数学建模.docx
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数学建模.docx
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数学建模
1.解:
根据地理常识,某地的白昼时间是以一年为周期变化的,以日期在
一年中的序号为自变量x,以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年(一个周期)内,随着x的增加,y先增后减,y大约在6月21日(夏至)达到最大值,在12月21日(冬至)达到最小值,在3月21日(春分)或9月21日(秋分)达到中间值。
选择正弦函数
y=Asin(
x—1.3712)+12.385
预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时
2.解:
“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s,对于小型汽车,“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。
由d—D=ν[κ2ν—(K2—κ1)]可以计算得到当ν<(K2—κ1)/κ2=54.428㎞/h时有d<D,“两秒准则”足够安全,或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中,根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。
用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要的尾随时间,并以尾随时间为根据,提出更安全的准则,如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”(如下图)。
t秒准则,刹车距离的模型和数据
3、解:
(1)考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化△t/t是△c/c的多少倍,即定义t对c的灵敏度为
S(t,c)=
因为△c→0,所以重新定义t对c的灵敏度为
S(t,c)=
=
×
①
由课本上可知t=
②
所以t=
-
所以t是c的减函数
为了使t﹥0,c应满足rp(0)-gω(0)-c>0
结合①②
可得S(t,c)=—
=-
=-2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%,出售时间就应该提前2%。
(2)同
(1)理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为
S(Q,c)=
×
③
Qmax=
④
结合③④得
Qmax=-
=-
=-4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%,那么最大利润就会减少4%
4、①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r,则列式得
xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2…
其解为等比数列
xk=x0(1+r)k,k=0,1,2…
当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时,山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为
年较好中等较差
0100100100
110210196
210310191
310510287
410710283
510910379
611110376
711210472
811410469
911610566
1011810663
1112010660
1212210758
1312410755
1412610852
1512810950
1613110948
1713311046
1813511044
1913711142
2014011240
2114211238
2214411336
2314711335
2414911433
2515211532
从上可以得出结论:
(1)在较好的自然环境下即r=0.0168时,xk单调增趋于无穷大,山猫的数量将无限增长;
(2)在中等的自然环境下即r=0.0055时,xk单调增并且趋于稳定值;
(3)在较差的环境中即r=-0.0450时,xk单调衰减趋于0,山猫将濒临灭绝。
②若每年捕获3只,b=-3,则列式为
Xk+1=(1+r)xk-b
则山猫在25年内的演变为
年较好中等较差
0100100100
1999893
2979585
3969378
4959072
5938866
6928560
7908354
8898049
9877743
10867539
11847234
12837029
13816725
14796421
15786217
16765913
17745610
1873546
1971513
2069480
216746-3
226543-6
236340-9
246137-11
255935-14
由图上可知,无论在什么环境下,如果每年捕获山猫3只,单调减趋于0,那么最终山猫的数量都会灭绝,在较差的环境中第20年就会灭绝。
同理,如果每年人工捕获山猫1只,那么山猫在不同环境中的演变为
年较好中等较差
0100100100
110110095
21019989
31029984
41039879
51049875
61049770
71059766
81069662
91079659
101079555
111089551
121099448
131109445
141119342
151119339
161129236
171139234
181149231
191159129
201169126
211179024
221189022
231198920
241208818
251218816
如果每年人工捕获山猫一只,在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加,在中等的环境下,山猫的数量趋于稳定,但会慢慢减少,在较差的环境下,山猫的数量一直在减少,很快就会灭绝。
③若要使山猫的数量稳定在60只左右,设每年需要人工繁殖b只,到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b,k=0,1,2…
这时xk=xk-1=60,r=-4.5%,代入上式得b≈3
5、解:
记存款的年利息为r,由于一开始存入银行的本金为x0,第k年存入银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有:
每年利息=本年存入款项⨯年利息
每年取出款项=上一年存入款项+每年利息
每年存入款项=每年取出款项-奖金
列式得:
由上式解得
由实际情况,已知x0=20(万元),r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间,我们取3个值,分别为2%,3%,4%,
(1)当年利率为2%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数\奖金数额2千元4千元6千元
020.000020.000020.0000
1.000020.200020.000019.8000
2.000020.404020.000019.5960
3.000020.612120.000019.3879
4.000020.824320.000019.1757
5.000021.040820.000018.9592
6.000021.261620.000018.7384
7.000021.486920.000018.5131
8.000021.716620.000018.2834
9.000021.950920.000018.0491
10.000022.189920.000017.8101
11.000022.433720.000017.5663
12.000022.682420.000017.3176
13.000022.936120.000017.0639
14.000023.194820.000016.8052
15.000023.458720.000016.5413
16.000023.727920.000016.2721
17.000024.002420.000015.9976
18.000024.282520.000015.7175
19.000024.568120.000015.4319
20.000024.859520.000015.1405
21.000025.156720.000014.8433
22.000025.459820.000014.5402
23.000025.769020.000014.2310
24.000026.084420.000013.9156
25.000026.406120.000013.5939
26.000026.734220.000013.2658
27.000027.068920.000012.9311
28.000027.410220.000012.5898
29.000027.758420.000012.2416
30.000028.113620.000011.8864
①当年利率为2%,学金定为4千元时,因为
,经验算得知
,因此存款的数额将趋于稳定.
②当年利率为2%,奖学金的数额大于4千元时,
单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于4千元时,存款的数额将会无限增长.
(2)当年利率为3%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数\奖金数额4千元6千元8千元
020.000020.000020.0000
1.000020.200020.000019.8000
2.000020.406020.000019.5940
3.000020.618220.000019.3818
4.000020.836720.000019.1633
5.000021.061820.000018.9382
6.000021.293720.000018.7063
7.000021.532520.000018.4675
8.000021.778520.000018.2215
9.000022.031820.000017.9682
10.000022.292820.000017.7072
11.000022.561620.000017.4384
12.000022.838420.000017.1616
13.000023.123620.000016.8764
14.000023.417320.000016.5827
15.000023.719820.000016.2802
16.000024.031420.000015.9686
17.000024.352320.000015.6477
18.000024.682920.000015.3171
19.000025.023420.000014.9766
20.000025.374120.000014.6259
21.000025.735320.000014.2647
22.000026.107420.000013.8926
23.000026.490620.000013.5094
24.000026.885320.000013.1147
25.000027.291920.000012.7081
26.000027.710620.000012.2894
27.000028.141920.000011.8581
28.000028.586220.000011.4138
29.000029.043820.000010.9562
30.000029.515120.000010.4849
①年利率为3%,学金定为6千元时,因为
,经验算得知
,因此存款的数额将趋于稳定.
②当年利率为3%,奖学金的数额大于6千元时,
单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于6千元时,存款的数额将会无限增长.
(3)当年利率为4%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数\奖金数额6千元8千元1万元
020.000020.000020.0000
1.000020.200020.000019.8000
2.000020.408020.000019.5920
3.000020.624320.000019.3757
4.000020.849320.000019.1507
5.000021.083320.000018.9167
6.000021.326620.000018.6734
7.000021.579720.000018.4203
8.000021.842820.000018.1572
9.000022.116620.000017.8834
10.000022.401220.000017.5988
11.000022.697320.000017.3027
12.000023.005220.000016.9948
13.000023.325420.000016.6746
14.000023.658420.000016.3416
15.000024.004720.000015.9953
16.000024.364920.000015.6351
17.000024.739520.000015.2605
18.000025.129120.000014.8709
19.000025.534220.000014.4658
20.000025.955620.000014.0444
21.000026.393820.000013.6062
22.000026.849620.000013.1504
23.000027.323620.000012.6764
24.000027.816520.000012.1835
25.000028.329220.000011.6708
26.000028.862320.000011.1377
27.000029.416820.000010.5832
28.000029.993520.000010.0065
29.000030.593320.00009.4067
30.000031.217020.00008.7830
①年利率为4%,学金定为8千元时,因为
,经验算得知
,因此存款的数额将趋于稳定.
②当年利率为4%,奖学金的数额大于8千元时,
单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于8千元时,存款的数额将会无限增长.
6、解:
记养老金第k月末的银行账户余额为xk元,则列式为
xk+1=(1+r)xk-b
根据一阶线性常系数非齐次差分方程得
xk=(x0+
)(1+r)k-
k=0,1,2,3……
由题目可知x0=100000,b=1000元,r=0.003,所以账户余额的变化如下
月份余额
010.0000
1.00009.9300
2.00009.8598
3.00009.7894
4.00009.7187
5.00009.6479
6.00009.5768
7.00009.5056
8.00009.4341
9.00009.3624
10.00009.2905
11.00009.2183
12.00009.1460
13.00009.0734
14.00009.0007
15.00008.9277
16.00008.8544
17.00008.7810
18.00008.7074
19.00008.6335
20.00008.5594
21.00008.4851
22.00008.4105
23.00008.3357
24.00008.2607
25.00008.1855
26.00008.1101
27.00008.0344
28.00007.9585
29.00007.8824
30.00007.8060
31.00007.7295
32.00007.6526
33.00007.5756
34.00007.4983
35.00007.4208
36.00007.3431
37.00007.2651
38.00007.1869
39.00007.1085
40.00007.0298
41.00006.9509
42.00006.8717
43.00006.7924
44.00006.7127
45.00006.6329
46.00006.5528
47.00006.4724
48.00006.3918
49.00006.3110
50.00006.2300
51.00006.1486
52.00006.0671
53.00005.9853
54.00005.9032
55.00005.8210
56.00005.7384
57.00005.6556
58.00005.5726
59.00005.4893
60.00005.4058
61.00005.3220
62.00005.2380
63.00005.1537
64.00005.0691
65.00004.9844
66.00004.8993
67.00004.8140
68.00004.7284
69.00004.6426
70.00004.5566
71.00004.4702
72.00004.3836
73.00004.2968
74.00004.2097
75.00004.1223
76.00004.0347
77.00003.9468
78.00003.8586
79.00003.7702
80.00003.6815
81.00003.5926
82.00003.5033
83.00003.4138
84.00003.3241
85.00003.2341
86.00003.1438
87.00003.0532
88.00002.9623
89.00002.8712
90.00002.7798
91.00002.6882
92.00002.5963
93.00002.5040
94.00002.4116
95.00002.3188
96.00002.2257
97.00002.1324
98.00002.0388
99.00001.9449
100.00001.8508
101.00001.7563
102.00001.6616
103.00001.5666
104.00001.4713
105.00001.3757
106.00001.2798
107.00001.1837
108.00001.0872
109.00000.9905
110.00000.8934
111.00000.7961
112.00000.6985
113.00000.6006
114.00000.5024
115.00000.4039
116.00000.3051
117.00000.2060
118.00000.1067
119.00000.0070
120.0000-0.0930
121.0000-0.1933
122.0000-0.2939
123.0000-0.3947
124.0000-0.4959
125.0000-0.5974
由表中和图中可知,到第119个月账户余额为70元,到了第120个月就没有余额了。
也就是10年后就没有了,若想用20年也就是240个月,则账户应存x0,此时有
Xk=(x0+
)(1+r)k-
把k=240,r=0.003带入上式得
X240=(x0+
)(1+0.003)240-
=0得x0=170908元
所以老人应该存入170908元才能用到80岁。
7、解:
(1)考虑每次订货的固定费用p1发生的相对为△p1/p1,则最优订货周期
ΔT*发生的相对变化ΔT*/T*是△p1/p1的多少倍,即定义p1对T*的灵敏度为
S(T*,p1)=
因为△p1→0,所以重新定义p1对T*的灵敏度为
S(T*,p1)=
×
①
由课本上可知T*=(
)0.5②
Q*=rT*③
②中对p1求导式和②式代入①得
S(T*,p1)=0.5
同理得
S(Q*,p1)=0.5
S(T*,p2)=-0.5
S(Q*,p2)=-0.5
S(T*,r)=-0.5
S(Q*,r)=0.5
8、解:
由EOQ公式计算得:
所以,最优生产周期为10天,每次生产1000件。
9、解:
由公式计算得:
所以,最优运货日期为6天,运货量为30包,即每6天运30包到回收站。
10、解:
由题意得p1=250,p2=60,r=600很明显,这时属于不允许缺货的模型,所以每单位时间的总费用
C=p0r+
+
①
当且仅当T=T*是C取得极值的必要条件
C'(T*)=-(p1/T*2)+(p2r/2)=0
解得T*=
≈2.883
即是C=p0r+
+
在(0,2.883)内单调递减,在(2.883,+∞)内递增,考虑到T*=1,2,3,4……
又因为当最优订货量Q*﹤2500时,p0=2,当Q*≥2500时,p0=1.9,
我们把p1=250,p2=60,r=600,T*=2,3,4,5,6代入①式分别得
T*(天)
C(元)
2
1385
3
1373.3
4
1402.5
5
1340
6
1361.6
因为C值在(5,+∞)内是单调递增的,所以从上表可知当T*=5时,每天的平均费用为1340元,达到最小值
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