全国初中数学联赛初二卷及详解.docx
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全国初中数学联赛初二卷及详解
全国初中数学联赛初二卷及详解
————————————————————————————————作者:
————————————————————————————————日期:
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷
第一试
一、选择题:
(本题满分42分,每小题7分)
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,则
的值为().
A.2B.1C.0D.-1
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1,
,则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为().
A.125B.120C.100D.81
3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为().
A.4B.3C.2D.1
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,则a2+b2+c2的值为().
A.424B.430C.441D.460
5.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为().
A.
B.
C.
D.
6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,点E在AB上,若AE=42,BE=28,BC=70,∠DCE=45°,则DE的值为().
A.56B.58C.60D.62
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)
7.使得等式
成立的实数a的值为________.
8.已知△ABC的三个内角满足A<B<C<100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者,则θ的最大值为________.
9.设a,b是两个互质的正整数,且
为质数.则p的值为________.
10.20个都不等于7的正整数排成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、(本题满分20分)设A,B是两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果A2-B2是完全平方数,求A的值.
二、(本题满分25分)如图,△ABC中,D为BC的中点,DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,BE⊥DE,CF⊥DF,P为AD与EF的交点.证明:
EF=2PD.
三、(本题满分25分)已知a,b,c是不全相等的正整数,且
为有理数,求
的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
第一试
一、选择题:
(本题满分42分,每小题7分)
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,则
的值为().
A.2B.1C.0D.-1
答案:
B
对应讲次:
所属知识点:
方程
思路:
因为所求分式的特点可以想到把a+2b,3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析:
已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90,3(a+2b)+(3b+c)=72,解得a+2b=18,3b+c=18,所以
.
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1,
,则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为().
A.125B.120C.100D.81
答案:
C
对应讲次:
所属知识点:
方程
思路:
可以想到换元法.
解析:
设x=a+1,y=b+3,z=c+5,则x+y+z=10,
,
∴xy+xz+yz=0,由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.
则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=100.
3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为().
A.4B.3C.2D.1
答案:
B
对应讲次:
所属知识点:
数论
思路:
先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类,再通过枚举法一一验证.
解析:
若(a,b,c)为好数组,则abc=2(a+b+c)≤6c,即ab≤6,显然a=1或2.
若a=1,则bc=2(1+b+c),即(b-2)(c-2)=6,可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5),共2个好数组.
若a=2,则b=2或3,可得b=2,c=4;b=3,c=
,不是整数舍去,共1个好数组.
共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4).
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,则a2+b2+c2的值为().
A.424B.430C.441D.460
答案:
C
对应讲次:
所属知识点:
方程
思路:
由已知等式消去c整理后,通过a,b是正整数的限制,枚举出所有可能,并一一代入原方程验证,最终确定结果.
解析:
联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75,则3(b-1)2≤75,即1≤b≤6.
当b=1,2,3,4,5时,均无与之对应的正整数a;
当b=6时,a=9,符合要求,此时c=18,代入验证满足原方程.
因此,a=9,b=6,c=18,则a2+b2+c2=441.
5.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为().
A.
B.
C.
D.
答案:
A
对应讲次:
所属知识点:
平面几何
思路:
通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
解析:
作AE∥DC,AH⊥BC,则ADCE是平行四边形,则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB,
则△ABE是等腰三角形,BE=AB=3,AE=2,经计算可得
.
所以梯形ABCD的面积为
.
6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,点E在AB上,若AE=42,BE=28,BC=70,∠DCE=45°,则DE的值为().
A.56B.58C.60D.62
答案:
B
对应讲次:
所属知识点:
平面几何
思路:
补形法,把直角梯形先补成正方形,再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去,利用勾股定理求解.
解析:
作CF⊥AD,交AD的延长线于点F,将△CDF绕点C逆时针旋转90°至△CGB,则ABCF为正方形,可得△ECG≌△ECD,∴EG=ED.
设DE=x,则DF=BG=x-28,AD=98-x.
在Rt△EAD中,有422+(98-x)2=x2,解得x=58.
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)
7.使得等式
成立的实数a的值为________.
答案:
8
对应讲次:
所属知识点:
方程
思路:
通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式,再用换元法化简等式,最后要验证结果是否满足最初的等式.
解析:
易得
.
令
,则x≥0,代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0,解得x1=0,x2=3,x3=-1,舍负,即a=-1或8,验证可得a=8.
8.已知△ABC的三个内角满足A<B<C<100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者,则θ的最大值为________.
答案:
20°
对应讲次:
所属知识点:
代数
思路:
一般来说,求几个中最小者的最大值时,就是考虑这几个都相等的情况.
解析:
∵θ≤100°-C,θ≤C-B,θ≤B-A∴θ≤
[3(100°-C)+2(C-B)+(B-A)]=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时,θ=20°可以取到.
则θ的最大值为20°.
9.设a,b是两个互质的正整数,且
为质数.则p的值为________.
答案:
7
对应讲次:
所属知识点:
数论
思路:
因为p是质数,只能拆成1和p,另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分
的可能种类,最后分类讨论,要么与条件矛盾,要么得出结果.
解析:
因为a,b互质,所以a+b、a、b两两互质,因为
质数,所以
可得a=b=1,p=4,不是质数舍;
可得a=7,b=1,p=7,符合题意.
则p=7.
10.20个都不等于7的正整数排成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为________.
答案:
34
对应讲次:
所属知识点:
数论
思路:
考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求,其和为34,接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
解析:
设该正整数列为
,考虑
,依抽屉原理必然有两项模7的余数相同,则该两项的差是7的倍数,于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数,又不能为7,则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28,剩下6个数之和不小于6,于是该数列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知,存在数列和为34的情况.
第二试
一、(本题满分20分)设A,B是两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果A2-B2是完全平方数,求A的值.
答案:
65
对应讲次:
所属知识点:
数论
思路:
对于需要考虑不同位数上数字的情况,可以把一个两位数
设为10a+b,转为为代数问题,再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现,综合分析所有限定下可能性,最终确定结果.
解析:
设A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N),则B=10b+a,由A,B不同得a≠b,A2-B2=(10a+b)2-(10b+a)2=9×11×(a+b)(a-b).………5分
由A2-B2是完全平方数,则a>b,
,可得a+b=11,………10分
a-b也是完全平方数,所以a-b=1或4.………15分
若a-b=1,则a=6,b=5;
若a-b=4,则没有正整数解.
因此a=6,b=5,A=65.………20分
二、(本题满分25分)如图,△ABC中,D为BC的中点,DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,BE⊥DE,CF⊥DF,P为AD与EF的交点.证明:
EF=2PD.
对应讲次:
所属知识点:
平面几何
思路:
因为EF、PD都在△DEF中,所以想办法推出其性质,比较容易得出∠EDF=90°,此时若能得出EF=PD,则自然可以得到结论.
解析:
由DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,可得∠EDF=90°.………5分
由BE⊥DE得BE∥DF,则∠EBD=∠FDC.………10分
又BD=DC,∠BED=∠DFC=90°,则△BED≌△DFC,BE=DF.………15分
得四边形BDFE是平行四边形,∠PED=∠EDB=∠EDP,EP=PD.………20分
又△EDF是直角三角形,∴EF=2PD.………25分
三、(本题满分25分)已知a,b,c是不全相等的正整数,且
为有理数,求
的最小值.
答案:
3
对应讲次:
所属知识点:
数论
思路:
通过a,b,c是正整数,可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到
,可以通过分母有理化来实现分离,再利用a,b,c互不相等,从最小正整数开始讨论即可得出最小值.
解析:
,由
是有理数,可得b2=ac.…10分
.………15分
不妨设a<c,若a=1,c=b2,因为a≠b,则a+c-b=1+b(b-1)≥3,取等号当且仅当b=2时.………20分
若a≥2,因为c≠b≠1,则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4>3.
所以
的最小值为3,当a=1,b=2,c=4时.………25分
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