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拓扑指数
在这项工作中,我们获得了一些顶点度之间的几个不等式的基础
拓扑指数,如兰迪指数,航标–键连接(ABC)指数,和–连接性指数和调和指数。
锋利的下限为给出了图的调和指数。
1引言
设G是一个简单图,顶点集V(G)和边集E(G)。
兰迪指数R(G),由兰迪1975提出的,定义为权重的总和
对于所有的uv属于G。
其中d表示G的顶点u的度。
兰迪指数是一个最
成功的基于顶点度的分子描述符(拓扑指数)在结构保留和构效关系研究[20,24]。
数学性质这个描述符也被广泛的研究,总结[13,21]。
比赛
通信的数学
在计算机化学
匹配系统。
数学。
计算机。
化学。
71(2014)627-642
ISSN0340-6253
几年前,埃斯特拉达等人。
[8]提出了一种新的基于拓扑顶点度
指数,现在被称为航标–键连接(ABC)指数。
该指数是
定义为
兰迪′]兰迪′
它显示具有形成烷烃的热良好的相关性[8],以及基本拓扑的方法被开发ABC指标的基础上,以解释
线性能量的差异和支链烷烃定性和定量[7]。
这一指数的数学性质进行了报道[3,11,14,15,18]。
求和连接性指数X(G)是最近提出由周和Trinajsti'C
文献[34],定义为
已经发现的总和,连接性指数和兰迪'c指数相关性良好
彼此之间以及与含苯环的化合物[22,23]的π电子的能量。
总和-连接性指数的一些数学性质给出了[5,27,28,34,36]
谐波指数H(G)是另一个顶点度为基础的拓扑指数。
这
指数第一次出现在[9],定义为
Favaron,Mah'eo并用SacI'电子[10]考虑了谐波指标之间的关系
和图形的特征值。
参见[4,19,29〜32]此索引的更多信息。
注意,这两个求和连接性指数和高次谐波的索引可以被看作是
建议由周和Trinajsti'c一般的总和,连接性指数的特殊情况
在[35](另见[6,26])
。
在本文中,我们首先提出尖锐的下限为图的调和指数,
和表征图的这些边界是最好的,然后我们得到了兰迪'c指数,ABC指数,求和连接性指数之间的几个不等式和谐波指标。
2.对于谐波指数下界
在本节中,我们提出一些尖锐的下限为调和指数
图,并描述相应的极图。
图G的第一萨格勒布指数[12,16]被定义为
这个指标也是一个基于拓扑指标的重要指标,并可以重写
伊犁'C[19]等人[29]发现独立的
以下的谐波指数和第一萨格勒布指数之间的关系。
引理2.1设G是有m≥1条边的图。
然后
等号成立当且仅当du+dv是一个常数对于G中的任意边uv。
有第萨格勒布许多指数上界,从中我们可以推断出
下限由引理2.1谐波指标。
我们给于(a)三个例子-(c)所示。
我们使用的Sn,pn,以及Knto表示星,路径和为Ñ完全图顶点分别。
(一)设G是有m≥1边不含孤立点的图。
对于每一个
的G边uv,我们有du+dv≤M+1等号成立当且仅当所有其他边缘
G是相邻的边uv。
然后
因此
等号成立当且仅当G有没有两个独立的边缘,i.e.,G∼=Sm+1orG∼=K3
(b)设G是一个三角形和四边形的无图有n个顶点和m≥1的边缘。
那么M1(G)≤N(N-1)等号成立当且仅当G〜=Sn或G是一个穆尔图
直径2[33],因而H(G)≥
2m2n第(n-1)
等号成立当且仅当G〜=锡ØRG是直径为2的摩尔图。
(三)设G是具有n个顶点的图,米≥1的边缘,最大程度Δ和
最低程度δ.Then[2]M1(G)≤3219米(Δ+δ)-nΔδ等号成立当且仅当
Ghas只有两种类型的度Δ和δ,从而
H(G)≥
2平方米
3219米(Δ+δ)-nΔδ
等号成立当且仅当一个顶点有度Δ和其他顶点有度δ
对于G的每一条边
钟[30]证明了锡是唯一极值曲线的最低谐波
指数在所有连通图有n个顶点。
用(a)项,我们可以概括
这个结果的图表为Ñ不含孤立点的顶点,我们表明,
极值曲线仍然是锡。
这也意味着更短的证据比[30]的证明。
定理2.2设G为Ñ不含孤立顶点顶点的图。
然后
H(G)≥
二(n-1)的
ñ
等号成立当且仅IFG〜=Sn的。
Proof.First假设G是一个连通图。
设m是那么深茶色的边缘
G,则m≥n-1个。
自
2米
M+1
是严格单调递增单位为m≥1,由项目
(a)段所述,我们有H(G)≥
2米
M+1≥
二(n-1)的
ñ
用等式当且仅IFG〜=的Sm+1,
中m=n-1,即,G〜=Sn的。
-630-
因此,我们可以假设G是断开的。
设G1,G2,...,Gk的(当k≥2)是
的G连接组件具有|V(GI)|=妮每个1≤I≤K表。
因为G不含
孤立顶点,我们有妮≥2和
K·
I=1
NI=n.Then
H(G)=
K·
I=1
H(GI)≥
K·
I=1
2(NI-1)
妮
。
自
2(N1-1)的
N1
+
2(N-1)的
N2
-
2(N1+N2-1)
N1+N2
=
2(N
2
1N2+N1N
2-正
2
1-N
2-N1N2)
N1N2(N1+N2)
=
2N
2
1
(N2-2)+2n个
2
(N1-2)+2(正
2
1-N1N2+N
2
)
N1N2(N1+N2)
>0
我们的结论是
H(G)>
2(N1+N2-1)
N1+N2
+
K·
I=3
2(NI-1)
妮
>
2(N1+N2+N3-1)
N1+N2+N3
+
K·
I=4
2(NI-1)
妮
>···>
2(N1+N2+...+NK-1)
N1+N2+...+NK
=
二(n-1)的
ñ
。
这就完成了定理的证明。
Randi'c指数和谐波之间的3不等式
指数
在本节中,我们考虑了兰迪'c指数和谐波之间的关系
索引。
诺德豪斯-Gaddum型业绩谐波指数也给出。
定理3.1设G是顶点的图,然后
2
√
N-1
ñ
R(G)≤H(G)≤R(G)。
(3.1)
当且仅当G〜=Sn和上界被达到的下限为达到如
且仅当G中所有连接的组件都是正规。
-631-
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性,我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。
为了证明(3.1),我们考虑功能
F(X,Y)=
2
X+Y
1
√
XY
=
2
√
XY
X+Y
用1≤X≤Y≤n-1个。
自
∂F(X,Y)
∂x
=
√
Y(Y-X)
√
X(X+Y)
2
≥0and∂F(X,Y)
∂Ÿ
=
√
X(X-Y)
√
Y(X+Y)
2
≤0
我们有f(X,Y)是严格单调递增的在x和单调递减
在年。
因此,F(X,Y)的最小值是实现为(X,Y)=(1,N-1),以及
最大值关闭(X,Y)是为达到X=Y(每个1≤X≤N-1)。
其他
也就是说,
2
√
N-1
ñ
=F(1,N-1)≤F(X,Y)≤F(X,X)=1。
因此,
2
√
N-1
ñ
≤
H(G)
R(G)
≤1
与左相等当且仅当(DU,DV)=(1,N-1)对G的每个边uv,和
权利平等,当且仅当DU=为G的每边uvDV这就证明了定理。
Caporossi等。
[1]显示,与n个顶点的所有图中,不含孤立点,其中所有连接的部件都是正规,图形有
最高值N/2为Randi'c指数。
由定理3.1,我们知道这些
图也是极图的最大谐波指标。
这意味着
以下诺德豪斯-Gaddum型业绩谐波指标。
定理3.2设G是具有n个顶点的图,则
ñ
2
≤H(G)+H(G)≤ñ。
(3.2)
下界是达到当且仅当G〜=体Kn或G=〜图Kn,和上限
为达到当且仅当G是k-正则图,1≤犓≤N-2。
-632-
证明。
设m和m是在G和G分别为边的数目。
然后
H(G)+H(G)=
?
UV∈E(G)
2
杜+DV
+
?
UV∈E(G)
2
第(n-1-DU)+(N-1-DV)
≥
?
UV∈E(G)
2
2N-2
+
?
UV∈E(G)
2
2N-2
=
2
2N-2
(M+M)=
2
2N-2
·
N(N-1)
2
=
ñ
2
等号成立当且仅当DU=DV=n-1个为G的所有边uv或E(G)=∅,
即,G〜=体Kn或G〜=体Kn。
所以下界的(3.2)成立。
现在,我们证明了上界(3.2)。
根据定理3.1,我们有
H(G)+H(G)≤R(G)+R(G)≤
ñ
2
+
ñ
2
=N
与等式,当且仅当G和G不含孤立点(即,1≤δ(G)≤
Δ(G)≤N-2)和G和G的所有连接元件是有规律的。
我们断言
G必须是一个正则图。
否则,存在两个点u,VING,使得
杜?
=dv.Thenuandv选项包含在两个不同的连接组件OFG,
因此UV∈E(G)。
但是,这迫使u和v的谎言在G,一个相同的组件
矛盾。
所以,定理3.2成立。
求和连接和4之间的不等式
调和指数
在本节中,我们提出的总和,连接性指数之间的一些不等式
和谐波指数。
与定理3.1相结合,我们还得到了一些关系
该Randi'c指数和求和连接性指数之间。
定理4.1LetG是有n≥3个顶点的连通图,则
)
2
N-1
X(G)≤H(G)≤
2
√
3
X(G)。
(4.1)
当且仅当G=〜图Kn,而上限是达到的下限为达到如
且仅当G〜=P3。
-633-
证明。
让紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性,我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。
由于G是一个连通图有n≥3个顶点,我们有
DV≥2。
我们定义一个函数
F(X,Y)=
2
X+Y
1√
X+Y
=
2
√
X+Y
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。
很容易看出,F(X,Y)是严格单调
减小在x和y。
因此,F(X,Y)的最小值是f(N-1,N-1),
和最大值关闭(X,Y)是f(1,2)。
也就是说,
)
2
N-1
=F(N-1,N-1)≤F(X,Y)≤F(1,2)=
2
√
3
因此
)
2
N-1
≤
H(G)
X(G)
≤
2
√
3
。
左边等式成立当且仅当(DU,DV)=(N-1,N-1)G的每个边uv,
和正确的等式成立当且仅当(DU,DV)=(1,2)为G。
这每边uv
完成了定理的证明。
如果图G的最小度至少为k≥2,则上界(4.1)
可以进一步提高。
推论4.2设G是最小度至少为k≥2的连通图。
然后
H(G)≤
)
2
ķ
X(G)
等号成立当且仅当G是k-正则图。
Zhou和Trinajsti'c[36]最近证明了如果G是有n≥3的连通图
顶点,然后
*
2
3R(G)≤X(G)等号成立当且仅当G〜=P3.In事实上,
类似的说法表明,如果graphGhas最小度至少为k≥2,则
*
ķ
2R(G)≤X(G)等号成立当且仅当G是k-正则图。
我们进一步有
以下。
-634-
推论4.3LetG是有n≥3个顶点的连通图。
然后
X(G)≤
)
N-1
2
R(G)
等号成立当且仅当G〜=体Kn。
Proof.By定理3.1和定理4.1,我们有
X(G)≤
)
N-1
2
H(G)≤
)
N-1
2
R(G)
与第一个等式,当且仅当G=〜图Kn,而第二个等式,当且仅当G
是一个正则图。
这证明了推论。
Randi'c和ABC指数之间5不等式
定理5.1设G是一个连通图有n≥3个顶点,然后
R(G)≤农行(G)≤
√
2N-4R(G)。
(5.1)
当且仅当G=〜P3,而上限是如果达到的下限为达到
且仅当G〜=体Kn。
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性,我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。
由于G是一个连通图有n≥3个顶点,我们有
DV≥2。
为了证明(5.1),我们考虑功能
F(X,Y)=
*
X+Y-2
XY
1
√
XY
=
+
X+Y-2
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。
显然,F(X,Y)是严格单调
增加在x和y。
因此,F(X,Y)的最小值为达到(X,Y)=
(1,2),并且最大值关(X,Y)被实现为(X,Y)=(N-1,N-1),即
1=F(1,2)≤F(X,Y)≤F(N-1,N-1)=
√
2N-4。
-635-
然后1≤农行(G)/R(G)≤
√
的2n-4与左相等当且仅当(DU,DV)=
(1,2)为G的所有边uv,右边等号成立当且仅当(DU,DV)=(N-1,N-1)
对于G的每个边uv这就完成了定理的证明。
类似的说法表明,以下结果成立,如果我们假设图G
已最小度至少为k≥2。
推论5.2LetG是最小程度的连通图至少k≥2。
然后
√
2K-2R(G)≤农行(G)等号成立当且仅当G是k-正则图。
美国广播公司与和之间的连接6不等式
指数
定理6.1LetG是有n≥3个顶点的连通图。
然后
(ⅰ)
*
3
2X(G)≤农行(G)等号成立当且仅IFG〜=P3;
(二)农业银行(G)≤
√
2X(G)如果n=3,等号成立当且仅当G〜=K3;
美国广播公司(G)≤
*
8
3X(G)如果n=4,等号成立当且仅当G〜=K4或G〜=S4;
美国广播公司(G)≤
*
n个(n-2)的
N-1X(G)当n≥5,等号成立当且仅当G〜=Sn的。
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性,我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。
由于G是一个连通图有n≥3个顶点,我们有
DV≥2。
我们认为功能
F(X,Y)=
⎛
⎝
*
X+Y-2
XY
1√
X+Y
⎞
⎠
2
=
(X+Y)(X+Y-2)
XY
用1≤X≤Y≤N-1andy≥2。
自
∂F(X,Y)
∂Ÿ
=
(Y
2-X
2
)+2x
XY
2
>0
-636-
我们看到,F(X,Y)是严格单调沿y增加。
因此,最低
值关(X,Y)可以是F(X,2)为约1≤X≤2orf(X,X)为约2≤X≤N-1,
和最大值关闭(X,Y)是f(X,N-1)为约1≤X≤N-1。
Sincef(X,2)=
X+2
2
是在1≤X≤2和f(X,X)=严格单调递增
4(X-1)
x
是严格单调在2≤X≤N-1的增加,我们的结论是
最小值关闭(X,Y),ISF(1,2)=3/2。
故
)
3
2
≤
美国广播公司(G)
X(G)
等号成立当且仅当(DU,DV)=(1,2)为G。
所以每边uv(i)持有。
另一方面,我们也
F(X,N-1)=
(X+N-1)(X+n一3)
第(n-1)×
和
DF(X,N-1)
DX
=
x
2-(N
2-4N+3)
第(n-1)×
2
=
(X+
√
N2-4N+3)(X-
√
N2-4N+3)
第(n-1)×
2
。
IFN=3,则df(X,N-1)/dx的≥0。
这意味着,F(X,N-1)是严格单调
INX增加,因而最大值关闭(X,Y)ISF(N-1,N-1)=F(2,2)=2。
IFN≥4,那么很容易检查thatf(X,N-1)是严格单调递减的
1≤X≤
√
N2-4N+3,并且严格单调增加
√
N2-4N3≤X≤
N-1。
所以最大值关闭(X,N-1)是
最大{F(1,N-1)中,f(N-1,N-1)}=最大
,
n个(n-2)的
N-1
,
4(N-2)
N-1
-=
⎧
⎨
⎩
F(1,3)=F(3,3)=
8
3
如果n=4
F(1,N-1)=
n个(n-2)的
N-1
当n≥5。
因此,IFN=3,则农行(G)/X(G)≤
√
2等号成立当且仅当(DU,DV)=(2,2)
每边uvofG.Ifn=4,thenABC(G)/X(G)≤
+
8/3等号成立当且
只有当(DU,DV)=(1,3)或(DU,DV)=(3,3)为G的每边uv如果n≥5,则
美国广播公司(G)/X(G)≤
*
n个(n-2)的
N-1
等号成立当且仅当(DU,DV)=(1,N-1)为每
G的边uv这就证明(II),因而完成了定理的证明。
-637-
如果图G的最小度至少为k≥2,则势必在定理6.1(ⅰ)
可以如下改进。
推论6.2设G是最小度至少为k≥2的连通图。
然后
*
4(K-1)
的K×(G)≤农行(G)等号成立当且仅当G是k-正则图。
ABC和谐波指数之间7不等式
定理7.1设G是有n≥3个顶点的连通图。
然后
(ⅰ)
3
√
2
4H(G)≤农行(G)等号成立当且仅当G〜=P3;
(二)农业银行(G)≤
√
2N-4H(G)当3≤N≤6,等号成立当且仅当G〜=计;
美国广播公司(G)≤
ñ
2
*
N-2
N-1H(G)当n≥7,等号成立当且仅当G〜=Sn的。
Proof.By定理4.1和定理6.1,
H(G)≤
2
√
3
X(G)≤
2
√
3
·
)
2
3
ABG(G)=
4
3
√
2
美国广播公司(G)
即,
3
√
2
4H(G)≤农行(G)与等式,当且仅当G〜=P3。
这就证明了(我)。
现在我们证明(II)。
让紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性,
我们可以假设1≤杜≤DV≤n-1个。
由于G是有n≥3的连通图
顶点,我们强dv≥2。
我们定义一个函数
F(X,Y)=
⎛
⎝
*
X+Y-2
XY
2
X+Y
⎞
⎠
2
=
(X+Y)
2
(X+Y-2)
4XY
用1≤X≤Y≤N-1andy≥2。
自
∂F(X,Y)
∂Ÿ
=
(X+Y)[X(Y+2)+(Y
2-X
2)+Y(Y-2)]
4XY
2
>0
我们知道,F(X,Y)是严格单调沿y增加。
因此,最大
关闭值(X,Y)是f(X,N-1)对一些1≤X≤N-1。
我们认为功能
F(X,N-1)=
(X+N-1)
2
(X+n一3)
4(N-1)×
。
-638-
然后
DF(X,N-1)
DX
=
(X+N-1)[2倍
2
+(N-3)×(N-1),第(n-3)]
4(N-1)×
2
=
(X+N-1)
?
的x
-(N-3)-
√
第(n-3)第(9n-11)
4
?
的x
-(N-3)+
√
第(n-3)第(9n-11)
4
?
二(n-1)×
2
。
IFN=3或n=4,则有自由度(X,N-1)/DX≥0。
这意味着,F(X,n-1个)
是严格单调递增x中,因此F(X,y)的最大值是
F(N-1,N-1)=2N-4。
当n≥5时,则很容易计算thatf(X,N-1)是严格
单调减少在1≤X≤
-(N-3)+
√
第(n-3)第(9n-11)
4
,并严格单调
增加
-(N-3)+
√
第(n-3)第(9n-11)
4≤X≤N-1。
然后最大值关闭(X,N-1)
是
最大{F(1,N-1)中,f(N-1,N-1)}=最大
,
ñ
2
第(n-2)
4(N-1)
,2N-4
-=
⎧
⎨
⎩
F(N-1,N-1)=2N-4ifn=5orn=6
F(1,N-1)=
ñ
2
第(n-2)
4(N-1)
当n≥7。
因此,如果3≤N≤6,那么农行(G)/H(G)≤
√
2N-4等号成立当且仅当
(DU,DV)=(N-1,N-1)G的每个边uv,当n≥7,则
美国广播公司(G)
H(G)
≤
ñ
2
)
N-2
N-1
等号成立当且仅当(DU,DV)=(1,N-1)G的每一条边uv光这样就完成了
该定理的证明。
同样,我们可以改善由推论4.2和推论6.2绑定定理7.1(i)条。
推论7.2设G是最小度至少为k≥2的连通图。
然后
√
2K-2H(G)≤农行(G)等号成立当且仅当G是k-正则图。
推论7.3设G是最小度至少为2的连通图。
然后
H(G)≤R(G)≤X(G)<农行(G)与当且仅当G是一个普通的第一个平等
图,并当且仅当G是一个周期中的第二个等式。
-639-
Deng等。
[4]最近考虑谐波指标之间的关系的
色数χ(G),
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