完整版三角形角平分线中线高线证明题.docx
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完整版三角形角平分线中线高线证明题
2.证题的思路:
找夹角(SAS)
已知两边找直角(HL)
找第三边(SSS
若边为角的对边,则找任意角(AAS)
”亠&找已知角的另一边(SAS
已知一边一角
边为角的邻边找已知边的对角(AAS)
找夹已知边的另一角(ASA)
已知两角找两角的夹边(ASA)找任意一边(AAS)
性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
(以上可以简称:
全等三角形的对应元素相等)
7、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
8两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等。
(ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角
形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
三角形辅助线做法
图中有角平分线,可向两边作垂线。
系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
中线。
一、倍长中线(线段)造全等
例1、“希望杯”试题)已知,如图△AD的取值范围是.
也可将图对折看,对称以后关
角平分线加垂线,三线合一试
要证线段倍与半,延长缩短可
三角形中有中线,延长中线等
例2、如图,△ABC中,E、F分别在ABAC上,试比较BE+CF与EF的大小.
二、截长补短
1、如图,ABC中,AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证:
CDLAC
3、如图,△ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点,求证:
AD平分/BAE.
3、如图,已知在VABC内,BAC60,CA上,并且AP,BQ分别是BAC,BQ+AQ二AB+BP
4、如图,在四边形ABC[中,BOBA,AD=CD,BD平分ABC,
求证:
AC180°
5、如图在△ABC中,AB>ACZ1=Z2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC
>PB-PC
三、借助角平分线造全等
1、如图,已知在厶ABC中,ZB=60°,
相交于点O,求证:
OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分ZBACDGLBC且平分BCDE1AB于E,DFLAC于F.
(1)说明BE二CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AEBE
的长.
三、解答题:
(共55分)
10.如图,△ABC中,/C=90,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN丄AB.
求证:
AN平分/BAC.(7分)
11.已知:
如图AC、BD相交于点O,AC二BD,/C二/D=90°,求证:
0C=0D.(8分)
12.已知:
女口图,AB二AE,BC二ED/B=/E,AF丄CD,F为垂足,求证:
CF=DF.(8分)
13.在厶ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD求证:
AE=AD.(8分)
14.已知如图,AB=AC,/BAC=90,AE是过A点的一条直线,且B、C在
DE的异侧,BD丄AE于D,CE1AE于E,求证:
BD=DE+CE.(8分)
15.已知如图,在厶ABC中,/BAC=/B,AB=2AC求证:
△ABC是直角三角形?
(8分)
16.已知如图,在厶ABC中,以ABAC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABEACF连结EF,过点A作ADLBC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由
(1)中所得结论的道理吗?
(8分)
全等三角形
1.
将直角三角形(/ACB为直角)沿线段CD折叠使B落在B'处,若/ACB=60°,则/ACD度数为.
2.如图,△ABE^H^ACD是△ABC分别沿着ABAC边翻折180°形成
的,若/BAC=150,则/EFC的度数为.
3.已知△ABC中,/ABC=45,AC=4H是高AD和BE的交点,则线
段BH的长度为.
4.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、
CA上的点,
(1)若ADBECF,问厶DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若厶DEF是等边三角形,问ADBECF成立吗?
试证明你的结论.
5.如图所示,已知/仁/2,EF丄AD于P,交BC延长线于M求证:
2/M=(/ACB-ZB)
6.AABC中,/A=90°,AB二ACD为BC中点,E、F分别在ACAB上,且DEIDF,试判断DEDF的数量关系,并说明理由.
7.已知:
如图,△ABC中,ABC45°CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)
求证:
BFAC;
8.如图,点O是等边△ABC内一点,AOB110o,BOC.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。
得厶ADC,连接OD.
(1)求证:
ACOD是等边三角形;
(2)当1500时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当为多少度时,△AOD是等腰三角形?
9.如图,△ABC中,E、F分别是ABAC上的点.①AD平分/BAC
②DELABDF!
AC③ADIEF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即①②?
③,①③?
②,②③?
①.试判断上述三个命题是否正确,并证明你认为正确的命题.
10.已知:
如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DEDB,连接AE,CD.
(1)求证:
△AGEDAC;
(2)
过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF
11.如图所示,已知点C为线段AB上一点,△ACMABCN是等边三角形.试说明:
(1)AN=BM;
(2)CD=CE
(3)连接DE猜想:
①厶CDE的形状②DE与AB的位置关系。
(4)若把原题中“△ACMfH^BCN是两个等边三角形”换成两个
正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?
请说明理由.
12、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:
如图所示,/AOB是一个任意角,在边OA0B上分别取0M=0移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与MN重合.过角尺顶点P的射线OP便是/AOB的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.
13、操作:
如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角/BDC=120。
的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交ABAC边于MN两点,连接MN探究:
线段BMMNNC之间的关系,并加以证明.
14、已知:
如图分别以△ABC的每一条边,在三角形外作等边三
15、已知:
如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的有几组?
请指出它们,并且选择一组给出证明
16.(2003•广东)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,ZBAC=90,O为BC的中占
I八、、・
(1)写出点0到4ABC勺三个顶点A、B、C的距离的关系(不证明);
(2)如果点MN分别在线段ABAC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN?
的形状,并证明你的结论.
2、如图,已知/仁/2,ZC二/D证明:
/A二/F
3、已知:
如图,AB//CD/1=ZB,/2=ZD.求证:
BELDE
4、如图,AB//CD求证:
/A+/C+/AEC=360
5、如图,若AB//CD猜想/A、/E、/D之间的关系,并证明之。
7、女口图,平行四边形ABC冲,AB//CDAD//BCE为AD的中点,
在不添其他字母和线段的情况下,回答下列问题:
(1)图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等?
(2)图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等?
(3)如果平行四边形ABCD勺面积为8平方厘米,分别求出图中所有
三角形的面积。
如图,已知Saabc=5,Sxbc=,9,cda=10,Sadab=6,求S^oab的值
D
10、
如图所示,AE//BD/1=3/2,/2=25°,求/C的度数。
B
15、
已知:
求证:
如图,AC//DEDC/EF,CD平分/BCDEF平分/BED
麴:
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16、如图,已知
CD平分/ACB
DE//BCEF平分/AEDEF丄ABCDLAB试说明
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- 完整版 三角形 平分线 中线 证明