高中数学研究性学习数列中的分期付款问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

高中数学研究性学习数列中的分期付款问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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高中数学研究性学习数列中的分期付款问题教学设计学情分析教材分析课后反思

研究性学习-分期付款中的数列问题教学设计

学习目标：

1.知识与技能：

掌握等比数列前n项和公式在分期付款方式中的应用.

2.过程与方法：

培养和发展学生合作探究、分析问题、解决问题及准确计算的能力，培养学生应用意识、协作能力；

3.情感态度价值观：

体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发学生对数学兴趣和树立自信，用科学的、辨证的眼光观察事物。

重点、难点

重点：

分期付款问题的探究。

难点：

方程的构造以及数学模型的建立

教学过程设计

课前自主探究

（注：

以下月利率均为为r，按复利计算，只写结果，不必化简）

1.某人贷款a元，n个月后应偿还本息和为_______________；

2.某人每月定期存款x元，第3次存完款后所有本息和是_____________________；

3.某人贷款a元，采用分期付款偿还，每月还款一次，贷款后1个月第一次还款，每月等额还x元，则

（1）第一次还款x元后，剩余欠款为a1＝_____________；

（2）第二次还款x元后，剩余欠款为a2＝_____________。

【设计意图】本环节主要考察学生课前预习情况，培养学生良好的学习习惯，为新课学习做铺垫。

1、情景引入

情境1：

一位中国老太太与一位美国老太太在天堂相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒够.

情境2：

小明准备独立买一台5000元左右的电脑，小明现有压岁钱2600元，每月勤工俭学收入300元。

据了解，某商城可以采用分期付款方式进行购物，在一年内将款全部付清，该商家提供了如下几种付款方案，以供选择。

小明该如何决策？

1、分期付款中的约定：

1.利息以复利计算；

2.每次还款间隔相同，还款数目相同；

3.商品价值与每期还款额，从购买之初到贷款全部付清，随着时间的增加而增值。

4.各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和,等于商品售价及利息之和。

【设计意图】了解分期付款背景，各次付款额及利息等于商品售价及利息和，便于建立方程。

2、典型例题学习

例：

购买a元的商品，采取分期付款方式，每月还款一次，12个月还清。

购买后1个月开始第一次还款，再过1个月第二次付款……购买后12个月第十二次付清。

月利率为r，按复利计算，则每月应还款额x是多少元？

思路一:

设每个月还款x元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{an}，则有：

1个月后，还款x元后，剩余欠款为a1＝

2个月后，还款x元后，剩余欠款为a2＝a1（1＋r）－x＝

3个月后，还款x元后，剩余欠款为a3＝a2（1＋r）－x＝

…　　　　…

经过12个月，还款x元后，剩余欠款为a12＝a11（1＋r）－x＝__________________________。

由于经过12个月后，欠款还清，故a12＝0，从而有

a（1＋r）12＝x＋x（1＋r）＋x（1＋r）2＋…＋x（1＋r）11．

思路二：

①商品售价增值到多少？

②各期所付款额的增值状况如何？

③当贷款全部付清时，商品售价增值与各期付款额增值有什么关系？

每月付款x元，12个月后，银行共收到付款及利息为：

y1=x＋x（1＋r）＋x（1＋r）2＋…＋x（1＋r）11

另一方面贷款a元12个月后应偿还本息和为y2=a（1＋r）12

贷款全部还清后，y1=y2，

思考：

若每两个月还一次款，12个月还清，x为多少？

【设计意图】理解分期付款的三个特征，用两种不同的思路理解商品价格的增值与等额还款及利息之间的关系。

3变式探究1

若每两个月付款一次，12个月付清，即分六期付完，每期应付多少呢？

4、变式探究2

若每四个月付款一次，12个月付清，即分三期付完，每期应付多少呢？

【设计意图】学生在教师引导下探索构造方程并推导另两种付款方式的付款额表达式。

探索建模

一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时要求在n个月内将款全部付清，月利率为r，分m（m是n的约数）次付款，那么每次付款数的计算公式是什么？

特别地,当n=m时

【设计意图】写出三种付款方式的付款额表达式，通过寻找共同点和不同点来总结一般公式，达到建模目的。

5、合作探究当堂检测小组pk赛

小组分工

1、2、3组方案一

4、5、6组方案二

7、8组方案三

可能用到的数据

1.0082≈1.0161

1.0084≈1.0324（每期付款额精确到0.1付款总额和差额精确到1）

1.00812≈1.1003

【设计意图】小组合作，利用建模后的公式计算每种付款方式的付款额及总额来做决策，以检验当堂学习效果。

6、理性消费通过一组网络图片告诫同学们远离非法网贷

三、.课堂小结

知识方面：

等比数列前n项和公式；

思想方面：

方程思想

研究方面：

特殊到一般一般到特殊

四、作业----学有所用

1、利用五一假期查阅有关房贷资料，解决必修五63页探究与发现中的房贷问题

2、有学习编程的同学可以用我们建模的公式设计一个程序——分期还款计算器

五、板书设计

研究性学习-分期付款中的数列问题学情分析

高二学生已经学完等比数列的前n项和公式，从知识能力层面看已经具备；从能力培养来看通过特殊到一般的的推导能力学生也已基本形成，但高二学生利用方程思想构建数学模型的能力还很弱；学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，复杂计算对学生来说恰又是比较困难的；抓住学生情感和思维的兴奋点激发他们的兴趣,鼓励学生大胆推理、积极探索,并及时地给予鼓励,使他们体验成功的快乐。

本研究性课题是所学等比求和知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识具有很高的价值但学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以要将研究性课题以同学们感兴趣的话题呈现,引导鼓励学生独立探究是本节课顺利开展的关键。

研究性学习-分期付款中的数列问题效果分析

本节课教学目标达成较好，学生较熟练使用等比数列前n项和公式进行求解。

建立分期付款模型并进一步加以应用，重点突出。

师生关系和谐，教师引导学生步步紧扣，探索推导建模方程。

难点突破。

过程中培养了学生由特殊推一般的推导方法，增强了学生的建模能力和应用意识，为后续其他研究性学习打好基础。

研究性学习-分期付款中的数列问题教材分析

等比数列前n项和公式是《普通高中课程标准数学教科书数学5》中非常重要的内容，在现实生活中有着广泛的实际应用，是一个进行研究性学习的好题材。

而本节研究性学习是对等比数列及其求和知识的再认识和再运用，通过帮助学生构建知识模型,以分期付款形式为媒介,促进等比数列应用的学习。

是培养学生建模能力和解模能力是解决数列应用问题的基本途径。

数列模型运用中蕴含着方程的数学思想，对培养学生的阅读理解能力，运算求解能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用。

也是培养学生数学素养的重要研究性课题。

研究性学习-分期付款中的数列问题测评练习

当堂测评

小明准备独立买一台5000元左右的电脑，小明现有压岁钱2600元，每月勤工俭学收入300元。

据了解，某商城可以采用分期付款方式进行购物，在一年内将款全部付清，该商家提供了如下几种付款方案，以供选择。

小明该如何决策？

小组分工

1、2、3组方案一

4、5、6组方案二

7、8组方案三

可能用到的数据

1.0082≈1.0161

1.0084≈1.0324（每期付款额精确到0.1付款总额和差额精确到1）

1.00812≈1.1003

由于研究性建模课堂计算量太大，所以三种付款方式以组内合作，组间竞争的方式进行。

研究性学习-分期付款中的数列问题课后反思

优点：

1、这堂课通过课前的情景引入让学生意识到学习分期付款模型的必要性。

这样才能激发学生的学习积极性，并让其体会数学学习的重要性。