通用版202x版高考数学大一轮复习 第11讲 函数与方程学案 理 新人教A版.docx
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通用版202x版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版
第11讲 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与 有交点⇔函数y=f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=
ax2+bx+
c(a>0)
的图像
与x轴的交点
无交点
零点个数
常用结论
1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.
2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
题组一 常识题
1.[教材改编]函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数是 .
2.[教材改编]如果函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= .
3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是 .
4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
题组二 常错题
◆索引:
错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).
5.函数f(x)=x+
的零点个数是 .
6.函数f(x)=x2-3x的零点是 .
7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 .
8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是 .
探究点一 函数零点所在区间的判断
例1
(1)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点( )
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
(2)已知函数f(x)=lgx+
x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .
[总结反思]判断函数零点所在区间的方法:
(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-
的零点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
探究点二 函数零点个数的讨论
例2
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f
-
+x
=f
当x∈
时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )
A.3B.5C.7D.9
(2)[2018·河南中原名校模拟]函数f(x)=sin
2x+
-log3πx的零点个数为 .
[总结反思]函数零点个数的讨论,基本解法有:
(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;
(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.
变式题
(1)[2018·重庆巴蜀中学月考]函数f(x)=
-2e-x的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
(2)已知函数f(x)=
则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例3
(1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )
A.f(b)<0 C.0 (2)[2019·安徽肥东高级中学调研]已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则实数m的取值范围是( ) A.(-2,0)B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞) [总结反思]函数零点的应用主要体现在三类问题中: 一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围 ;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解. 变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模]若函数f(x)=cosx+2|cosx|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为( ) A.(0,1]B.{1} C.{0}∪(1,3]D.[0,3] (2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零点,则下列结论成立的是( ) A.x1=x2B.x1>x2 C.x1+x2=1D.x1x2=1 第11讲 函数与方程 考试说明结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1. (1)f(x)=0 (2)x轴 零点 (3)f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c 2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0 对点演练 1.1 [解析]函数f(x)单调递增,且f (2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点. 2.0 [解析]函数f(x)单调递增,且f(0)<0,f (1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0. 3.0,1 [解析]由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1. 4.(-∞,4) [解析]Δ=16-4a>0,解得a<4. 5.0 [解析]函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点. 6.0,3 [解析]由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3. 7.(-8,1] [解析]二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f (1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8 8.(0,4) [解析]Δ=k2-4k<0,解得0 【课堂考点探究】 例1 [思路点拨] (1)利用零点存在性定理判断即可; (2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n. (1)C (2)3 [解析] (1)f(-1)= -1<0,f(0)=-1<0,f (1)=e-3<0,f (2)=e2-4>0,故选C. (2)f(x)=lgx+ x-5是定义在(0,+∞)上的增函数, 根据零点存在性定理, 可得 因为f (1)= -5<0,f (2)=lg2+ -5<0,f(3)=lg3+ -5<0,f(4)=lg4+5-5=lg4>0, 所以函数f(x)在(3,4)上存在零点,故n=3. 变式题 B [解析]f(x)=ln(x+1)- 在(0,+∞)上单调递增,且f (1)=ln2-2<0,f (2)=ln3- >0,则f (1)·f (2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间为(1,2). 例2 [思路点拨] (1)由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f =f(-1)=f(0)=f (1)=f =0,即可得函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数; (2)函数f(x)=sin -log3πx的零点个数即为y=log3πx与y=cos2x(x>0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果. (1)D (2)6 [解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f =f ∴f - +x+ =f +x+ 可得f(x+3)=f(x), 则函数f(x)的周期为3. 当x∈ 时,f(x)=ln(x2-x+1), 令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴在区间 上,有f(-1)=-f (1)=0,f(0)=0. 由f =f 取x=0,得f =f 又f =-f ∴f =f =0, ∴f =f(-1)=f(0)=f (1)=f =0. 又∵函数f(x)是周期为3的周期函数, ∴函数f(x)在区间[0,6]上的零点有0,1, 2,3,4, 5,6,共9个. (2)函数f(x)=sin -log3πx=cos2x-log3πx的零点个数就是y=log3πx与y=cos2x(x>0)图像的交点个数. 在同一坐标系内作出y=log3πx与y=cos2x(x>0)的图像,如图, 由图可知,y=log3πx与y=cos2x(x>0)的图像有6个交点, 所以函数f(x)=sin -log3πx的零点个数为6. 变式题 (1)B (2)3 [解析] (1)∵y= 单调递增,y=-2e-x单调递增, ∴f(x)= -2e-x单调递增. ∵f(0)=-2<0,f(8)=2- >0, ∴由零点存在性定理可得,f(x)= -2e-x的零点个数为1,故选B. (2)函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数即为方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数,解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得lnx=1(x>0)或ex=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得lnx=2(x>0)或ex=2(x≤0),解得x=e2.所以函数g(x)共有3个零点. 例3 [思路点拨] (1)首先确定函数f(x)和g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可; (2)先转化为函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案. (1)B (2)D [解析] (1)易知f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数. 由于f(0)=-1<0,f
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