数值分析第五版课后习题答案.docx
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数值分析第五版课后习题答案
第一章绪论
1.设x>O,x的相对误差为5,求lnx的误差。
*■*严
解:
近似值F的相对误差为5=£:
=£-=丄二A*X*
而lax的误差为e(liix*)=liix*-liix«—e*
'7x*
进而有w(lnx*)a5
2.设x的相对误差为2%,求x"的相对误差。
解:
设/(x)=xn,则函数的条件数为q,=|弓空|
\y
Y.>TY/,""1
又•••广(x)=,二c=|:
—-—1=n
n
又•••®((x*”7)aCp£Q*)
且er(x*)为2
£©*)”)«0.02/7
3.卞列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
出它们是几位有效数字:
X:
=1.1021,“;=0.031,x;=385.6,x:
=56.430,x;=7x1.0.
解:
<=1.1021是五位有效数字;
x;=0.031是二位有效数字;
£=385.6是四位有效数字;
£=56.430是五位有效数字;
x;=7x1.0.是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求卞列各近似值的误差限:
(1)X;+X;+X:
(2)X;X;X;,(3)X;/X:
.
其中x:
x;,x;,x;均为第3题所给的数。
解:
^(x;)=lxlO-4
£(X:
)=—xlO"-2
£(X;)=*X1()T
£(x:
)=*xl(r
£(*5)=^"XlO1
(1)£(X;+X;+”)
=£(X:
)+F(X;)+£(X:
)
=1x10^+1x10-3+1x10-3
222
=l.O5xlO~3
(2)w(x;x;x;)
=|x:
x;|£(x;)+|x;x;I£(x:
)+|x:
x;I£(x;)
0-3
X
1-2
=|1.1021x0.031|x1x10_1+|0.031x385.6|x1x10_4+|1.1021x385.6|x
22
q0.215(3)£(x;/x:
)
|x;k(£)+|x;比(x;)
2w
0.031xlxl0-3+56.430xlxl0-3
一22
故度量半径R时允许的相对误差限为£(用)=|xl«0.33
6.设匕=28,按递推公式Yh=一一-V783(n=l,2,...)
100
计算到人0。
若取27.982(5位有效数字),试问计算乙“将有多大误差?
解:
=-一-V783
””1100•••^00=^-—>/^83
10099100
—y/133
100
依次代入后,有^0O=};-100x-l-V783
即Yi00=YQ-y/TS3,
若取荷丽a27.982,Kg=乙一27.982
•••讥)=叭)+£(27.982)=|xl0-3
•••Koo的误差限为丄xl0_\
7.求方程x2-56x+l=0的两个根,使它至少具有4位有效数字(J7看=27.982)。
解:
x2-56x+1=0,
故方程的根应为^12=28±V783
故兀=28+>/7Ba28+27.982=55.982
兀具有5位有效数字
兀具有5位有效数字
rjV+lI
8.当N充分人时,怎样求f—^f/x?
Jn1+2
fjV+11
解ax=aictan(A^+1)-arctaiiN
“1+jt
设a=aictaii(N+1)、0=aictaiiN。
则tana=e+l、tan0=N.
广1>
=a-p=arctan(tan(a一0))
=arctan
tana一tan0
1+tantz>tan0
9.正方形的边长人约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过lenr?
解:
正方形的面积函数为A(x)=x2
・・・£(4*)=24*•$©*)・
当x*=100时,若
则^(x*) 故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面枳误差不超过lc〃F 10•设S=-gt2,假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的2 绝对误差增加,而相对误差却减少。 解: ': S=^gt2,t>0 ・・.w(S*)=g广•〜/*) 当广增加时,S*的绝对误差增加 心) |s*| 当广增加时,巩广)保持不变,则S*的相对误差减少。 11.序列{儿}满足递推关系儿=10几T-1(11=1,2,...), 若y0=>/2«1.41(三位有效数字),计算到儿。 时误差有多人? 这个计算过程稳定吗? 解: *.*yQ=近心1.41••-^(y0*)=|xl()_2又・・・儿=10)^-1 ••」=10儿-1 •••£()1*)=10巩儿*) 又vy2=10^-1 .•・£(儿*)=10s(x*) ・•・£()『)=10让()f)•••£(儿)*)=10%()/) =10loxixl0" 2 =ixlOs 2 计算到儿。 时误差为|x! 0s,这个计算过程不稳定。 1 (V2+1)6 若通过 12.计算/=(>/2-1)\取>/2«1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? ]u*+l)7=諾严)=2.53/£(x*) 若通过(3-2血)'计算y值,则 s(y*)=|-3x2x(3-2x*)]・w(F) 3-2x =30y*s(x*) 若通过炸计算y值’则 s(/)=--3x•s(x') (3+2x)4 =6x/s(x*) (3+2x)7/=1.0345/s(x) 13./(x)=ln(x-W-1),求/(30)的值。 若开平方用6位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式。 ln(x=-ln(x+Jx,-1) 计算,求对数时误差有多人? 解 f(x)=ln(牙_jF-l),/./(30)=1ii(30->/899) 设i/=V899,y=/(30) 则/=29.9833 ・・.S(M*)=—xl0'4 2 故 lii(x—Jx"—\)=—1x1(%+—1) 则7(30)=-111(30+7899) 此时, g(y)=l-7n1J£“)30+” =——£(/) 59.9833 q8x10t 第二章插值法 1.当%=1,-1,2时,/(x)=0-3,4,«/(%)的二次插值多项式。 解: 则二次拉格朗口插值多项式为 2 厶⑴=£)也(羽 20 5.37 =-x"+—x—— 623 2.给岀/(x)=hix的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 111X -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。 解: 由表格知, Xq=0.4,Xj—0.5,X-,=0.6,屯=0.7,X4=0.8;f(x0)=-0.916291,/(xj=-0.693147f(x2)=-0.510826,/(x3)=-0.356675/(兀)=—0.223144 若采用线性插值法计算1110.54即/(0.54), 则0.5<0.54<0.6 X——X //%)=——^=-10(x-0.6) ^1-^2 X—X /.(%)=-一=-10(x-0.5) 厶⑴=/UiXW+/U2)/2W =6.93147(%-0.6)—5.10826(/—0.5) ・・・厶(0.54)=-0.6202186«-0.620219 若采用二次插值法计算1110.54时, /。 ⑴=(一号—亠)=50(—0.5)(—0.6)(xo-xj(xo-x2) l\x)=(“7。 )(工7J=_100(x-0.4)(x-0.6)(\-xqK\-x2) K(x)=J'7o)a7J=50(x—0.4)(x—0.5) ■(丕一兀)(兀一xj 厶⑴=f(X。 )/°(A)+f(xJA(x)+/(x2)/2(x) =-50x0.916291(%-0.5)(x-0.6)+69.3147(x-0.4)(x-0.6)一0.510826x50(x-0.4)(x-0.5) /.厶(0.54)=-0.61531984«-0.615320 3.给全cosx,0的函数表,步长/7=r=(l/6O)\若函数表具有5位有效数字,研 究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。 解: 求解cosx近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播: 另一方面,利用插值法求函数cosx的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。 因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0 令f(x)=cosx 令x,=xQ+ih,i=0丄…,5400 则S= =-=90° 2 当兀印 d忑_J时,线性插值多项式为 厶(X)=/(忑)电乜+/C*+J~^二玉 插值余项为 /? (x)=|cosx 一厶(x)|=—f*( )(^V-xk)(x-xk+l) 又•••在建立函数表时,表中数据具有5位有效数字,且cosxe[0.1],故计算中有误差传播过程。 •••巩厂(母))=、E 凡⑴=孔厂(切)上二竝+巩广(和))上二竝 耳一垛+】母+】一母 "(厂(母))(上竝+上4 =£(/*(£))t(母+1一x+x—xk) h =£(/*(")) ・・・总误差界为 R=Rk(x)+R2(x) =扌(一cos§)(x-w)(x-忑+J+$(/*(々•))<|x(x-xj(x^+1-X)+"(忑))弓乂弓疔+巩八耳)) =1.06xl0-8+ixl0-5 2 =0.50106x10-' 4.设为互异节点,求证: ⑴土也⑴三*伙=0,1,.・・,〃); 尸0 ⑵£(S-x)k厶⑴三0伙=0丄…屮); 戶0 证明 (! )令/(X)=X* 若插值节点为Xy,J=0,l,...,7? 则函数/(X)的“次插值多项式为乙(x)=fX角⑴。 丿=0 插值余项为Rn(x)=/(x)-LJx)= 又•/k •••厂%)=0 •••R”(x)=o •••Xx;lj(x)=*伙=0,1,…,n); J=o ⑵f(®-叽⑴ ;=0 y=oz=o =養;(一旷(±伽) <=0j=0 XvO ;=0 原式C;(- z=o =0 /.得证。 5设f(x)eC2[a,b]且f(a)=f(b)=0,求证: ^|/W| 解: 令X°=G,X]=b,以此为插值节点,则线性插值多项式为厶(x)=/Go)=+ 人0-兀X-Xo rz、X_bf^.X-Cl==/(«)一+/(b)——a-bx-a 又•••/(a)=f(b)=0 厶(x)=0 插值余项为R(x)=f(x)-Ll(x)=*/"(x)(x-x0)(x-xj••-/W=+厂⑴(x-x())(x-xj乂•••|(X7°)(X7川<{*[("-兀)+(兀7)]}=才3_兀) =-(b-ay 4 •••瞬应)炖(・叭器|厂⑴ 6.在-4 截断误差不超过ICTS问使用函数表的步长h应取多少? 解: 若插值节点为兀十兀和兀+「则分段二次插值多项式的插值余项为 R©)=^/"©(乳-心风丫-兀“-和) 若截断误差不超过10",则 |/? 2(x)|<10-6 e4/? 3<10-6 27 h<0.0065. 7.若儿=2”,求心及%, 解: 根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 儿=2" =(2-1)・ =儿 =(眄(E—1)S =亍心 =儿-2 8.如果/(X)是m次多项式,记纣(力=/(«¥+/? )—/(/),证明/(X)的k阶差分 A7W(0<^ 解: 函数/(x)的Taylor展式为 其中 又•••/(x)是次数为加的多项式 .严%)=0 •••4/'(x)=/(x+A)-/(x) =f\x)h+if\x)h2+•••+丄严”⑴护 2m\ : .A/G)为m-1阶多项式 A7(x)=A(A/'(x)) •••△丁(x)为ni-2阶多项式 依此过程递推,得a7«是m—k次多项式 •・・Aw/W是常数 当/为正整数时, A,,,+1/(x)=0 9.证明△(/;&)=人陷+g3k 证明 =Zt+igk+i-fk8k ? r-l/r-1 10•证明YJM=fn8n-Togo-工跖M k=0k=0 证明: 由上题结论可知 加*严△(/&)-g出4A n-l ・•・工/曲 k=0 n-1 =工(△(/;&)-跖AA) i=0 n-1/r-1 =》△(/! &•)-工g阳△人 i=0i=0 ・•・"Z=ffl8n-九弘-工gzM *=0Jt=o 得证。 n-1 11.证明工 尸0 /z-1/z-1 证明工=工(△"+】-△") y=oy=o =(△)'-4y0)+(△儿-GJ+…+(△儿-叽) 得证。 12.若/(x)=a。 +qx+…+4日*1+anx11有〃个不同实根兀,兀,, 证明: v/(x)有个不同实根X-X-…,乙且/(X)=aQ+akx+・・•++anxtl ・•・/(x)=①(x_xJ(x_xJ•…(x-xj 令©(x)=(x_xj(x_xj… nn£ 则工一^=》」^£/'(©)冃匕砒(®) 而①: (x)=(x_xJ(x_X3)・・・(x_xJ+(x_xJ(x_£)・・・(x_£) +…+(X_Xj(X_£)…(x_xQ ・•・砒(-S)=(勺一xj(®-兀)…(9一xyH)(x.-x>+1)…(9-xn) 令g(x)=x", X E,7]驾希 "X 则乩"7]驾希 "X1 又珞忒厂捫Z…总 Qod-2; /r(s)j "X •••sj 冃 得证。 13.证明〃阶均差有卞列性质: ⑴若F(x)=cf(x),则F[x°,不,…,兀]=创兀,兀],…,X”]; (2)若F(x)=/(x)+g(x),则尸卜0,心…,兀]=/[竝片…,暫]+g|%0片…,兀]・ 证明: (1).几兀心,…,X”]—g(®_Yo)(©_%)(©_*)(©_暫) F[兀亠…书卜乞空 g) >0(卩一竝)…(©--©+])・•・(©-xn) =y >0(卩一兀)・・・(列一—•%)••・(©-Xj =c(f) 尸。 (®-兀)・•-®T)(®-S)・・g-兀) =cf[xQ.x^-: xn] ・・・得证。 ⑵•.•F(x)=/(x)+g(x) 2) /(0)+g(0) ;=o-兀)…(-S一®T)(®-©+】)••・(©-Xn) /X) >0(®一兀)…(®一®T)(®一%)••・(©-Xn) =/[%・・X」+g[x”…,嘉 ・・・得证。 14.f(x)=x1+x4+3x+l,求尸[2121,…,2口及尸[2°,2[-・・,2打。 解: •.•f(x)=x1+x4+3x+l 若兀=2打=0丄…,8 则心,7卜仲 15.证明两点三次埃尔米特插值余项是 R,⑴=fw(§)0-xk)2(x-xk+l)2/4\^e(xk,xk+l) 解: 若xw[忑,忑J,且插值多项式满足条件 H、(切=他),H;(%,)=f\xk) Hg)=几如),日;(和J=f\xk+l) 插值余项为R(x)=f(x)~H^x) 由插值条件可知R(xQ=R(xk+l)=0 且R(忑)=RXxk+l)=0 R(x)可写成R(x)=g(x)(x-xk)2(x-xk+l)2 其中g(x)是关于X的待定函数, 现把x看成[忑,丑+J上的一个固定点,作函数 0(f)=/(0-H()—g(x)(f-Xk)\t-xku)2 根据余项性质,有 骐切=0,久如)=0 0(x)=/(x)-比(X)-g(x)(x-xkY(x-xk+l)2 =f(x)-H^x)-R(x) =0 0(。 =fXO-H;⑴—g(x)[2(f-xk)(t-xk+l)2+2(t-xk+l)(t-x,)2] •••0g)=O 0C*+J=0 由罗尔定理可知,存在^e(xk,x)和母+J,使 0G)=o,0‘G)=o 即0(切在[Xk,忑+J上有四个互异零点。 根据罗尔定理,(p(t)在0(/)的两个零点间至少有一个零点,故07/)在(忑,忑+J内至少有三个互异零点, 依此类推,0⑴(f)在(忑,忑+J内至少有一个零点。 记为§€(%%])使 竝)=严⑷一凤⑴(§)_4! g(x)=0 又呼(0=0 4! 也) 其中§依赖于X •5晋(-"U 分段三次埃尔米特插值时,若节点为x认k=0丄…屮)xk=Xo+kh,k=O丄…』在小区间[xk,母+J上 /? ⑴=气严(—切心-和尸 •••|R(x)|=士|八(疳)|(%-无)心-忑J 詁(X-XJ(・如-X)'ma引严⑴ 4! 4Z| 寸(一笃和巧丁喇严列 16・求一个次数不高于4次的多 设步长为即 式P(x),使它满足 P(0)=P'(0)=0.P(l)=P'⑴=0,P (2)=0 解: 利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式x°=0,X]=1儿=0,开=1叫=0丿耳=1 11 仏⑴=工儿勺(Q+工卩03 j=0;=0 /、八aX—X。 、/X-X.V务(%)=(1-2——)(——y兀0一人兀一兀 =(l+2x)(x-l)2 诃=(1一2斗亠 兀一X。 人一兀 =(3—2x)x2 P0W=X(X-l)2 AW=U-1X /.亿(x)=G-2x)x2+(x-l)x2=-x3+2x2 设P(X)=(x)+A(x-xQ)2(x-xj2 其中,A为待定常数 •・•P (2)=1 P(x)=-x3+2x2+Ax2(x-1)2 : .A=- 4 从而P(x)=-x2(x-3)2 4 17.设f(x)=1/(1+亍),在—5 计算各节点间中点处的与/(x)值,并估计误差。 解: 则步长力=1, xi=xQ+ihJ=0,1、・・・,10 1+JT 在小区间[•%兀+J上,分段线性插值函数为 各节点间中点处的人(X)与/(X)的值为当x=±4.5时,/(X)=0.0471/Q)=0.0486 当x=±3.5时,/(X)=0.0755,厶(x)=0.0794 当x=±2.5时,f(x)=0.1379(x)=0.1500 当x=±1.5时,f(x)=0.3077,厶(x)=0.3500 当x=±0.5时,/(X)=0.8000,/力(x)=0.7500 误差 又v/W= 1 l+x2 -2x (1+b 6x2-2 (l+b 厂(X)= 24x-24x3 (l+b 令厂(x)=0 得f\x)的驻点为如严±1和禺=0 r(\2)=pm)=-2 ••匕兰讨/(0_人3)匸才 18.求f(x)=x2在0,切上分段线性插值函数厶(X),并估计误差。 解: 在区间[a,b]上,x0=a,xn==xi+l-x,,/=0,1,-1, h=max/? . •••/(x)=X2 ・•・函数/(X)在小区间[•昭兀+J上分段线性插值函数为 =-[X;(Xi+l-x)+兀+J(x-X,.)] 误差为 max|/(x)一厶⑴|<|max|/\^)|./v •••/⑴" /.f\x)=2x,f\x)=2 19.求f(x)=x4在S,b]上分段埃尔米特插值,并估计误差。 解: 在[a,b]区间上,兀。 =°凡=厲保=兀汁1一兀」=0丄…‘一1,令力=maxh. 曲9-1 v/w=x4,ru)=4x3 函数/⑴在区间[兀,和]上的分段埃尔米特插值函数为厶(X)=(口^(1+2上亠心 兀一兀+】兀+】_兀 +(上亠(1+2匚驻)/皿)兀+】一兀兀一忑+】 +(^±L),d)/a) +(A-A,)2(X-兀+])广(心) 兀+厂兀 =缶°_兀+)(人+2x_2兀) V4+乍-(x~xi)~(人-2x+2兀+]) 4x..z、 +-^(x-xi+ly(x-xi) Ay5 +-^-U-xf.)2(x-x/+1) h「 误差为 |/(x)-/Zl(x)| 胡严©|(x-齐)U-xJ诂喇八(绑少 y.-f(x)=x4 niax|/W-//rW| ・・jw(x)=4! =24 Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 a 20・给定数据表如下: 试求三次样条插值,并满足条件: (1)5X0.25)=1.0000,5r(0.53)=0.6868; (2)S"(0.25)=S"(0.53)=0. 解: h0=召一兀
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