高一数学公式大全.docx

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高一数学公式大全

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）

ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）

倍角公式

tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））

tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））

ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））

ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））

和差化积

2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）

2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）

2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2

cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB

tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n22+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:

其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:

角B是边a和边c的夹角

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r乘法与因式分a2-b2=（a+b）（a-b）

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

a3-b3=（a-b（a2+ab+b2）

三角不等式|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:

韦达定理

判别式

b2-4ac=0注:

方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注:

方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注:

方程没有实根,有共轭复数根

降幂公式

（sin^2）x=1-cos2x/2

（cos^2）x=i=cos2x/2

万能公式

令tan（a/2）=t

sina=2t/（1+t^2）

cosa=（1-t^2）/（1+t^2）

tana=2t/（1-t^2）

公式一:

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二:

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

sin（π+α）=-sinα

cos（π+α）=-cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三:

任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tan（-α）=-tanα

cot（-α）=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin（π-α）=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

cot（π-α）=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin（2π-α）=-sinα

cos（2π-α）=cosα

tan（2π-α）=-tanα

cot（2π-α）=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=-sinα

tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα

sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

tan（π/2-α）=cotα

cot（π/2-α）=tanα

（以上k∈Z）

注意:

在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为:

奇变偶不变,符号看象限。

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系:

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）tan2α=2tanα/[1-tan^2（α）]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

另也有tan（α/2）=（1-cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）

万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

万能公式推导

附推导:

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*,

（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

再把*分式上下同除cos^2（α）,可得sin2α=2tanα/（1+tan^2（α））然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]·sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]·sin[（α-β）/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=0.5[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=0.5[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ=-0.5[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化积公式推导

附推导:

首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb

所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

同样的,我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

0度

sina=0,cosa=1,tana=0

30度

sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3

45度

sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1

60度

sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3

90度

sina=1,cosa=0,tana不存在

120度

sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3

150度

sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3

180度

sina=0,cosa=-1,tana=0

270度

sina=-1,cosa=0,tana不存在

360度

sina=0,cosa=1,tana=0

等比数列公式

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

（1）等比数列的通项公式是:

An=A1×q^（n-1）

若通项公式变形为an=a1/q*q^n（n∈N*）,当q>0时,则可把an

看作自变量n的函数,点（n,an）是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2）任意两项am,an的关系为an=am·q^（n-m）

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:

a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项:

aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=（an）2n-1,π2n+1=（an+1）2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。

在这个意义下,我们说:

一个正项等

比数列与等差数列是“同构”的。

性质:

①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;

②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

（5）等比数列前n项之和Sn=A1（1-q^n）/（1-q）或

Sn=（a1-an*q）/（1-q）（q≠1）Sn=n*a1（q=1）

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意:

上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如:

银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,

再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式:

本利和=本金*（1+利率）^存期

等差数列公式

等差数列的通项公式为:

an=a1+（n-1）d

或an=am+（n-m）d

前n项和公式为:

Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=（a1+an）n/2

若m+n=p+q则:

存在am+an=ap+aq

若m+n=2p则:

am+an=2ap

以上n均为正整数

文字翻译

第n项的值=首项+（项数-1）*公差

前n项的和=（首项+末项）*项数/2

公差=后项-前项

对称数列公式

对称数列的通项公式:

对称数列总的项数个数:

用字母s表示

对称数列中项:

用字母C表示

等差对称数列公差:

用字母d表示

等比对称数列公比:

用字母q表示

设,k=（s+1）/2

一般数列的通项求法

一般有:

an=Sn-Sn-1（n≥2）

累和法（an-an-1=...an-1-an-2=...a2-a1=...将以上各项相加可得an）。

逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。

化归法（将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

特别的:

在等差数列中,总有SnS2n-SnS3n-S2n

2（S2n-Sn）=（S3n-S2n）+Sn

即三者是等差数列,同样在等比数列中。

三者成等比数列

不动点法（常用于分式的通项递推关系）

特殊数列的通项的写法

1,2,3,4,5,6,7,8.......---------an=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=（-1）^n

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=（-1）^（n+1）

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[（-1）^（n+1）+1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos（n-1）π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,.........------an=（10^n）-1

1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n）-1]/9

1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2

1,2,4,8,16,32......--------an=2^（n-1）

数列前n项和公式的求法

（一）1.等差数列:

通项公式an=a1+（n-1）d首项a1,公差d,an第n项数

an=ak+（n-k）dak为第k项数

若a,A,b构成等差数列则A=（a+b）/2

2.等差数列前n项和:

设等差数列的前n项和为Sn

即Sn=a1+a2+...+an;

那么Sn=na1+n（n-1）d/2

=dn^2（即n的2次方）/2+（a1-d/2）n

还有以下的求和方法:

1,不完全归纳法2累加法3倒序相加法

（二）1.等比数列:

通项公式an=a1*q^（n-1）（即q的n-1次方）a1为首项,an为第n项

an=a1*q^（n-1）,am=a1*q^（m-1）

则an/am=q^（n-m）

（1）an=am*q^（n-m）

（2）a,G,b若构成等比中项,则G^2=ab（a,b,G不等于0）

（3）若m+n=p+q则am×an=ap×aq

2.等比数列前n项和

设a1,a2,a3...an构成等比数列

前n项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^（n-2）+a1*q^（n-1）（这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解）

Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an*q）/（1-q）;

注:

q不等于1;

Sn=na1注:

q=1

求和一般有以下5个方法:

1,完全归纳法（即数学归纳法）2累乘法3错位相减法4倒序求和法5裂项相消法