人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业含答案.docx
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人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业含答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
01 基础题
知识点1 平行四边形的概念
1.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有3个.
第1题图第2题图
2.如图,AB∥EG,EF∥BC,AC∥FG,图中有3个平行四边形,它们分别是▱ABCE,▱ABGC,▱AFBC.
知识点2 平行四边形的边、角特征
3.(教材P43T1的变式)在▱ABCD中,AD=3cm,AB=2cm,则▱ABCD的周长等于(A)
A.10cmB.6cm
C.5cmD.4cm
4.(2016·衢州)如图,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是(A)
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
5.在▱ABCD中,两邻边的差为4cm,周长为32cm,则两邻边长分别为10__cm,6__cm.
6.
(1)在▱ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C=100°;
(2)已知▱ABCD的周长为28cm,若AB∶BC=3∶4,则AB=6__cm,BC=8__cm.
7.如图,在▱ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N,若∠B=45°,求∠MCN的大小.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠B=∠D.
∵∠B=45°,
∴∠BCD=135°,∠D=45°.
∵CM⊥AD,CN⊥AB,
∴∠BNC=∠DMC=90°.
∴∠BCN=∠DCM=45°.
∴∠MCN=∠BCD-∠BCN-∠DCM=45°.
8.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一直线上,且BE=DF.求证:
AE=CF.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠ABD=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
知识点3 平行线间的距离
9.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法不正确的是(D)
A.AB=CD
B.EC=GF
C.A,B两点的距离就是线段AB的长度
D.a与b的距离就是线段CD的长度
第9题图第10题图
10.(2016·柳州)如图,若▱ABCD的面积为20,BC=5,则边AD与BC间的距离为4.
02 中档题
11.在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(A)
A.2∶5∶2∶5B.3∶4∶4∶5
C.4∶4∶3∶2D.2∶3∶5∶6
12.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是(B)
A.7B.10C.11D.12
第12题图第13题图
13.如图所示,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中△ABC的面积(C)
A.变大B.变小C.不变D.无法确定
14.(2017·鹤岗)在▱ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则▱ABCD的周长是(C)
A.22B.20
C.22或20D.18
15.(2017·武汉)如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为30°.
第15题图第16题图
16.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为25°.
17.如图,在▱ABCD中,点P是对角线BD上的一个动点(点P与点B、点D不重合),过点P作EF∥BC,GH∥AB,则图中面积始终相等的平行四边形有3对.
18.(2016·温州)如图,E是▱ABCD的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(AAS).
(2)∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF=3.
∵AB∥CD,
∴∠AED=∠BAF=90°.
在▱ABCD中,AD=BC=5,
∴DE=
=
=4.
∴CD=2DE=8.
03 综合题
19.如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数;
(2)如果AD=5cm,AP=8cm,求△APB的周长.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AB∥CD,AD=BC,AB=DC.
∴∠DAB+∠CBA=180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠PAB+∠PBA=
(∠DAB+∠CBA)=90°.
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.
(2)∵AP平分∠DAB,AB∥CD,
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.
∴AD=DP=5cm.
同理:
PC=BC=AD=5cm.
∴AB=DC=DP+PC=10cm.
在Rt△APB中,AB=10cm,AP=8cm,
∴BP=
=6(cm).
∴△APB的周长为6+8+10=24(cm).
第2课时 平行四边形的对角线性质
01 基础题
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是(C)
A.AB∥CDB.AB=CD
C.AC=BDD.OA=OC
第1题图第2题图
2.(教材P44T1的变式)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为(B)
A.13B.17
C.20D.26
3.如图,在▱ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为(A)
A.4cmB.5cm
C.6cmD.8cm
第3题图第4题图
4.如图,▱ABCD的周长为16cm,AC,BD相交于点O,EO⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为(C)
A.4cmB.6cm
C.8cmD.10cm
5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于3.
6.在▱ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是1<OA<4.
7.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=CN,求证:
BM∥DN.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AM=CN,
∴OM=ON.
在△BOM和△DON中,
∴△BOM≌△DON(SAS).
∴∠OBM=∠ODN.
∴BM∥DN.
知识点2 平行四边形的面积
8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△AOD的面积是5,则▱ABCD的面积是(C)
A.10B.15
C.20D.25
第8题图第9题图
9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若DO=1.5cm,AB=5cm,BC=4cm,则▱ABCD的面积为12cm2.
02 中档题
10.如图,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的和是(C)
A.18B.28
C.36D.46
第10题图第11题图
11.如图,▱ABCD的对角线AC的长为10cm,∠CAB=30°,AB的长为6cm,则▱ABCD的面积为(B)
A.60cm2B.30cm2
C.20cm2D.16cm2
12.(2017·眉山)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为(C)
A.14B.13C.12D.10
第12题图第13题图
13.如图,若▱ABCD的周长为22cm,AC,BD相交于点O,△AOD的周长比△AOB的周长小3cm,则AD=4__cm,AB=7__cm.
14.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折,若点B的落点记为B′,则DB′的长为
.
15.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,AB=2
,且AO∶BO=2∶3.
(1)求AC的长;
(2)求▱ABCD的面积.
解:
(1)∵AO∶BO=2∶3,
∴设AO=2x,BO=3x
(x>0).
∵AC⊥AB,AB=2
,
∴(2x)2+(2
)2=(3x)2.
解得x=2.
∴AO=4.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO=8.
(2)∵S△ABC=
AB·AC
=
×2
×8
=8
,
∴S▱ABCD=2S△ABC=2×8
=16
.
16.(2016·本溪)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,DC∥AB.
∴∠FDO=∠EBO.
在△DFO和△BEO中,
∴△DFO≌△BEO(ASA).
∴OE=OF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC.
∵EF⊥AC,∴AE=CE.
∵△BEC的周长是10,
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.
∴C▱ABCD=2(BC+AB)=20.
03 综合题
17.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA,PC为边作▱PAQC,则对角线PQ长度的最小值为(D)
A.6
B.8
C.2
D.4
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形的个数为(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若四边形ABCD的边AB=CD,BC=DA,则这个四边形是平行四边形,理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.下面给出四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3
C.2∶2∶3∶3D.1∶2∶2∶3
4.一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下,那么其中是平行四边形的是(D)
A.88°,108°,88°B.88°,104°,108°
C.88°,92°,92°D.108°,72°,108°
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件BO=DO(答案不唯一)(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
6.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,
∠BAO=∠DCO.
又∵AO=CO,
∴△ABO≌△CDO(AAS).
∴BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
7.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点,求证:
四边形AECF是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵点E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=
OB,OF=
OD.
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8.如图所示,四边形ABCD和AEFD都是平行四边形,则四边形BCFE是平行四边形,理由:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
9.(2016·新疆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵AE⊥AD,CF⊥BC,
∴∠EAD=∠FCB=90°.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(AAS).
∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
02 中档题
10.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:
如图所示,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是(A)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
11.(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=4或-2.
12.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
证明:
连接BD交AC于O,
∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO,BO=DO.
∵AF=CE,∴AF-AO=CE-CO,即OF=OE.
又∵OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形.
13.(2017·南京)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:
OE=OF.
证明:
连接BE,DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵AE=CF,∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴OE=OF.
14.(2016·张家界)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
解:
四边形ABFC是平行四边形.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS).∴AB=CF.
又∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形.
03 综合题
15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D即停止.点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动,到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形,分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发,几秒后所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形?
解:
设当P,Q两点同时出发ts后,四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形.
根据题意,得AP=tcm,PD=(24-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(30-2t)cm(0≤t≤15).
①若四边形ABQP是平行四边形,
∵AD∥BC,∴还需满足AP=BQ.
∴t=30-2t.解得t=10.
∴10s后四边形ABQP是平行四边形;
②若四边形PQCD是平行四边形,
∵AD∥BC,∴还需满足PD=CQ.
∴24-t=2t.解得t=8.
∴8s后四边形PQCD是平行四边形.
综上所述:
当P,Q两点同时出发8秒或10秒后,所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形.
第2课时 三角形的中位线
01 基础题
知识点 三角形的中位线
1.如果等边三角形的边长为4,那么等边三角形的中位线长为(A)
A.2B.4
C.6D.8
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是(C)
A.8B.10
C.12D.14
第2题图第3题图
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为(C)
A.50°B.60°
C.70°D.80°
4.(2016·梧州)如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F分别为AB,BC,AC中点,连接DF,FE,则四边形DBEF的周长是(B)
A.5B.7
C.9D.11
第4题图第5题图
5.如图,为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=20m,则A,B之间的距离是40m.
6.(2017·怀化)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5cm,则AD的长为10cm.
第6题图第7题图
7.如图,CD是△ABC的中线,点E,F分别是AC,DC的中点,EF=1,则BD=2.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8cm,E,F分别为边AC,AB的中点.
(1)求∠A的度数;
(2)求EF的长.
解:
(1)∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.
(2)在Rt△ABC中,
∠A=30°,AB=8cm,
∴BC=
AB=4cm.
∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF是△ABC的中位线.
∴EF=
BC=2cm.
9.如图,在△ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点.求证:
四边形DECF是平行四边形.
证明:
∵D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,
∴DF,DE为△ABC的中位线.
∴DF∥BC,DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形.
02 中档题
10.如图,点D,E,F分别为△ABC各边中点,下列说法正确的是(C)
A.DE=DF
B.EF=
AB
C.S△ABD=S△ACD
D.AD平分∠BAC
11.如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需用篱笆的长是(C)
A.15米B.20米
C.25米D.30米
第11题图第12题图
12.(2016·陕西)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(B)
A.7B.8
C.9D.10
13.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是9.
第13题图第14题图
14.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是18°.
15.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
证明:
连接BD.
∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH=
BD,EH∥BD.
同理FG=
BD,FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
16.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=
BC,求证:
四边形OCFE是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是BD的中点.
又∵点E是边CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线.
∴OE∥BC,且OE=
BC.
又∵CF=
BC,
∴OE=CF.
又∵点F在BC的延长线上,
∴OE∥CF.
∴四边形OCFE是平行四边形.
03 综合题
17.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连接DH,求线段DH的长.
解:
∵AE为△ABC的角平分线,
∴∠FAH=∠CAH.
∵CH⊥AE,
∴∠AHF=∠AHC=90°.
在△AHF和△AHC中,
∴△AHF≌△AHC(ASA).
∴AF=AC,HF=HC.
∵AC=3,AB=5,
∴AF=AC=3,BF=AB-AF=5-3=2.
∵AD为△ABC的中线,
∴DH是△BCF的中位线.
∴DH=
BF=1.
小专题(三) 平行四边形的证明思路
类型1 若已知条件出现在四边形的边上,则考虑:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC∥BD.求证:
四边形BECD是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即BE∥DC.
又∵EC∥BD,
∴四边形BECD是平行四边形.
2.如图,已知:
AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证:
(1)BE=CF;
(2)四边形BECF是平行四边形.
证明:
(1)∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠DFC=90°.
∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
在△AEB和△DFC中,
∴△AEB≌△DFC(ASA).
∴BE=CF.
(2)∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴BE∥CF.
又∵BE=CF,
∴四边形BECF是平行四边形.
3.如图,在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.
又
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