双曲线及其标准方程和其性质.docx

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双曲线及其标准方程和其性质

§3.1双曲线及其标准方程

■"学习目标

（1）了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念.

（3）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量.

学习过程

一、回顾：

1、椭圆的定义：

平面内的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距。

2、椭圆标准方程中a,b,c的关系是。

3、焦点在x轴的椭圆的标准方程；焦点在y轴的椭圆的标准方程。

二、课前自主学习（预习教材P52~P55找出疑惑之处）

（一）.

（1）问题1:

把椭圆定义中的距离的和”改为距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图定点Fi,F2点M移动时，MFi-MF?

是常数，这样就画出一条曲线；由MF2||MFi是同一常数，可以画出另一支.

⑵问题2:

你能类比椭圆的定义，写出双曲线的定义吗？

双曲线定义：

平面内与两定点F，F?

的距离的差的等于常数（小于FiF?

）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点Fi,F2叫做双曲线的，两焦点间的距离FiF?

叫做双曲线的.

（3）求双曲线的标准方程：

问题3:

你能类比椭圆标准方程求出双曲线的标准方程吗?

（1）建系

（2）设点

（3）列式

（4）化简方程

（3）双曲线中a,b,c有何关系?

（二）.预习自测：

1、动点P到点F1（-2,0）及点F2（2,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）.

A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线

22

2、在双曲线—-—1中，焦点坐标为.

1625

22

3、已知双曲线—-11的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为.

169

4、求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）a=4,b=3,焦点在x轴上

（2）a=4,b=3,焦点在y轴上

（3）焦点在x轴上，过点（

—P2,-』3）、（3,P2）（4）焦点为（0,-6）,（0,6）,过点（2,-5）

二、探究•合作•展示

※学习探究

1.定义辨析：

设常数为2a，双曲线中为什么2a：

：

：

RF?

?

椭圆：

若2a>

F1F2

，轨迹是。

双曲线：

若2a>F1F2

，轨迹是。

若2a=

F1F2

，轨迹是。

若2a=F1F2

，轨迹是。

若2a<

F1F2

，轨迹是。

若2a<|F1F2

，轨迹是。

2•试求：

点A（1,0）,B（_1,0），若AC||BC=1，则点C的轨迹是.

※典型例题

【例1】已知双曲线的两焦点为Fi（-5,0）,F2（5,0），双曲线上任意点到Fi,F2的距离的差的绝对值等于6,

求双曲线的标准方程.

22

Xy

变式：

已知双曲线1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离为

169

【例2】已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆

炸点的轨迹方程.

变式：

如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？

为什么?

7学习评价

※当堂检测

2.方程x=”•by?

—1所表示的曲线是（）

D•椭圆的一部分

A.双曲线B•椭圆C•双曲线的一部分

3.已知双曲线的焦点在

x轴上，且a+c=9,b=3，则它的标准方程是

4.点A,B的坐标分别是（巧,0）,（5,0），直线AM,BM相交于点M，且它们斜率之积是-，试求点M的

9

轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状

※课后作业

1•双曲线5x2ky2=5的一个焦点是06,0），那么实数k的值为（）•

A•-25B.25C•-1D•1

2•双曲线的两焦点分别为已（-3,0）,F2（3,0），若a=2，则b二（）•

A.5B.13C.5D.13

3.已知点M（£,0）,N（2,0），动点P满足条件|PM|-|PN^22.则动点P的轨迹方程为.

22

4.已知方程」1表示双曲线，贝Vm的取值范围.

2+mm+1

22

5.求与椭圆xy_-1有共同焦点且过点（32,2）的双曲线的标准方程

255

§.3.2双曲线的简单几何性质⑴.4一学习目标

（1）能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。

2）能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线

教学重点、难点

由双曲线的方程求其相关几何性质；利用双曲线的性质求双曲线方程.

一…学习过程

一、课前自主学习（预习教材P56~P60）

1.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：

①a=3,b4，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8,a=2

2：

前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

3.学习探究

问题1:

由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线图形：

如右图所示

范围：

x:

y:

对称性：

双曲线关于轴、轴及都对称.

顶点：

（）,（）.

实轴，其长为；虚轴，其长为.

离心率：

e=C1.

a

渐近线：

22

双曲线W=1的渐近线方程为：

-.

abab

22

问题2:

双曲线占一笃=1的几何性质?

a2b2

图形：

如右图所示

范围：

x:

y:

对称性：

双曲线关于轴、轴及都对称.

顶点：

（）,（）

实轴，其长为；虚轴，其长为.

离心率：

e=C1.

a

22

渐近线：

双曲线每_.笃=1的渐近线方程为:

a2b2

22

笃一笃=1的几何性质?

ab

新知：

实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线.

双曲线的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

图形

O

k

范围

顶点

实轴、实轴长

虚轴、虚轴长

渐近线

焦占

八'、八\、

焦距

对称性

对称轴：

对称中心：

离心率

4.预习自测：

22

（1）双曲线—=1的实轴长和虚轴长分别是（）

34

A.23,4B.4,23C.3,4D.2,3

（2）如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6，那么双曲线的离心率为

二、探究•合作•展示

※典型例题

22

【例1】求双曲线—-y1的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.

4925

变式：

求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

⑵离心率e=』2，经过点M（-5,3）;

【例2】求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x轴上;

29

⑶渐近线方程为y=2x，经过点M（―,-1）.

32

※动手试试

22

练1•求以椭圆xy=1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.

85

Fi（_6,0），求它的标准方程和渐近线方程.

练2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是

5.经过点A（3,-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是.课后作业

1.求焦点在y轴上，焦距是16,的双曲线的标准方程.

3

5

e的双曲线的方程.

4

22

2.求与椭圆4924=1有公共焦点，且离心率

22

3.求以椭圆16+9=1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程。

5.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0

（1）若双曲线过点P^'6,2）,求双曲线的标准方程;

（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线的标准方程。

§.3.2双曲线的简单几何性质

（2）

运….学习目标

（1）巩固双曲线的几何性质；

（2）能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程.

.f]…教学重点、难点：

双曲线几何性质的运用.

一、课前自主学习

1复习双曲线的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。

2.预习自测：

双曲线25x2-16y2=400的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离

心率等于.

3.直线与椭圆的位置关系有哪些？

如何用代数关系表示出直线与椭圆的位置关系？

探究1：

直线与双曲线位置关系

代数法：

由直线方程与双曲线的方程联立消去

（1）△0=直线与双曲线相交。

（2）△0=直线与双曲线相切。

（3）△0直线与双曲线相离。

4:

直线与椭圆相交，相交弦的弦长公式是？

y得到关于x的方程.

探究2:

若直线丨：

y=kxb与双曲线相交与A、B两点,

A（xi,yi）,B（x2,y2）

则弦长|AB|=

5:

“点差法”用在直线与椭圆相交时，是怎么应用的啊?

便？

“点差法”解决什么问题比较方

反思：

直线与双曲线相交时，遇到中点问题可以使用“点差法”吗?

二、探究•合作•展示

※典型例题

例1课本P58

16

例2点M（x,y）到定点F（5,0）的距离和它到定直线I：

x二16的距离的比是

5

常数5，求点M的轨迹.

4

变式：

1.如果双曲线

22

-y1上一点P到双曲线右准线的距离

6436

d等于8,求点P到右焦点F的距离|PF|

2

x

2.双曲线一

9

-1上一点p到左、右焦点

Fi、F2的距离之比为1:

2,求P到右准线的距离d.

22

例3过双曲线工1的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点，求A,B两点的坐标.

36

变式：

求AB?

思考：

「ARB的周长?

Ji

PFQ=-

2

2

1.若椭圆—

2

2

-1和双曲线

2

=1的共同焦点为

Fi,F2,P是两曲线的一个交点，则

25

16

4

5

值为（）.

21

A.—

2

B.84

C.3

D.21

※当堂检测：

2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于

P、Q,匸是另一焦点，若/

PF1PF2的

则双曲线的离心率e等于（）.

A.2-1B.2C.21D.22

4.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为

2222

5.若椭圆X+y2=1与双曲线x_y=1的焦点相同，贝Ua=.

4aa2

22

6.若双曲线—=1的渐近线方程为

y3x，求双曲线的焦点坐标

2

4m

22

7.方程y1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围.

4—k1-k

1-课后作业

1.若双曲线9-1（m>°）的渐近线I的方程为y二±~^x，则双曲线焦点F到渐近线I的距

离为（）A.5B.14C.2D.25

2222

2.已知椭圆帝+5n^=1和双曲线帝―1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）

Ax=±爭B.y=±^xCxD.y=±今

2

八y

4.双曲线g—壬=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别是只、F2,过F1作倾斜角为30°的直线

交双曲线右支于M点，若MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）

A.6B.3C.2D.

5.经过点（1,2）且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程为

2

6.求经过点A（3,-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程

22

7•已知双曲线的焦点在x轴上，方程为务-每=1，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A（8,6），试求

ab

此双曲线的方程.

22

8.过点P（8，1）的直线与双曲线x-4y=4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程。