命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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命题及其关系充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.()
(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()
(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()
2.设a,b∈R且ab≠0,则ab>1是a>
的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是()
A.若α≠
,则tanα≠1B.若α=
,则tanα≠1
4.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.
5.已知p:
x>a是q:
2 6.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是________. 考点一命题及其关系 【例1】 (1)下列说法正确的是() A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1” B.“若am2 C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立 D.“若sinα≠ ,则α≠ ”是真命题 (2)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________. 【训练1】 (1)下列说法中正确的是() A.若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0 B.若数列{an}为常数列,则{an}既是等差数列也是等比数列 C.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件 D.命题“若 (2)命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________. 考点二 充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【训练2】 (1)设x∈R,则“0 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的________条件. 考点三充分、必要条件的应用 【例3】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围. 【迁移1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件? 并说明理由. 【迁移2】设p: P={x|x2-8x-20≤0},q: 非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 【训练3】若关于x的不等式|x-1| A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(3,+∞)D.[3,+∞) 一、选择题 1.命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是() A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac” B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac” C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列” D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列” 2.已知命题p: “正数a的平方不等于0”,命题q: “若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( ) A.逆命题B.否命题 C.逆否命题D.否定 3.设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.设a>b,a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( ) A.ac2>bc2B. >1C.a-c>b-cD.a2>b2 5.原命题: 设a,b,c∈R,若“a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( ) A.0个B.1个 C.2个D.4个 6.已知命题p: x2+2x-3>0;命题q: x>a,且綈q的一个充分不必要条件是 綈p,则a的取值范围是() A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 7.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 二、填空题 9.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的________条件. 10.有下列几个命题: ①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2 其中真命题的序号是________. 11.若不等式m-1 ,则实数m的取值范围是________. 12.“a=1”是“函数f(x)= - 是奇函数”的__________条件. 13.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 14.已知a,b∈R,那么“2a>2b”是“a2>b2”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 15.已知p: 实数m满足3a 方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________________. 16.设p: ln(2x-1)≤0,q: (x-a)[x-(a+1)]≤0,若q是p的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________. 17.能说明“若a>b,则 < ”为假命题的一组a,b的值依次为________. 答案 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.() (2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.() (3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.() (4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.() 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a,b∈R且ab≠0,则ab>1是a> 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 若“ab>1”,当a=-2,b=-1时,不能得到“a> ”, 若“a> ”,例如当a=1,b=-1时,不能得到“ab>1”, 故“ab>1”是“a> ”的既不充分也不必要条件. 答案 D 3.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是() A.若α≠ ,则tanα≠1B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 解析命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ”. 答案C 4.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________. 解析a>b>c,取a=-2,b=-4,c=-5, 则a+b=-6 答案-2,-4,-5(答案不唯一) 5.已知p: x>a是q: 2 解析由已知,可得{x|2 答案(-∞,2] 6.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于 < ,解得-1 答案-1 考点一命题及其关系 【例1】 (1)下列说法正确的是() A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1” B.“若am2 C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立 D.“若sinα≠ ,则α≠ ”是真命题 (2)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________. 解析 (1)对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错; 对于B项,若“am2 对于C项,由指数函数的图象知,∀x∈(0,+∞),都有4x>3x,C错; 对于D项,原命题的逆否命题为“若α= ,则sinα= ”是真命题,故原命题是真命题. (2)根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0). 答案 (1)D (2)f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一,再如f(x)= ) 规律方法1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断. 【训练1】 (1)下列说法中正确的是() A.若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0 B.若数列{an}为常数列,则{an}既是等差数列也是等比数列 C.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件 D.命题“若 (2)命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________. 解析 (1)A错,f(x)= 为奇函数,但f(0)无意义; B错,an=0为常数列,但{an}不是等比数列; C正确,由于A>B⇔a>b⇔sinA>sinB. D错,若{an}递减,则an+1 (2)逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定.故逆否命题在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面. 答案 (1)C (2)在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面 考点二 充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 (1)当a>0,b>0时,得4≥a+b≥2 ,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立,故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. (2)由5x-6>x2,得2 2 所以q⇒p,p q,所以綈p⇒綈q,綈q 綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 答案 (1)A (2)A 规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法: 根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练2】 (1)设x∈R,则“0 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的________条件. 解析 (1)由|x-1|<1可得0 (2)显然a=0时,f(x)=sinx- 为奇函数; 当f(x)为奇函数时, f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=0. 因此2a=0,故a=0. 所以“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的充要条件. 答案 (1)B (2)充要 考点三充分、必要条件的应用 【例3】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围. 解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P. ∴ 解得m≤3. 又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0. 综上,m的取值范围是[0,3]. 【迁移1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件? 并说明理由. 解由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ ∴ 这样的m不存在. 【迁移2】设p: P={x|x2-8x-20≤0},q: 非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解由例题知P={x|-2≤x≤10}. ∵綈p是綈q的必要不充分条件, p是q的充分不必要条件. ∴p⇒q且q p,即PS. ∴ 或 ∴m≥9,又因为S为非空集合, 所以1-m≤1+m,解得m≥0, 综上,实数m的取值范围是[9,+∞). 规律方法充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【训练3】若关于x的不等式|x-1| A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(3,+∞)D.[3,+∞)
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- 命题 及其 关系 充分 条件 必要条件