新课标全国卷2理科数学试题分类汇编7函数与导数可编辑修改word版.docx
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新课标全国卷2理科数学试题分类汇编7函数与导数可编辑修改word版
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
7.函数与导数
一、填空题
(2017·11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1`的极值点,则f(x)的极小值为()
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
(2016·12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1与y=f(x)图像的交点为(x,y),
x11
m
(x2,y2),…,(xm,ym),则∑(xi+yi)=()
i=1
A.1B.mC.2mD.4m
⎧1+log2(2-x)(x<1)
⎩
(2015·5)设函数f(x)=⎨2x-1
(x≥1)
,则f(-2)+f(log212)=()
A.3B.6C.9D.12
(2015·10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为
()
A.B.C.D.
(2015·12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f
(x)>0成立的x的取值范围是()
A.(-∞,-1)U(0,1)
C.(-∞,-1)U(-1,0)
B.(-1,0)U(1,+∞)
D.(0,1)U(1,+∞)
(2014·8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
A.0B.1C.2D.3
(2014·12)设函数f(x)=
是()
3sinx,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2 m A.(-∞,-6)U(6,+∞) B.(-∞,-4)U(4,+∞) C.(-∞,-2)U(2,+∞) D.(-∞,-1)U(4,+∞) (2013·8)设a=log36,b=log510,c=log714,则() A.c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c (2013·10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是() A.∃x0∈R,f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D. 00 若x是f(x)的极值点,则f'(x)=0 (2012·10)已知函数f(x)= 1 ln(x+1)-x ,则y=f(x)的图像大致为() A.B.C.D. (2012·12)设点P在曲线y=1ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为() 2 A.1-ln2 B.2(1-ln2) C.1+ln2 D.2(1+ln2) (2011·2)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x| (2011·9)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为() A.10 3 B.4C.16 3 D.6 (2011·12)函数y= () 1 x-1 的图像与函数y=2sinx,(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于 A.2B.4C.6D.8 二、填空题 (2014·15)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f (2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. (2016·16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=. 三、解答题 (2017·21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0. (1) 0 求a; (2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0 ,且e-2< f(x)<2-2. (2016·21)(Ⅰ)讨论函数f(x)=x-2ex x+2 的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0; x (Ⅱ)证明: 当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a) x2 的值域. 14.(2015·21)设函数f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意x1,,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. 15.(2014·21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值; (Ⅲ)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001). 16.(2013·21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0. 17.(2012·21)已知函数f(x)= f' (1)ex-1-f(0)x+1x2. 2 (Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间; (Ⅱ)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值. 2 18.(2011·21)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为x+2y-3=0. (Ⅰ)求a、b的值; x+1x (Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx+k,求k的取值范围. x-1x 2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编 7.函数与导数(解析版) (2017·11)A【解析】∵ f(x)=(x2+ax-1)ex-1 ∴导函数f'(x)=⎡⎣x2+(a+2)x+a-1⎤⎦ex-1, ∵f'(-2)=0,∴a=-1,∴导函数f'(x)=(x2+x-2)ex-1,令f'(x)=0,∴x=-2,x=1, 11 当x变化时,f(x),f'(x)随变化情况如下表: x 2 2 2,1 1 1, fx + 0 - 0 + fx 极大值 极小值 从上表可知: 极小值为f (1)=-1.故选A (2016·12)B解析: 由f(x)=2-f(x)得f(x)关于(0,1)对称,而y=x+1=1+1也关于(0,1)对称,∴ mmm xx 对于每一组对称点x+x'=0,y+y'=2,∴∑(x+y)=∑x+∑ y=0+2⋅m=m,故选B. iiii iiii2 i=1 i=1 i=1 (2016·12)B解析: 由f(x)=2-f(x)得f(x)关于(0,1)对称,而y=x+1=1+1也关于(0,1)对称,∴ mmm xx 对于每一组对称点x+x'=0,y+y'=2,∴∑(x+y)=∑x+∑ y=0+2⋅m=m,故选B. iiii iiii2 i=1 i=1 i=1 222 (2015·5)C解析: 由已知得f(-2)=1+log4=3,又log12>1,所以f(log12)=2log212-1=2log26=6,故 f(-2)+f(log212)=9. (2015·10)B解析: 由已知得,当点P在BC边上运动时,即0≤x≤时,PA+PB= 4 + tanx; 当点P在CD边上运动时,即≤x≤3,x≠时,PA+PB= +(1 +1)2+1,当x=时, 442tanx2 PA+PB=2 ;当点P在AD边上运动时,即3≤x≤时,PA+PB= 4 - tanx,从点P的 运动过程可以看出,轨迹关于直线x=对称,且 2 f()>4 ,且轨迹非线型,故选B. 2 (2015·12)A解析: 记函数g(x)= f(x),则g'(x)=x'f(x)-f(x),因为当x>0时,xf´(x)-f(x)<0,故当x>0 xx2 时,g´(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)单调递增,且g(-1)=g (1)=0.当0 (2014·8)D解析: ∵y'=a- 1 x+1 ,且在点(0,0)处的切线的斜率为2,∴y'| x=0 =a- 1 0+1 =2,即a=3. (2014·12)C解析: ∵f'(x)= 3cosx,令f'(x)=3cosx=0得x=m(1+k),k∈Z, mmmm2 ∴x=m(1+k),k∈Z,即|x|=|m(1+k)|≥|m|,f(x)=3sinπx的极值为±, 02022m 2 2 2∴22m222m2 ∴[f(x0)] =3, x0+[f(x0)]≥ 4+3x0+[f(x0)] +3 4 即: m2>4,故: m<-2或m>2. (2013·8)D解析: 根据公式变形,a=lg6=1+lg2,b=lg10=1+lg2,c=lg14=1+lg2, lg3lg3 lg5lg5 lg7lg7 因为lg7>lg5>lg3,所以lg2 lg7lg5lg3 (2013·10)C解析: ∵f´(x)=3x2+2ax+b,∴y=f(x)的图像大致如右图所示,若x0是f(x)的极小值点,则则在(- ∞,x0)上不单调,故C不正确. (2012·10)B解析: 易知y=ln(x+1)-x≤0对x∈(-1,0)U(0,+∞)恒成立,当且仅当x=0时,取等号,故的值域是(-∞,0).所以其图像为B. (2012·12)B解析: 因为y=1ex与y=ln(2x)互为反函数,所以曲线y=1ex与曲线y=ln(2x)关于直线y=x 22 对称,故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离,设切点为A,则A 点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则y'=(1ex)'=1ex=1,∴ex=2,即x=ln2, 22 故切点A的坐标为(ln2,1),因此,切点A点到直线y=x距离为d== ,所以 |PQ|=2d=2(1-ln2). (2011·2)B解析: 由各函数的图像知,故选B. 4 23116 (2011·9)C】解析: 用定积分求解S=⎰0( -x+2)dx=( x2- 32 x2+2x)|4= ,故选C. 3 (2011·12)D解析: y= 1 x-1 的对称中心是(1,0)也是y=2sinx(-2≤x≤4)的中心,-2≤x≤4他们 的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,则x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,故选D. 二、填空题 (2014·15)(-1,3) 解析: ∵ f(x)是偶函数,∴ f(x-1)>0⇔ f(|x-1|)>0= f (2),又∵ f(x)在 [0,+∞)单调递减,∴|x-1|<2,解得: -1 (2016·16)1-ln2解析: y=lnx+2的切线为: y=1⋅x+lnx+1(设切点横坐标为x),y=ln(x+1)的 11 1 1x2 ⎧1= ⎪x1 1 x2+111 切线为: y=x +1x+ln(x2+1)-x +1,∴⎨ x,解得x1=2 x2=-2,∴ 22⎪lnx +1=ln(x +1)-2 b=lnx1+1=1-ln2. ⎩⎪12 x2+1 三、解答题 (2017·21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0 ,且e-2< f(x)<2-2. 0 (2017·21)解析: (1)法一: 由题知: f(x)=x(ax-a-lnx)(x>0),且f(x)≥0,所以a(x-1)-lnx≥0, 即当x∈(0,1)时,a≤ lnx x-1 ;当x∈(1,+∞)时,a≥ lnx x-1 ;当x=1时,a(x-1)-lnx≥0成立. 令g(x)=x-1-lnx,g'(x)=1-= x-1 , xx lnx 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)递减,g(x) (1)=0,所以: x-1>lnx,即: x-1>1,所以a≤1 ; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)递增,g(x)>g (1)=0,所以: x-1>lnx,即: x-1<1. 所以,a≥1. 综上,a=1. 法二: 洛必达法则: 由题知: f(x)=x(ax-a-lnx)(x>0),且f(x)≥0 ,所以: a(x-1)-lnx≥0. 即当x∈(0,1)时,a≤ lnxx-1 ;当x∈(1,+∞)时,a≥ lnx ; x-1 当x=1时,a(x-1)-lnx≥0成立. 1(x-1)-lnx 1-1-lnx 令g(x)= ,g'(x)=x x-1 (x-1)2 =x. (x-1)2 1111-x 令h(x)=1-x-lnx,h'(x)=x2-x=x2. 当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,h(x) (1)=0; 所以g'(x)<0,g(x)递减,g(x)>lim lnx =lim (lnx)' =lim1 =1,所以: a≤1; x→1x-1 x→1(x-1)' x→1x 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减,h(x) (1)=0; 所以g'(x)<0,g(x)递减,g(x) lnx =lim (lnx)' =lim1 =1,所以: a≥1. 故a=1. x→1x-1 x→1(x-1)' x→1x 1 (2)由 (1)知: f(x)=x(x-1-lnx),f'(x)=2x-2-lnx,设(x)=2x-2-lnx,则'(x)=2-x. x∈⎛0,1⎫'(x)<0x∈⎛1,+∞⎫ '(x)>0 当ç2⎪时,;当ç2 ⎪时,. ⎝⎭ (x) ⎛0,1⎫ ⎝⎭ ⎛1,+∞⎫ 所以在ç2⎪递减,在ç2⎪递增. ⎝⎭⎝⎭ (e-2)>0 ⎛1⎫<0 (1)=0 (x) ⎛0,1⎫ x⎛1,+∞⎫ 又,ç2⎪ ,,所以在ç 2⎪有唯一零点 0,在ç2 ⎪有唯一零点1, ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且当x∈(0,x0)时,(x)>0;当x∈(x0,1)时,(x)<0;当x∈(1,+∞)时,(x)>0. 又f'(x)=(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点. 由f'(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0). 由x0∈(0,1)得f(x0<. 因为x=x0 是f(x)在(0,1)的唯一极大值点,由e-1∈(0,1),f(e-1)≠0得f(x )>f(e-1)=e-2 0 0 所以e-2 (2016·21)(Ⅰ)讨论函数f(x)=x-2ex x+2 的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0; x (Ⅱ)证明: 当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a) x2 的值域. '()= x⎛x-2+4⎫= x2ex (-∞,- )(-+∞) '()> (2016·21)证明: ⑴fx eç çx+2 ⎪ (x+2)2⎪ (x+2) 2,∵当x∈ 22, 时,fx0, ⎝⎭ ∴f(x)在(-∞,-2)和(-2, +∞)上单调递增,∴x>0时,x-2ex>f(0)=-1,∴(x-2)ex+x+2>0. x+2 ⑵g'(x)= (ex-a)x2-2x(ex-ax-a) x4 x(xex-2ex+ax+2a) x4 (x+2)(x-2⋅ex =x+2 x3 + a) ,a∈[0,1),由 (1) 知,当x>0时,f(x)=x-2⋅ex的值域为(-1,+∞),只有一解.使得t-2⋅et=-a,t∈(0,2],当 x+2t+2 x∈(0,t)时, g'(x)<0, g(x)单调减;当 x∈(t,+∞)时 g'(x)>0, g(x)单调增, h(a)= et-a(t+1)et 2 +(t+1)t-2⋅ett t+2 2 ,记k(t)=e ,在t∈(0,2]时,k'(t)= et(t+1) 2 >0,∴ ttt+2 kt⎛1e2⎤ t+2 (t+2) ()单调递增,∴h(a)=k(t)∈ç,⎥. ⎝24⎦ (2015·21)设函数f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意x1,,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. (2015·21)解析: (Ⅰ
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