数理统计试题5.docx

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数理统计试题5

＜数理统计＞试题

、填空题

22

1•设X「X2，…，X!

6是来自总体X〜N（4,二）的简单随机样本，二已知，令

1164X-16

*=—'Xi，则统计量服从分布为（必须写出分布的参数）。

16i4

2

2.设X〜N（亠二），而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本，则J的

矩估计值为。

3•设X〜U[a,1],X1,…，Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为。

4.已知F°.1（8,20）=2，则Fo.9（2O,8）=。

5.?

和？

都是参数a的无偏估计，如果有成立，则称?

是比？

有效的估计。

6.设样本的频数分布为

X

0

1

2

3

4

频数

1

3

2

1

2

则样本方差s2=。

7.设总体X~N（,d2）,X1,X2,…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D

（X）=。

&设总体X服从正态分布N（卩，d2）,其中□未知，X1,X2，…，Xn为其样本。

若假设检验问题为H。

：

二2=—H1：

二2=1，则采用的检验统计量应。

9•设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,…，xn）落

入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为。

10.设样本X1,X2，…，Xn来自正态总体N（卩，1），假设检验问题为：

H0:

卩=0㈠比：

卩式0,

则在H0成立的条件下，对显著水平a，拒绝域W应为。

11.设总体服从正态分布N（J1），且"未知，设Xi，|H,Xn为来自该总体的一个样本，记

；若已知10.95,

X丄Xi

ny，则，的置信水平为1-：

的置信区间公式是

则要使上面这个置信区间长度小于等于

0.2，则样本容量n至少要取__

12.设X1，X2，…,Xn为来自正态总体

2

N（〜二）的一个简单随机样本，其中参数’和二2均

X=丄£XiQ2=1

未知，记nV,i4

2

（Xi-X）

，则假设Ho：

」=°的t检验使用的统计

量是

。

（用X和Q表示）

2

13.设总体X~N（・L）

，且"已知、

2

'二未知,

设X1，X2,X3是来自该总体的一个样本,

1（X1X2X3）二2

则3,

X12・伙2

Xj+X；+X[—卩,X

（1）+2P中是统计

量的有

14.设总体X的分布函数

F（x），设X1,X2/,Xn为来自该总体的一个简单随机样本,

则XjX2，Xn的联合分布函数

15•设总体X服从参数为

P的两点分布，P（0p：

：

1）未知。

设X1」H,Xn是

来自该总体的一个样本，则

nn

2

、x「（Xi-X）,Xn-6,max{Xi},XnpX1

yVWn中是统计量

的有

16.设总体服从正态分布

N（打），且"未知，设X1」H,Xn为来自该总体的一个样本，记

WXi.1

nV，贝U的置信水平为1--的置信区间公式是

22

17.设X~N（"X，二x）,丫~N（\,“），且x与Y相互独立，设兀川，Xm为来自总体

X的一个样本；设丫!

，川,Yn为来自总体丫的一个样本；Sx和Sy分别是其无偏样本方差,

则&/二丫服从的分布是

18.设X、N[丄,0.32，容量n=9,均值

X=5，则未知参数J的置信度为0.95的置信

区间是

（查表Zo.025=1.96）

19.设总体X〜N（）,；「2）,X1,先，…,

Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D

（X）=。

20.设总体X服从正态分布N（卩，（T2）,其中□未知，X,夫，…，Xn为其样本。

若假设

检验问题为H0：

CT2=1㈠已：

CT2学1，则采用的检验统计量应。

21.设Xi,X2，…,Xn是来自正态总体N（」,；「2）的简单随机样本，」和二2均未知，记

nn

—I

XXi,71（Xj-X）,则假设H0：

.二=0的t检验使用统计量T

ni」i4

1m1n

22•设XXi和YY分别来自两个正态总体N（S,g2）和NCbd的样本

myni£

22

均值，参数叫,J2未知，两正态总体相互独立，欲检验H。

：

；—二;「2，应用检验

法，其检验统计量是。

23•设总体X〜N（・,「2）,J,；「2为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X,

修正样本标准差为Sn，在显著性水平:

-下，检验假设H0:

.二=80,H1-80的拒绝域

为，在显著性水平：

•下，检验假设曰0：

二2-；「02（二0已知），比：

二1=匚02的拒绝域为

24.设总体X〜b（n,p）,0:

:

:

p：

：

：

1,X2，…，Xn为其子样，n及p的矩估计分别

25.设总体X〜UI0J1,（X1,X2,…,Xn）是来自X的样本，则二的最大似然估计量

2

26.设总体X〜N（»0.9）,X1,X2，…，X9是容量为9的简单随机样本，均值x=5，则

未知参数」的置信水平为0.95的置信区间是27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下:

+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4

则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

222

28.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N（0,22）的样本，令Y=（X「X2）（X^X4）,

则当C=时CY〜

（2）。

29•设容量n=10的样本的观察值为（8,7,6,9,8,7,5,9,6）,则样本均值=

样本方差=

30•设X,X2,…Xn为来自正态总体工LN（・i,；「2）的一个简单随机样本，则样本均值

1n

工=八二i服从

ny

、选择题

1.Xi,X2，…，Xi6是来自总体X〜N（0,1）的一部分样本，设z=x2•…y=x2「——xU，则彳~（）

2

（A）N（0,1）（B）t（16）（C）（16）（D）F（8,8）

2.已知XnX2/,Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是（）

（A）XX+A

（B）七'Xi2

n-1y

（C）Xa+10

1——

（D）—XaX1+5

3

2

N（-1,2）和N（2,5）的样本,

（A）

2S：

5S；

（B）4f

（C）

4S2

5S；

（D）

5S12

2S；

1n——

4.设总体X〜N（〜二2）,X1,…，Xn为抽取样本，则一、（Xi-X）2是（）nim

（A）J的无偏估计（B）二的无偏估计（C）」的矩估计（D）二的矩估计

5、设X1,…,Xn是来自总体X的样本，且EX八I,则下列是J的无偏估计的是（）

1n41n1n〔n-1

（A）—'Xi（B）——'Xi（C）—'Xi（D）Xi

n=n—1imni三n-1y

6•设X1,X2，…，Xn为来自正态总体N（巴十）的一个样本，若进行假设检验，当时,

般采用统计量

「％

S/.n

（A）丄未知，检验：

二2=、二0

2

（C）二未知，检验丄=・lo

22

（B）•已知，检验二=；「o

2

（D）二已知，检验丄=.Lo

7•在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为m的样本，则下

列说法正确的是

（A）方差分析的目的是检验方差是否相等

（B）方差分析中的假设检验是双边检验

rmi

Se=送送（yij-y.）

（C）方差分析中i^j二包含了随机误差外，还包含效应间的差异

r

2

Sa=送mi（yi^y）

（D）方差分析中7包含了随机误差外，还包含效应间的差异

&在一次假设检验中，下列说法正确的是

（A）既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

（B）如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

（C）增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

（D）如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2

9.对总体X〜N（7二）的均值，和作区间估计，得到置信度为95%勺置信区间，意义是指

这个区间

（A）平均含总体95%勺值（B）平均含样本95%勺值

（C）有95%勺机会含样本的值（D）有95%勺机会的机会含的值

10•在假设检验问题中，犯第一类错误的概率a的意义是（）

（A）在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率

（B）在Hb不成立的条件下，经检验H0被接受的概率

（C）在Hbo成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率

（D）在H0成立的条件下，经检验H被接受的概率

11.设总体X服从正态分布NJ52,Xi,X2,IU,Xn是来自X的样本，则二2的最大似然

估计为

（A）丄瓦（Xi—Xf

ni4

（B）丄瓦（Xi—X）2

n-1i4

（C）Xi2

ni4

（D）X2

12.X服从正态分布，EX

二-1，EX2二5,

（X1，Xn）是来自总体X的一个样本，则

n

X亠Xi

n

i=1服从的分布为

（A）N（-1,5/n）（B）

N-1,4/n）

（C）

N（-1/n,5/n）

（D）

N（-1/n,4/n）

13.设X1，X2,,Xn为来自正态总体

N（~

_2\

；一）的一个样本,

若进行假设检验，当

U

时，一般采用统计量

（A）

检验

二2

2

（B）J已知，检验二

2

（C）匚2未知，检验丄=〜10

（D）；「2已知，检验•i0

14.在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为mi的样本，则

下列说法正确的是

（A）方差分析的目的是检验方差是否相等

（B）方差分析中的假设检验是双边检验

rmi

Q=送送（％-y』2

（C）方差分析中72包含了随机误差外，还包含效应间的差异

r

2

Sa=2mg.-y）

（D）方差分析中v包含了随机误差外，还包含效应间的差异

15.在一次假设检验中，下列说法正确的是

（A）第一类错误和第二类错误同时都要犯

（B）如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

（C）增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

（D）如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

16.设是未知参数9的一个估计量，若Ed日，则兔日的

（A）极大似然估计（B）矩法估计（C）相合估计（D）有偏估计

17.设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H）成立时，样本值（X1,X2,…，Xn）

落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为。

（A）0.1

（B）0.15

（C）0.2

（D）0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

•、.2

（A）t检验法（B）u检验法（C）F检验法（D）检验法

19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（A）样本值与样本容量（B）显著性水平〉（C）检验统计量（D）A,B,C同时成立

20.对正态总体的数学期望」进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0:

-」0，那

么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A）必须接受Ho（B）可能接受，也可能拒绝Ho

（C）必拒绝H0

（D）不接受，也不拒绝H。

21.设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E（x2）的矩估计是

（A）

n—

S2-（Xi-X）2

n—1y

n—

S|（Xi-X）2

（B）ni4

（C）

22

S2x

（D）S2X

22.总体

X〜N（崇2

2

-已知，n_

时，才能使总体均值J的置信水平为0.95

的置信区间长不大于L

（A）15；「2/L2（B）15.3664二2/L2（C）16二2/

L2

（D）16

23.设X「X2,…,Xn为总体X的

个随机样本

2

E（X）=—D（X）*,

2nJ

--Cx（X’-Xj）2为C2的无偏估计，C=

iA

（A）1/n

（B）1/

n-1

（C）1/2（n-1）

（D）1/n-2

24.设总体X服从正态分布

N<^2,X1,X2,Hl,Xn是来自

X的样本，则

的最大似然

估计为

（A）1-Xj-X2ni$

（B）」Xj-X2n一1i#

（C）丄'°X：

nid

（D）X2

25.设X〜：

（1,p）,X1,X2,…,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

（A）当n充分大时，近似有X〜Np,p（1一p）

In丿

（B）P{X二k}二C：

pk（1—p）2k=0,1,2,,n

（C）P{X}=C：

p%-p）^,k=0,1,2,,n

n

（D）P{Xi=k}=C：

pk（1-p）nJs,1◎乞n

26.若X

t（n）那么2〜

■v2

（A）F（1,n）（b）F（n,1）（c）（n）（D）t（n）

2

27.设X1,X2，…Xn为来自正态总体N（）,二）简单随机样本，X是样本均值，记

1n—

S1（Xi-■X），

n—1i-1

1n一

S2（Xi-■X），

ny

1n

s21（Xi「）2，

n—1i-1

1n

S4（Xj-二）2，则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

ni二

（A）tX-」（B）

S.hJn-1

t■（C）

/n-1

t=%（D）

SJ；n

X-J

S4/、n

28.设X1,X2,…X,%+1,…,Xn+m是来自正态总体N（0,二2）的容量为n+m的样本，则统计量

n

m-2

V二—服从的分布是

nm

n^寸

i=n1

（A）F（m,n）（B）

F（n-1,m-1）（C）

F（n,m）（D）

F（m-1,n-1）

29•设X~NJ^2

，其中

J已知，二2未知,X1

是统计量的是.

B）X1X^21

-X）2

214—

（D）S匚l（Xi-X）

30.设©〜N（巴^2），其中

卩已知，▽2未知，Xi,X2,Xs为其样本，下列各项不是

统计量的是（）

（A）l（x；x|X；）cr

（C）max（Xi,X2,Xa）

（B）X1-

（d）3（XiX2X3）

二、计算题

1.已知某随机变量X服从参数为■的指数分布，设X1,X2/,Xn是子样观察值，求•的极大似然估计和矩估计。

（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

14.615.114.9

14.815.215.1已知原来直径服从N（J0.06），求：

该天生产的滚珠直径的置信区间。

给定（口=0.05，Zo.o5=1.645，Z0.025=1.96）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布N（742）。

现在随机抽取16个包装袋，算得平均包

装袋重为X=900,样本均方差为S2=2，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化？

（：

=0.05）（0.975（15）=6.262,為5（15）=27.488）（8分）

（卜」+1）x儿0wx£1

4.设某随机变量X的密度函数为f（x）=八’'求丸的极大似然估计。

0其他

（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

2

二=0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米，试对〉=0.05

求出滚珠的平均直径的区间估计。

（8分）（Z0.05=1.645,Z0.025=1.96）

6.某种动物的体重服从正态分布N（*9），今抽取9个动物考察，测得平均体重为51.3公斤，问：

能否认为该动物的体重平均值为52公斤。

（〉二0.05）（8分）

（Z0.05=1.645Z0.025-1.96）

（a+1）xa0£xv1

7.设总体X的密度函数为：

f（x）=」l丿廿…，设X1,…，Xn是X的

J0其他

样本，求a的矩估计量和极大似然估计。

（10分）

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S=0.2,

求匚的置信区间（：

•=0.1，2（11）=19.68，2（11）=4.57）（8分）

1丄

22

9.某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：

cm）

后算得X=175.9,y=172.0;s2=11.3,s2=9.1。

假设两市新生身高分别服从正态

分布X-N（卩1,/）,Y-N（卩2,（T2）其中（T2未知。

试求卩1-卩2的置信度为0.95的置

信区间。

（10.025（9）=2.2622,t0.025（11）=2.2010）

10.（10分）某出租车公司欲了解：

从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得X-20（分钟），无

偏方差的标准差s=3。

若假设此样本来自正态总体

2

N（~二），其中

2均未知，试求二

的置信水平为0.95的置信下限。

11.（10分）设总体服从正态分布

"与二2都未知，设

X1,川，Xn为来自总体

的一个样本，其观测值为X1,|I（,Xn，设

Xi

s：

丄（Xi—X）2

ny。

求.和匚的

极大似然估计量。

12.（8分）

掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数

12345

6

次数

X2020202040

—X

2

若我们使用检验，则X取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平:

'=0.05

下被接受？

13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X〜N（7二2）正态分布，

规定每袋标准重量为'Fkg,方差匚2岂0.022。

某天开工后，为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：

kg）为0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：

均值

n

_瓦（Xi-X）2=0.008192

为X=0.998，无偏标准差为s=0.032,心。

问

（1）在显著性水平〉=0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差

异？

⑵在显著性水平〉=0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准?

（3）你觉得该天包装机工作是否正常？

14.（8分）设总体X有概率分布

取值Xi

123

概率Pi

日220（1—日）（1—日）2

现在观察到一个容量为3的样本,Xl=1,x^2,x3=1。

求二的极大似然估计值？

15.（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和

腐蚀深度Y（毫米）的数据见下表：

X551020304050606590120

Y4681316171925252946

假设Y与X之间符合一元线回归模型丫=“X•；

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平-=0.01下，检验

16.（7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量

机器

I

II

III

138

163

155

日

144

148

144

产

135

152

159

量

149

146

141

143

157

153

现把上述数据汇总成方差分析表如下

方差来源

平方和

自由度

均方和

F比

A

352.933

e

12

T

893.733

14

17.（10分）设总体X在（°C）（r0）上服从均匀分布，X1,…，Xn为其一个

样本，设X（n）=max{Xi,…，X门}

（1）X（n）的概率密度函数Pn（x）⑵求E[X（n）]

2

18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X〜N（亠二）正态分布，规定每袋标准

重量为丄二1kg,方差二＜0.02。

某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：

kg）为

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：

均值

为X=0.998，无偏标准差为s=0.032，在显著性水平〉=0.05下，这天生产的食盐的净

重的方差是否符合规定的标准?

19.

（10分）设总体X服从正态分布

2

N（»二）,HXn是来自该总体的一个样本，记

Xk

=丄、Xj（仁k乞n-1）

ki生，求统计量

Xk1_Xk的分布。

20.

某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：

cm）

后算得x=175.9,y=172.0；sf=11.3,s2=9.1。

假设两市新生身高分别服从正态分布

X-N（卩1,/）,Y-N（卩2,/）其中d2未知。

试求卩1-卩2的置信度为0.95的置信区间。

（10.025（9）=2.2622,t0.025（11）=2.2010）

＜概率论＞试题参考答案

、填空题

1.

（1）

ABC

（2）ABCABCABC

（3）

BCACAB

或

ABCABCABCABC

2.0.7,

3.

3/7

4.4/7!

=1/1260,5.0.75,6.

.1/5,

7.a二1,b二1/2,8.0・2,

9

.2/3,

10

.4/5,

11

.5/7,

12.F（b,c）-F（a,c）

13.F（a,b）

14.1/2,

15