等腰三角形性质定理提高知识讲解.docx
- 文档编号:24947344
- 上传时间:2023-06-03
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:235.76KB
等腰三角形性质定理提高知识讲解.docx
《等腰三角形性质定理提高知识讲解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等腰三角形性质定理提高知识讲解.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
等腰三角形性质定理提高知识讲解
等腰三角形性质定理(提高)
责编:
杜少波
【学习目标】
1.了解等腰三角形的有关概念,掌握等腰三角形的轴对称性
2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质,并加深对轴对称变换的认识.
3.掌握等腰三角形的下列性质:
等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一.
4.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角
叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角^
如图所示,在4ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中ARAC为腰,BC为底边,/A是顶角,/B、/C是底角.
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC使AB=AC=b,BC=a.
作法:
1.作线段BC=a;
2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形.
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)/B=/C
(3)BD=CDAD为底边上的中线.
(4)/ADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线.
结论:
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三
条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释:
(1)等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45。
,等腰三角形的底角只能为锐角,不
能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).ZA=180。
一2/B,ZB=/C=180J/」.
(2)用尺规作图时,画图的痕迹一定要保留,这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了,题目中要求作的图要画成实线,最后一定要点题,即“xxx即为所求”.
(3)等边三角形与等腰三角形的关系:
等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形.
等边三角形是中考中常考的知识点,并且有关它的计算也很常见,因此对于等边三角形的特殊数据
要熟记于心,比如边长为a的等边三角形它的高是3aa,面积是3aa2.
24
【高清课堂:
389301等腰三角形的性质及判定,知识要点】
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1:
等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”
推论:
等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”.
2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据.
3•尺规作图:
已知底边和底边上的高
已知线段a,h(如图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BOa,BC边上的高线为h.
作法:
1.作线段BC=a.
4.作线段BC的垂直平分线I,交BC与点D.
5.在直线I上截取DA=h,连接AB,AC.^ABC就是所求作的等腰三角形
【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论
【高清课堂:
389301等腰三角形的性质及判定:
例2
(1)】
▼1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。
,则顶角的度数为()
A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°
【答案】D;
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知,等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角,然而题目没说是什么三角形,所以分类讨论,画出图形再作答.
(1)顶角为锐角如图①,按题意顶角的度数为60。
;
①②
(2)顶角为直角,一腰上的高是另一腰,夹角为0°不符合题意;
(3)顶角为钝角如图②,则顶角度数为120°,故此题应选D.
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的
关键,本题易出现的错误是忽视了顶角为120。
这种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形.
举一反三:
【高清课堂:
389301等腰三角形的性质及判定:
例2
(2)】
【变式1】已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.
【答案】
解:
(1)3为腰长时,则另一腰长也为3,底边长=13—3—3=7;
(2)3为底边长时,则两个腰长的和=13—3=10,则一腰长=1x10=5.
2
这样得两组:
①3,3,7②5,5,3.
而由构成三角形的条件:
两边之和大于第三边可知:
3+3<7,故不能组成三角形,应舍去.
•••等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.
【变式2】等腰三角形有一个外角是100。
,这个等腰三角形的底角是.
【答案】50°或80°.
解:
①若100。
的外角是此等腰三角形的顶角的邻角,
则此顶角为:
180°-100°=80°,
则其底角为:
(180°-80°)+2=50°;
②若100。
的外角是此等腰三角形的底角的邻角,
则此底角为:
180°-100°=80°;
故这个等腰三角形的底角为:
50°或80°.
故答案为:
50°或80°.
类型二、等腰三角形的操作题
▼2、(2016?
顺义一模)我们把过三角形的一个顶点,且能将这个三角形
个等腰三角形的线段称为该三角形的等腰线段
例如:
如右图,RtAABC,取AB边的中点D,线段CD就是△ABC的等腰
(1)请分别画出下列三角形的等腰线段;
(2)例如,在^EFG中,/G=2/F,若^EFG有等腰线段,请直接写出/F的度数的取值范围.
【思路点拨】
(1)利用三角形的等腰线段的定义画图;
(2)分类讨论等腰线段,从而求得/F的度数.
【答案与解析】解:
(1)三角形的等腰线段如图所示,
(2)设/F=x,则/G=2x,如图2,线段EM是等腰线段,.「△EMG是等腰三角形,
EM=EG,ME=MF,
/F=/MEF=x,/EMG=/G=2x,.••2x<90°,
x<45;
如图3,GN为等腰线段,NF=NG,GN=GE,
/F=/NGF=x,/E=/ENG,/EGN=x,/ENG=2x,
.・./E=2x,
.・x+2x+2x=180°,x=36,
F的度数的取值范围为0° 【总结升华】本题考查了作图-复杂作图: 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.也考查了等腰三角形的性质. 举一反三: 【变式】直角三角形纸片ABC中,/ACB=90°,ACCBC如图,将纸片沿某条直线折叠, 使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与ARAC边分别交于点E、F, 探究: 如果折叠后的△CDF与4BDE均为等腰三角形,那么纸片中的/B的度数是多少? 写出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形. 类型三、等腰三角形性质的综合应用 C3、如图,在^ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交 AC于F. 求证: AF=EF. 【思路点拨】根据点D是BC的中点,延长AD到点H,得到△ADC△HDB,利用全等三角 形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到△AEF等,然后用等角对等边证明AE=EF. 【答案与解析】 证明: 延长AD到H使DH=AD,连接BH. .「AD是BC边上的中线, BD=CD 在△ADC^△HDB中, BD=DC 1/BDH=/CDA,AD=HD ..△AD隼△HDB 1=/H,BH=AC •••BE=AC, BE=BH, ・./3=/H, 1=/3 又,一/2=/3, 1=/2, •.AF=EF 【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等,而它们所在的三角形不全等,可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中,然后通过等腰三角形来证明^ 举一反三: 【变式】如图,已知AD是4ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF. 求证: AC=BF. 【答案】 证明: 延长AD至点G,使DG=AD,连接BG. AD为中线,BD=CD. 在△ACD和4GBD中, AD=DG, /ADC"GDB,CD=BD, •ACD©△GBD(SAS). BG=AC,G=/CAD. •,AE=EF, .CAD=.AFE. 又••;BFD=/AFE,: G=/BFD. BF=BG=AC. B作B已AD于点E.求证: BE …「。 …-、…一上 ▼4、如图,AC=BC,ZACB=90,/A的平分线AD交BC于点D,过点 =1AD. 2 【答案与解析】 证明: 如图,延长BEAC交于点F. ・・/1=/2,AE=AE,/AEB=/AE已90°, ・•.△AEB^△AEF7(ASA). 1 BE=FE=—BF. 2 ・・/3=90°-ZF=/2,BC=AC, Rt△BC阵Rt△ACD(ASA 1 BF=AD,BE=-AD. 2 【总结升华】在几何解题的过程中,当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换,可保留原有图形的性质,且使原来分散的条件相对集中,以利于问题的解决. 举一反三: 【变式】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上. (1)求证: BE=CE; (2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BFLAC,垂足为F,/BAC=45°,原题设其它条件不变.求证: △AEF^^BCF. 证明: (1);AB=AC,D是BC的中点, ZBAE=ZEAC,在△ABE和△ACE中, AB=AC ! 一一 {/BAE=/EAC, AE=AE △ABEZ△ACE(SAS),BE=CE; (2)•••/BAC=45°,BF±AF,△ABF为等腰直角三角形,AF=BF, AB=AC,点D是BC的中点,AD±BC, •••/EAF+ZC=90°,BF±AC, •••/CBF+ZC=90°,/EAF=ZCBF, 在△AEF和△BCF中, —EAF=/CBF «AF=BF /AFE=NBFC=90’ △AE三△BCF(ASA). ❾12日……、一上.………] ▼5、如图,△ABC是等边二角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边二角形CDE,使 点E、A在直线DC的同侧,连接AE. 求证: AE//BC. BC 【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,/ABC=ZBCA=ZECD=60°,求出/BCD=/ACE,根据SAS证△ACE^△BCD,推出/EAC=ZDBC=ZACB,根据平行线的判定推出即可. 【答案与解析】 证明: .「△ABC和△DEC是等边三角形, BC=AC,CD=CE,/ABC=ZBCA=ZECD=60°, •••/BCA-ZDCA=ZECD-/DCA,即/BCD=ZACE, ;在△ACE和△BCD中 AC=BC «NACE=NBCD, CD=CE ,J △ACEZ△BCD(SAS),/EAC=ZB=60°=ZACB,AE//BC. 【思路点拨】本题考查了等边三角形性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,关键是求出△ACE9△BCD,主要考查学生的推理能力.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等腰三角形 性质 定理 提高 知识 讲解