高三向量知识点及典型例题.docx
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高三向量知识点及典型例题
09级高三数学总复习讲义——向量
知识清单一、向量的有关概念
1.向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:
如a,b,c,等.
⑵几何表示法:
用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.
⑶坐标表示法:
在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为
x,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.
注:
向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.
注:
向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:
长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:
长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量
6.共线向量:
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:
0与任一向量共线.
注:
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算
(一)运算定义
1向量的加减法,②实数与向量的乘积,③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
坐标语言
记
OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)
则OAOB=(x1+x2,y1+y2)
刻划每一种运算都可以有三种表现形式:
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言加法与减法OA+OB=OC
OBOA=AB
x2-x1,y2-y1)
OA+AB=OB
两个向量的数量积:
①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);③
(a+b)·c=a·c+b·c注:
根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
22
例如(a±b)2=a2abb(三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任
一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2,称1e12e2为e1,e2的线性组合。
1其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;
2平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果a1e12e2且a1'e12'e2,那么1122.
3当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系:
当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,
即若A(x,y),则OA=(x,y);当向量起点不在原点时,向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)
⑵两个向量平行的充要条件符号语言:
a//bab(b0)
坐标语言为:
设非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2),
即x1x2,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0;当a与
y1y2
b异向时,λ<0。
|λ|=|a|,λ的大小由a及b的大小确定。
因此,当a,b确定时,λ的符|b|
号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言:
abab0
⑷两个向量数量积的重要性质:
①a2|a|2即|a|a2(求线段的长度);
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:
①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos(其中a,b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
2bcos叫做向量b在a方向上的投影(如图).数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积.
x1,y2y1),
③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2=(x2
(y2y1)2,这就是平面内两点间的距离公式
课前预习
2.平面内三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),若AB∥BC,则x的值为()(A)-5(B)-1(C)1(D)5
3.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b|<|ab|
22
3(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b|2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④
ab
4.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(),t∈R,则点P在()
|a||b|
(A)∠AOB平分线所在直线上(B)线段AB中垂线上
(C)AB边所在直线上(D)AB边的中线上
5.正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且OP=(0,3),OS=(4,
0),则RM=()
(A)(7,1)(B)(7,1)(C)(7,4)(D)(7,7)
222222
6.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=.
7.已知ab2,8,ab6,4,则a,b,a与b的夹角的余弦值是
8.在△OAB中,OA(2cos,2sin),OB(5cos,5sin),若OAOB5,则SOAB
▲.;
9.
2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向
已知ABC的三个顶点分别为A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大小.
10.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,
量AD坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、
N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,
图1
典型例题
、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1,设O是正六边形的中心,分别写出图中与BOA、OAB、OC相等的向量。
变式1:
如图1,设O是正六边形的中心,分别写出C
解:
变式2:
如图2,设O是正六边形的中心,分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。
解:
二、平面向量的线性运算
EG2.如图,在平行四边形ABCD中,ABa,ADb,你能用a,b表示向量AC,DB吗?
变式1:
如图,在五边形ABCDE中,ABa,BCb,
CDc,EAd,试用a,b,c,d表示向量CE和变式2:
如图,在平行四边形ABCD中,若,OAa,则下列各表述是正确的为(
OAOBABB
A.
)
.OCODAB
DED.
C.
CDa+bD
.BC(a+b)
变式3:
已知OA=a,OB=b,
OC=c,OD=d,且四边形
ABCD为平行四边形,则()
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
A.充分但不必要条件
C.充要条件
变式6:
在四边形ABCD中,AB=a+2b,则四边形ABCD为()
A.平行四边形B.矩形
变式4:
在四边形ABCD中,若AB1CD,则此四边形是()
A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形
变式5:
已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的()
B
D.既不充分也不必要条件
BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中a、b不共线,
C.梯形D.菱形
变式7:
已知菱形ABCD,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则AP等()
A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)
C.λ(AB-AD),λ∈(0,1)
2
B.λ(AB+BC),λ∈(0,)
2
2
D.λ(ABBC),λ∈(0,2)
2
变式8:
已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、
AB的中点,且BC=a,CA=b,
11
AB=c,则下列各式:
①EF=c-b②BE=a
22
+1b
2
1
③CF=-a+
2
12b
④AD+BE+CF=0其中正确的等式的个数为(
A.1
B.2
C.3
EG3.如图,已知任意两个非零向量a、b,试作OAa
OCa+3b,你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?
为什么?
变式1:
已知OAa+2b,OB2a
(其中a、b是两个任意非零向量)
证明:
∵ABOBOAa+2b,
D.4
+b,OBa+2bb,
AC2AB所以,A、B、
+4b,OC3a+6b,证明:
A、B、C三点共线.
ACOCOA2a+4b,
C三点共线.
变式2:
已知点A、B、C在同一直线上,并且OAa+b,OB(m2)a+2b,OC(n1)a
+3b(其中a、b是两个任意非零向量),试求m、n之间的关系.
EG4.已知四边形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
EFHG
变式1:
已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为
E、
求证:
ABDC2EF.
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a//b变式1:
A.
与向量a=(12,
12,-5
1313
,求
平行的单位向量为(
F,
y.
)
C.
B
12
.,-
13
5
13
12
5
D
125
12
5
13
-
13
.,
.1313
或1123,
-
13
5)
1123,153或
变式2:
已知a(1,2),bx,1,
当a+2b与2a-b共线时,x值为()
A.1
.2C
D.1
2
变式3:
已知A(0,3)
、B(2,0)、
C(-1,3)与AB2AC方向相反的单位向量是()
A.(0,1)
.(0,-1)
C.(-1,1)
D.(1,
-1)
变式4:
已知a=(1,0),b=(2,1).试问:
当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向?
EG5.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别为x1,y1,x2,y2.
(1)当点P是线段P1P2上的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求P的坐标
变式1:
已知两点M3,2,N5,5,MP1MN,则P点坐标是
变式4:
设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
EG7.已知|a|=3,|b|=4且a与b不共线,k为何实数时,向量a+kb与akb互相垂直?
变式1:
已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且向量3a+2b与kab互相垂直,则k的值为()
A.3B.3C.3D.1
222
变式2:
已知|a|=1,|b|=2且(a-b)⊥a,则a与b夹角的大小为.
EG8.已知a=(4,2),求与向量a垂直的单位向量的坐标.
变式1:
若i=(1,0),j=(0,1),则与2i+3j垂直的向量是()
A.3i+2jB.-2i+3jC.-3i+2jD.2i-3j
变式2:
已知向量a(1,1),b(2,3),若ka2b与a垂直,则实数k=()
A.ababB.|ab||ab|
C.(ab)(ab)0D.(ab)20
变式4:
已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y)且a∥b,ac.求|b-c|的值.
EG9.已知A(1,2),B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.变式1:
O是ABC所在的平面内的一点,且满足OBOCOCOA0,则
ABC一定为()
A.正三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形
变式2:
已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=0,则O是△ABC的()
A.重心B.垂心C.内心D.外心
2
变式3:
已知ABBCAB0,则△ABC一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形
变式4:
四边形ABCD中,AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3)
1)若BC//DA,试求x与y满足的关系式;
(2)满足
(1)的同时又有ACBD,求x,y的值及四边形ABCD的面积。
五、平面向量应用举例
EG10.题目意图:
用平面向量的方法证明平面几何命题:
平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1:
如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,求证:
PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
变式2:
已知△ABC中,BCa,CAb,ABc,若abbcca,求证:
△ABC为正三角形.
变式3:
已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证
OAOBOCOD4OE.
变式4:
四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,
1
求证:
EF(ABDC)
2
实战训练
1.(08全国一3)在△ABC中,ABc,ACb.若点D满足BD2DC,则AD
则BD()
5.(08陕西卷15)关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:
③非零向量a和b满足|a||b||ab|,则a与ab的夹角为60
(ac)(bc)0,则c的最大值是
8.(08辽宁卷5)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2ACCB0,则OC()
21
B.OA2OBC.2OA1OB
33
9.(08海南卷8)平面向量a,b共线的充要条件是
C.
D.存在不全为零的实数1,2,1a2b0
10.(08上海卷5)若向量a,b满足a1,b2且a与b的夹角为,则ab.
11.(08全国二13)设向量a(1,2,)b(2,3),若向量ab与向量c(4,7)共线,则.
12.(08北京卷10)已知向量a与b的夹角为120,且ab4,那么b(2ab)的值为.
13.(08天津卷14)已知平面向量a(2,4,)b(1,2).若ca(ab)b,则|c|.
14.(08江苏卷5)a,b的夹角为120,a1,b3则5ab▲.
15.(08江西卷13)直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3,2)、C(9,7),若E、F为线段BC的三等分点,则AEAF=.
16.(08海南卷13)已知向量a(0,1,1),b(4,1,0),|ab|29且0,则=
17(08福建卷17)已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1),m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域.
3A3A
18.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量m(cos3A,sin3A),
22
22
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若bc3a,试判断ABC的形状。
19.已知向量b(m,sin2x),c(cosx2n,)x,Rf,x()bc,若函数f(x)的图象经过点(0,1)和
I)求m、n的值;
II)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在x[0,]上的最小值;
20.在ABC中,A,B,C所对边分别为a,b,c.已知m(sinC,sinBcosA),n(b,2c),且mn0.
(Ⅰ)求A大小.
(Ⅱ)若a23,c2,求ABC的面积S的大小.
21.已知向量a(1tanx,1),b(1sin2xcos2x,0),记f(x)ab.
(1)求f(x)的解析式并指出它的定义域;
(2)若f(π)2,且(0,π),求f().
852
22.已知向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx23cosx),xR,设f(x)mn.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)若f(x)24,且x[,],求sin2x的值.
1342
23.(2007年陕西卷理17.)设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点,2,
4(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
24.(07年陕西卷文17).设函数f(x)a、b.其中向量
a(m,cosx),b(1sinx,1),xR,且f(π)2.
(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值.
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