第七章X2检验.docx

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第七章X2检验

第七章X2检验

第七章　X2检验

X2（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

　　一、两个率的比较

（一）X2检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。

两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。

造成这种不同的原因可能有两种：

一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。

为了区别这两种情况，应当进行X2检验。

其基本步骤如下：

　　1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

　　将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

　　2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：

两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H0：

π1=π2。

即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：

病死率与疗法无关。

　　上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。

当H0被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H1。

此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H1：

π1≠π2

　　因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H0都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。

一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

　　3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。

计算方法如下：

假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。

用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。

后者为81.25人。

然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　计算理论频数也可用下式（3.4）

　　TRC=nRnC/N（3.4）

　　式中，TRC为R行与C列相交格子的理论频数，nR为与计算的理论频数同行的合计数，nC为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

　　例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T1１）为

　　T1１＝75×70/200=26.25

　　用两种方法计算，结果是相同的。

　　4．计算χ2值，计算χ2值的基本公式为：

　　X2=∑（A-T）2/t　（3.5）

　　式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

　　将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ2值。

此例χ2=4.929。

　　从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ2值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H0，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ2值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。

但χ2值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ2值表（附表1），查χ2值表前先要定自由度。

　　5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。

在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。

若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。

例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当ab,，cd，ac，bd都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。

其计算公式为：

　　ν=（R-1）（C-1）（3.6）　　式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

　　四格表有2行和2列（注意：

总计与合计栏不算在内）。

因此ν=（2-1）（2-1）=1。

　　6．求P值，作结论　根据自由度查χ2值表（附表1）。

此表的左侧ν为自由度，表内数字χ2值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ2值的概率。

三者关系是：

在同一自由度下，χ2值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ2值也越大。

χ2值与概率P呈相反的关系。

χ2检验的常用界值为：

　　χ2<χ20.05（）P>0.05在α=0.05水准处接受H0，差别不显著

　　χ20.05≤χ2<χ20.01（）0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝HO，接受H1，差别显著

　　χ2≥χ20.01（）P≤0.01在α=0.01水准处拒绝HO，接受H1，差别显著

　　这里α是预定的检验水准。

χ20.05（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ2值，简称5%点，χ20.01（）是与P=0.01相对应的χ2值，简称1%点。

　　当ν=1时，χ20.05

（1）3.84，χ20.01

（1）=6.63。

本例自由度为1，求得χ2=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ20.05

（1）<χ2<χ20.01

（1）。

由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ2=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。

在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，两总体率不等。

对照组的病死率较抗凝血组高。

　　在α=0.05水准处拒绝H0，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

　　下面将实例的检验步骤集中列出。

　　例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。

抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别

治疗人数

死亡人数

病死率（%）

抗凝血组

75

19

25.33

对照组

125

51

40.80

总计

200

70

35.00

　　检验步骤如下：

　　1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

死亡

生存

合计

抗凝血组

19（26.25）

56（48.75）

75

对照组

51（43.75）

74（81.25）

125

总计

70

130

200

　　2．H0：

两疗法的总体病死率相同，即π1=π2

　　H1：

两疗法的总体病死率不同，即π1≠π2

　　α=0.05

　　3．求理论频数

　　抗凝血组：

　　死亡人数为75×35.0%=26.25人

　　存活人数为75-26.25=48.75人

　　对照组：

　　死亡人数为125×35.0%=43.75人　　存活人数为125-43.75=81.25人

　　把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

4．求χ2值将表3.6里的数值代入式（3.5）得，

5．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（2-1）（2-1）=1，χ20.05

（1）=3.84,χ20.01

（1）=6.63,

　　本例χ2=4.929,χ20.05

（1）<χ2<χ20.01

（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

　　上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X2检验。

先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ2值，二者相差越大，χ2值也越大。

本例得χ2=4.929，根据自由度为1时的χ2分布推断，从同一总体内抽样，出现χ2值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。

　　例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

烟薰后鼠洞情况

合计

　　（实验观察洞数）

灭洞率

　　（%）

未盗开

盗　开

04号配方

13（16.63）

9（5.37）

22

59.1

05号配方

80（76.37）

21（24.63）

101

79.2

总计

93

30

123

75.6

　　（三）四格表中求χ2的专用公式　用上述基本公式（3.5）求χ2值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。

在四格表中，用下列专用公式较为简便。

式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=abcd）。

　　现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ2值专用公式的符号

死亡

生存

合计

抗凝血组

19（a）

56（b）

75（ab）

对照组

51（c）

74（d）

125（cd）

70（ac）

130（bd）

200（N）

　　将实际频数代入式（3.8）得，

　　这里用专用公式求得的χ2值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。

　　前面已介绍了连续性校正公式（3.7），为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9），并以表3.8资料代入计算如下：

　　所得结果与式（3.7）求得的一致。

　　二、多个率或多个构成比的比较

（一）2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ2值较为简便。

如果是多个率比较，就要列成2×K表。

这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。

求χ2值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：

表3.9　2×K表形式之一

a1

　　a2

　　┆

　　┆

b1

　　b2

　　┆

　　┆

n1

　　n2

　　┆

　　┆

∑ai

∑bi

N

　　公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。

　　例3.3某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？

表3.10　三个组的疟疾复发率

组　别

观察例数

复发例数

复发率（%）

吡嗪磺合剂

　　乙胺嘧啶

　　对　照

1996

　　473

　　484

76

　　27

　　53

3.81

　　5.71

　　10.95

合　计

2953

156

5.28

　　χ2检验步骤如下：

　　1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。

注意：

这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11　三个组疟疾复发率的比较

复发

未复发

合计

吡嗪磺合剂

76

1920

1996

乙胺嘧啶

27

446

473

对照

53

431

484

合计

156

2797

2953

　　2．H0：

三个总体复发率相同　　H１：

三个总体复发率不全相同

　　α=0.05

　　3．求χ2值将表3.11的数值代入式（3.10）（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便）得：

　　4．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01

（2）=9.21，本例χ2=39.92>χ20.01

（2），P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H0，接受H1，即三个组的复发率有显著差别。

　　本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。

本例的检验结果是：

吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01），乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01），而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

　　本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。

如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。

这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。

这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12　2×K表形式之二

a1

a2

……

∑ai

　　∑bi

b1

b2

……

n1

n2

……

N

　　例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？

表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名

弥漫型

结节型

混合型

合计

甲县

486

2

4

492

乙县

133

260

51

444

合计

619

262

55

936

　　检验步骤如下：

　　1．H0：

两总体甲状腺肿型别构成相同

　　H1：

两总体甲状腺肿型别构成不同

　　α=0.05

　　2．求χ2值，将表3.13中的数值代入式3.10得：

　　3．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01

（2）=9.21,本例，χ2=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01）。

甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。

　　此类资料经χ2检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。

如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。

同时要指出两组构成的主要区别。

（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。

对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5）,但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ2值，较为简便。

　　式中，Aij为i行第j列的实际频数，ni为第i行的合计数，nj为第j行列的合计数，N为总频数。

　　这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X2值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。

　　例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？

表3.14　胆结石类型与部位的关系

结石部位

总例数

例数

百　分　比

胆固醇结石

胆红素结石

其它

胆固醇结石

胆红素结石

其它

胆囊

118

70

16

32

59.3

13.6

27.1

肝外胆管

75

12

39

24

16.0

52.0

32.0

肝内胆管

29

2

20

7

6.9

69.0

24.1

合计

222

84

75

63

37.8

33.8

28.4

　　检验步骤如下：

　　1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.

表3.15　胆结石类型与部位的关系

结石部位

结构类型

胆固醇结石

胆红素结石

其它

合计

胆囊

70

16

32

118

肝外胆管

12

39

24

75

肝内胆管

2

20

7

29

合计

84

75

63

222

　　2．H0：

胆结石的类型与部位没有关

4．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01

（2）=9.21，本例χ2=39.92>χ20.01

（2），P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H0，接受H1，即三个组的复发率有显著差别。

　　本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。

本例的检验结果是：

吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01），乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01），而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

　　本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。

如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。

这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。

这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12　2×K表形式之二

a1

a2

……

∑ai

　　∑bi

b1

b2

……

n1

n2

……

N

　　例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？

表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名

弥漫型

结节型

混合型

合计

甲县

486

2

4

492

乙县

133

260

51

444

合计

619

262

55

936

　　检验步骤如下：

　　1．H0：

两总体甲状腺肿型别构成相同　　H1：

两总体甲状腺肿型别构成不同　　α=0.05

2．求χ2值，将表3.13中的数值代入式得：

3．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01

（2）=9.21,本例，χ2=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01）。

甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。

　　此类资料经χ2检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。

如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。

同时要指出两组构成的主要区别。

（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。

对此种资料作假设检验时，可用基本公式但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ2值，较为简便。

　　式中，Aij为i行第j列的实际频数，ni为第i行的合计数，nj为第j行列的合计数，N为总频数。

　　这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X2值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。

　　例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？

表3.14　胆结石类型与部位的关系

结石部位

总例数

例数

百　分　比

胆固醇结石

胆红素结石

其它

胆固醇结石

胆红素结石

其它

胆囊

118

70

16

32

59.3

13.6

27.1

肝外胆管

75

12

39

24

16.0

52.0

32.0

肝内胆管

29

2

20

7

6.9

69.0

24.1

合计

222

84

75

63

37.8

33.8

28.4

　　检验步骤如下：

　　1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.

表3.15　胆结石类型与部位的关系

结石部位

结构类型

胆固醇结石

胆红素结石

其它

合计

胆囊

70

16

32

118

肝外胆管

12

39

24

75

肝内胆管

2

20

7

29

合计

84

75

63

222

　　2．H0：

胆结石的类型与部位没有关系

　　H1：

胆结石的类型与部位有关系　　α=0.01

　　3．求χ2值将表3.15数值代入式（3.12）得：

　　4．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1）（3-1）=4，查χ2值表得χ20.01（4）=13.28，本例χ2=64.06<χ20.01。

在α=0.01水准处拒绝H0，接受H1，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01）,胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。

　　H1：

胆结石的类型与部位有关系　　α=0.01

　　3．求χ2值将表3.15数值代入式（3.12）得：

　　4．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1）（3-1）=4，查χ2值表得χ20.01（4）=13.28，本例χ2=64.06<χ20.01。

在α=0.01水准处拒绝H0，接受H1，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01）,胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。