四边形 多边形的内角和.docx
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四边形多边形的内角和
四边形多边形的内角和
知识要点:
1.四边形的有关概念:
内角、外角、对角线、凸四边形。
2.凸四边形:
把四边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫凸四边形。
如图
(1)是凸四边形,下图
(2)不是凸四边形。
图
(1) 图
(2)
我们只研究凸四边形和凸多边形。
3.多边形的对角线,四边形有两条对角线。
如图,四边形ABCD中,AC,BD是它的两条对角线。
类似地我们可
以给出多边形对角线的概念,如图,五边形ABCDE中,AC,AD,BD,BE,CE是它的五条对角线。
即
=5(条)。
同样,我们可以计算出六边形有
=9(条)对角线(请同学们自己动手画图)……。
我们可以得出n边形的对角线有
条(n为正整数)。
4.四边形内角和定理:
四边形内角和等于360°,(一条对角线将四边形分成两个三角形,由此推出四边形内角和为2×180°=360°)。
类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°,n边形内角和等于(n-2)·180°(即多边形内角和定理)。
四边形外角和等于360°,任意多边形的外角和也是360°(多边形内角和定理的推论)。
5.多边形的有关问题
多边形的内角和定理:
n边形的内角和为180°(n-2)。
多边形的外角和定理:
多边形的外角和为360°。
多边形的对角线:
多边形共
条对角线。
注意问题
1、关于四边形的概念,可以仿照三角形,通过类比的分法来建立,但要注意的是,三角形的三个顶点确定一个平面,所以三顶点总是共面的,也就是说三角形一定是平面图形,但四边形就不是这样,它的四个顶点有不共面的情况,又限于我们现在研究的是平面图形,所以在四边形的定义加上“在同一平面内”这个条件。
2、三角形的三边确定后,三角形的形状就确定了,而四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变,四边形改变形状时,只改变某些角的大小,它的边长不变,周长不变,这正是四边形的不稳定性,但它仍是四边形,所以它的内角和不变。
例题分析
第一阶段
[例1]如图4—1—5,求:
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数和。
思路分析:
一个不规则的几何图形,只有转化为规则的几何图形,才便于我们研究,考虑到四边形的内角和为定值,连结AD,∠E、∠F转移至四边形中,六角之和为360°就一目了然了。
解:
连结AD,在△AOD和△EOF中,∵∠AOD与∠EOF是对顶角,∴∠E+∠F=∠OAD+∠ODA。
又∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。
[例2]如图4—1—7,AB、BC、CD是三根长度分别为1cm、2cm、5cm的木棒,它们之间连结处可以转动,现在A、D
之间拉一根橡皮筋,请根据四边形的不稳定性思考:
这根橡皮筋的最大长度可以拉到________,最短长度为____________。
根据这一思考方法,若一四边形的长度依次为3、7、x、2,则x的取值范围是__________,若四边形长度依次为3、7、x、5,则x的取值范围是_________。
思路分析:
由于B、C两处可以转动,当A、B、C、D形成一条线段时,AD最长,它等于1+2+5=8(cm),当A、B、C拉直,此时B、A落在CD上时,AD最小,其值为2cm。
设四边形ABCD的边分别为BC=3,CD=7,DA=x,AB=2,拉直B、C、D,形成△DBA,则x的取值范围是:
3+7-2 7-3-2 2 设四边形MNHF的边分别为NH=3,HF=7,MF=x,MN=5,则类似上面的四边形有: 3+7-5,3+5-7 答案: 8cm,2cm,2 [例3]下列关于多边形的叙述: (1)如果一个多边形的每个内角都相等,且都等于150°,那么这个多边形为12边形; (2)如果一个多边形的每个外角都相等,且都等于60°,则这个多边形为六边形; (3)如果一个n边形有n条对角线,则n的值为5; (4)存在一个多边形,其内角和为1900°,正确说法的序号是_____________。 思路分析: (1)如果设这个多边形的边数为x,由多边形内角和定理有(x-2)·180°=n150°,求得n=12,故 (1)正确; (2)由于多边形的外角和恒定为360°,360÷60=6,故说法 (2)正确; (3)n边形的对角线的条数为 ,所以 ,求得n=5,说法(3)正确; (4)由多边形内角和公式知: 其内角的度数和应是180°的整数倍,而1900不能被180整除,因此,说法(4)不正确。 答案: (1) (2)(3)。 第二阶段 [例4]如图4—2—1,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数和为______________。 思路分析: 若连结CF,由三角形内角和定理有∠E+∠D的度数与∠DCF+∠EFC的度数相等,因此上述七角之和恰好为一个五边形的内角和,(5-2)·180°=540°。 答案: 540° [例5]一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个多边形的边数。 思路分析: 多边形的内角和为180°的整数倍,而多边形的外角一定小于180°,注意到边数必为正整数这个隐含条件,可以利用不等式确定边数的范围,然后再通过边数为整数来确定边数。 解: 设边数为n,这个外角为x°,则O ∵1350-180<1350-x<1350, 即1170<1350-x<1350。 又∵(n-2)·180<1350-x, ∴1170<(n-2)·180<1350, ∴8.5 又∵n为整数, ∴n=9。 [例6]一个多边形的内角和不可能是() A、1800°B、360°C、1080°D、910° 思路分析: 因多边形的内角和等于180°的整数倍,而910°不能被180°整除,故选D。 答案: D 第三阶段 [例7]一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_________。 思路分析: 多边形内角和、外角和定理。 解: 设边数为n,根据题意有 n·30°=360°,n=12。 故应填12. [例8]一个多边形每一个内角都是144°,求此多边形的边数。 思路分析: (思路一)设边数为n,由内角和定理列方程求解; (思路二)可先求出外角的度数,再由外角和定理求边数。 解法一: 设多边形的边数为n,根据题意,得 (n-2)·180°=n·144°, ∴n=10。 解法二: 设多边形得边数为n, n(180°-144°)=360°, ∴n=10。 [例9]一块四边形玻璃被打碎成如图4.1—4所示的三块,带上哪一块到玻璃店可配出原样来? 思路分析: 四边形由四条边组成。 解: 带上第 (1)块可配出原样。 例题分析: 例1、四边形最多有几个钝角? 几个直角? 几个锐角,最少有几个钝角? 几个锐角? 分析: 根据内角和定理来列举。 解: 四边形中最多有三个钝角,四个直角、三个锐角,可以没有钝角和锐角。 假设有四个钝角,则它的内角和就大于360°,这和四边形内角和为360°矛盾,所以它最多有三个钝角,假设有四个锐角,则它的内角和又小于360°,故此也是错误的,最多只能有三个锐角。 当然可以有四个直角,此时它是矩形(长方形),此时即没有钝角也没有锐角。 例2、已知四边形各内角之比为3: 3: 5: 4,求四个内角。 分析: 由四边形内角和定理知,四边形内角和为360°。 依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x,根据题意得: 3x+3x+5x+4x=360°,解这个一元方程即可。 解: 设四个内角分别为3x,3x,5x,4x, 则3x+3x+5x+4x=360°,x=24°, ∴3x=72°,5x=120°,4x=96°, ∴四边形各内角分别为72°,72°,120°,96°。 例3.若一个多边形所有的内角与外角的和为1260°,求这个多边形的边数。 分析: 多边形的边数与内角和的关系是由多边形内角和定理给出的。 解: 设多边形的边数为n,则由多边形内角和定理及推论得 (n-2)·180°+360°=1260° (n-2)·180°=900° n-2=5 ∴n=7 答: 这个多边形的边数为7。 例4、正多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多20°,则这个多边形的内角和是多少? 分析: 这类题目的关键在于抓住多边形的边数、内角、外角及内角和、外角和这些量之间的关系,对多边形的内角和公式一定要熟悉。 解: 设多边形的边数为n,每个外角为x°,则其相邻的内角为(3x+20)°, 解得 180°(9-2)=1260°, ∴多边形的内角和为1260°。 例5.一个多边形除一个内角外,其余各角和为2210°,求这个内角的度数及多边形的边数。 分析: 考虑多边形的内角和与边数的关系,可以利用方程的思想来解决。 解: 设这个多边形的边数为n,这个内角的度数为x° 依题意得(n-2)·180°=x°+2210° 又∵0 ∴2210°<(n-2)·180°<2210°+180° ∴12 ∴14 ∵n是整数,∴n=15 ∴x°=(15-2)×180°-2210°=130° 答: 这个内角度数为130°,多边形的边数为15。 例6.一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是几边形? 它的每个内角是多少度? 解: 法一,设这个多边形的边数为n ∵每个外角都等于72°,∴每个内角=180°-72°=108° ∴(n-2)·180°=108°·n 解得n=5 答: 这个多边形是五边形,每个内角为108°。 法二: 设这个多边形的边数为n 依题意 n·72°=360° n= =5 每个内角为180°-72°=108° 答: 略。 说明: 这两个解法同样是从不同的角度解决问题,显然法二比法一简单。 看来,认真分析已知条件,选择好的解法是很重要的。 例7.四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,∠D的外角度数是75°,求∠A? 解: 由已知∠D的外角为75° ∴∠D=180°-75°=105° 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°(四边形内角和为360°) ∵∠A=∠B=∠C ∴3∠A+105°=360° ∴∠A=85° 答: ∠A=85°。 例8、已知如图,在四边形ABCD中,∠B和∠C的平分线相交于点O,求证: ∠BOC= (∠A+∠D) 分析: 本题综合运用了三角形内角和定理,四边形内角和定理及角平分线等知识,通过等量代换及和,差计算证得结果。 证明: ∵∠A+∠D+∠DCB+∠CBA=360°(四边形内角和定理) ∴∠DCB+∠CBA=360°-(∠A+∠D) 又∵∠1= ∠DCB,∠2= ∠CBA ∴∠1+∠2= (∠DCB+∠CBA)= [360°-(∠A+∠D)]=180°- (∠A+∠D) 又∵∠BOC+∠1+∠2=180° ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-[180°- (∠A+∠D)]= (∠A+∠D) 即: ∠BOC= (∠A+∠D)。 测试 选择题 1.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是为( ) A、5 B、6 C、7 D、8 2.九边形内角和以及外角和的度数分别为( ) A、1260° 360° B、1080° 180° C、1260° 1080° D、1620° 360° 3.多边形内角和为2340°,则这个多边形的边数为( ) A、13 B、15 C、18 D、20 4.若一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形的边数为( ) A、14 B、10 C、12 D、15 5.一个多边形的内角和与它的外角和等于2700°,则这个多边形的边数为( ) A、13 B、15 C、16 D、14 6.内角和等于外角和的多边形是( )边形。 A、3 B、4 C、5 D、6 7.如果一个四边形四个内角之比是2: 2: 3: 5,那么这四个内角中( ) A、只有一个锐角 B、只有一个直角 C、有两个直角 D、有两个钝角 8.若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线,则它是( )边形。 A、五 B、六 C、七 D、八 9.一个多边形的边数增加,它的内角和也随着增加,而它的外角和( ) A、随着增加 B、随着减少 C、保持不变 D、无法确定 10.四边形的四个内角可以都是( ) A、锐角 B、直角 C、钝角 D、以上答案都不对 答案与解析 答案: 1、D 2、A 3、B 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、B 解析: 4.若一个多边形的每个内角都等于150°,则每个相邻外角都是30°,因为外角和为360°,360÷30=12(边)。 7.分析: 四个内角之比是2: 2: 3: 5,所以设这个四边形的各个角分别为2x、2x、3x、5x,所以2x+2x+3x+5x=360,分别求出各角。 8.若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线,则这个多边形除了这个顶点和相邻两顶点外还有5个顶点,则它的边数为: 5+3=8。 中考解析 任意多边形的内角和为(n-2)·180°(这里n表示边数),外角和是360°,需指出的是多边形内角和随边数的变化而变化,而外角和是一个定值,它不随边数的变化而变化,此类题目类型大致可分为: (1)已知边数,求内角和。 其方法是直接将边数代入公式即可。 (2)已知角度求边数。 若已知内角和,则直接用内角和公式列方程可求边数; 若已知一个内角的度数,则列出这个角度乘以n等于(n-2)·180°的方程,求边数; 若已知一个外角的度数,则只需用外角和除以已知角的度数,即求出边数; 若已知内、外角和的度数之比,则利用 等于已知比,可求边数。 例1.如果一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形是( ) A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形 解: 多边形外角和为360°,设这个多边形的边数为n, 由题意,可知有(n-2)·180°=360°, 解之,得n=4。 故选B。 例2.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形是( )。 A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形 解: 设这个多边形的边数为n,则依题意有 (n-2)·180°=720°, 解之,得n=6。 故选C。 例3.如果一个多边形的外角和等于它的内角和的一半,那么这个多边形的边数是( ) A、3 B、4 C、5 D、6 解: 设这个多边形的边数为n,则依题意,有 =360°, 解之,得n=6.故选D。 例4.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 解: 设这个多边形的边数为n,则依题意,有(n-2)·180°=360°×3-180°, 解得n=7。 故选C。 练习题 1、在平面内,由不在同一直线上的四条线段________组成的图形叫做四边形。 2、在四边形中,连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的____________。 3、四边形________的角叫四边形的内角,四边形的内角和等于_________。 4、四边形________的角叫四边形的外角,四边形的外角和等于________。 5、一个六边形的内角和等于_______度,外角和等于_______度。 6、一个多边形每增加一边,其内角和增加_______,其外角和__________(变或不变)。 7、n边形n个内角与某一个外角总和1350°,则n等于() A、6B、7C、8D、9 8、一个多边形共有14条对角线,那么这个多边形的边数为() A、5B、6C、7D、8 9、下列关于四边形的说法, (1)四边形中至少有一个角不是钝角; (2)延长四边形的某一边得直线L,若其余各边都在L的同侧,则这个四边形是凸四边形; (3)四边形的四个外角中至少有两个钝角; (4)四边形中,如果四条边长确定,那么该四边形惟一确定,其中正确说法的个数为() A、0B、1个C、2个D、3个 10、一个四边形四个内角之比为1: 2: 3: 4,下列说法: (1)这个四边形有两个钝角; (2)这个四边形是凸四边形; (3)这个四边形最小的内角为36°; (4)这个四边形四条边之比也恰好为1: 2: 3: 4,其中正确说法的个数为() A、1个B、2个C、3个D、无法确定 11、一个四边形的四个外角之比为2: 3: 5: 8,下列说法: (1)这个四边形的最小外角为40°; (2)这个四边形的最大内角为160°; (3)这个四边形的最大外角为160; (4)这个四边形的四个内角的度数与四个外角的度数有着相同的数值,其中错误说法的序号为() A、 (1)和(3)B、 (1)和(4)C、 (2)和(3)D、 (2)和(4) 12、四边形ABCD中,如果AD∥BC,那么∠A: ∠B: ∠C: ∠D可以等于() A、3: 5: 6: 4B、3: 4: 5: 6C、4: 5: 5: 4D、6: 6: 4: 3 13、下列说法: (1)多边形中至少有一个角不是钝角; (2)多边形的外角和随着边数的增加而增加; (3)六边形的六个内角中至少有三个钝角; (4)多边形的外角中至少有一个锐角; (5)如果把一个多边形的边数增加,则所有外角的平均值将减小,其中正确说法的个数是() A、1B、2C、3D、4 14、五边形ABCDE中,∠A: ∠B: ∠C: ∠D: ∠E=2: 3: 4: 5: 6,则最大角为() A、150°B、135°C、162°D、54° 15、一个多边形除了一个内角外,其余各角之和为2570°,则这个内角的度数为() A、30°B、105°C、130°D、120° 16、有两个多边形,如果它们都是各边相等、各内角相等的多边形,且这两个多边形的边数之比为1: 2,内角和之比为3: 8,则这两个多边形的边数分别是() A、4、8B、5、10C、6、12D、7、14 参考答案 1、首尾顺次相接 2、对角线 3、相邻两边所组成360° 4、的一边与另一边的延长线所组成,360° 5、720°,360° 6、180°,不变 7—11DCCCD 12—16CACCB
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- 四边形 多边形的内角和 多边形 内角