即可.
18.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,∠1=∠2,有下列结论:
①AC∥DE;②∠A=∠3;③∠B=∠1;④∠B与∠2互余;⑤∠A=∠2.其中正确的有 (填写所有正确的序号).
答案:
①②③
解析:
解答:
∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴△ACD与△ACB都为直角三角形,
∴∠A+∠1=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠1=∠B,选项③正确;
∵∠1=∠2,
∴AC∥DE,选项①正确;
∴∠A=∠3,选项②正确;
∵∠1=∠B,∠1=∠2,
∴∠2=∠B,即∠2与∠B不互余,选项④错误;
∠2不一定等于∠A,选项⑤错误;
则正确的选项有①②③,
故答案为:
①②③.
分析:
由同角的余角相等得到∠1=∠B,由已知内错角相等得到AC与DE平行,由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3,再利用等量代换得到∠2与∠B相等,∠2不一定等于∠A.
19.在一个直角三角形中,有一个锐角等于30°,则另一个锐角的大小为 度.
答案:
60
解析:
解答:
∵三角形是直角三角形,一个锐角等于30°,
∴另一个锐角为90°﹣30°=60°,
故答案为:
60.
分析:
根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可.
20.在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC= .
答案:
45°或135°
解析:
解答:
有2种情况,如图
(1),
(2),
∵∠BHD=∠AHE,又∠AEH=∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠C=90°,∠HAE+∠AHE=90°,
∴∠AHE=∠C,
∴∠C=∠BHD,
∵BH=AC,∠HBD=∠DAC,∠C=∠BHD,
∴△HBD≌△CAD,
∴AD=BD.
如图
(1)时∠ABC=45°;
如图
(2)时∠ABC=135°.
∵AD=BD,AD⊥BD,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∴∠ABD=45°,
∴∠ABC=180°﹣45°=135°,
故答案为:
45°或135°.
分析:
根据高的可能位置,有2种情况,如图
(1),
(2),通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解.
三、解答题(共5小题)
21.如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.
求证:
Rt△ABF≌Rt△DCE.
答案:
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
解析:
分析:
由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.
22.已知:
AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,问:
△ABC≌△ADC吗?
说明理由.
答案:
解:
△ABC≌△ADC.理由如下:
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC与△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
解析:
分析:
根据全等三角形的判定定理AAS进行证明.
23.如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
求证:
△ADE≌△BEC.
答案:
证明:
∵∠1=∠2,
∴DE=CE.
∵AD∥BC,∠A=90°,
∴∠B=90°.
∴△ADE和△EBC是直角三角形,而AD=BE.
∴△ADE≌△BEC.
解析:
分析:
此题比较简单,根据已知条件,利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论.
24.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.
求证:
CD⊥AB.
答案:
证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴CD⊥AB.
解析:
分析:
25.在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE=OF.
(1)如图,当点O在BC边中点时,试说明AB=AC;
答案:
证明:
∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL);
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
(2)如图,当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系;
答案:
AB=AC.
证明:
同
(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF;
∴∠OBE=∠OCF;
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB;
∴∠ABC=∠ACB;
∴AB=AC.
(3)当点O在△ABC外部时,且OB=OC,试判断AB与AC的关系.(画出图形,写出结果即可,无须说明理由)
答案:
解:
当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC成立,如图①;
当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,结论不成立,如图②.(图形不唯一,符合题意,画图规范即可)
解析:
分析:
(1)证△BOE≌△COF,可得∠B=∠C,通过等角对等边,得出AB=AC;
(2)与
(1)类似,在证得△BOE≌△COF后,得∠OBE=∠OCF,OB=OC;则∠OBC=∠OCB,可证得∠ABC=∠ACB,根据等角对等边得出AB=AC;
(3)由前两问的解答过程可知,BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时,AB=AC的结论才成立(等腰三角形三线合一).
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